67
					Таблица С2
				Сила
	F1 = 4 Н			F2 = 8 Н
Номер	F1	α	Z	Z	F2
условия		1		α2	Y
	X
	Точка		α1, град	Точка	α2, град
	приложения			приложения
0	–		–	E	60
1	H		30	–	–
2	–		–	D	45
3	E		30	–	–
4	–		–	H	60
5	D		45	–	–
6	–		–	E	30
7	H		60	–	–
8	–		–	D	45
9	E		30	–	–
Указания. Задание С2 – на равновесие тела под действием пространст-
венной произвольной системы сил.
	4.5. Пример выполнения задания С2

Однородная прямоугольная плита весом Р закреплена в точке А сферическим шарниром, а в точке В цилиндрическим шарниром и удерживается в равновесии невесомым стержнем СС′ (рис. 4.25, а).

На плиту действуют сила F и пара сил с моментом М, лежащие в плоскости плиты. Определить реакции связей плиты.

Решить задачу при следующих данных: Р = 4 кН; F = 2 кН; М = 6 кН м;

АВ = 2DE = 8 м; α = 60°; β = 30°; γ = 45°.

Р е ш е н и е 1. Для определения искомых реакций связей рассмотрим равновесие

плиты. Она находится под действием силы тяжести P , приложенной в центре тяжести О – в точке пересечения диагоналей прямоугольника ABCD,

силы FG и пары сил с моментом М, лежащей в плоскости плиты.

2. Отбросим связи и заменим их действие реакциями связей: реакцию неподвижногоG G G сферического шарнира А разложим на три составляющие

X A, YA, ZA , направленные по заданным осям декартовых координат; реак-

68

цию цилиндрического шарнира В – на две составляющие X B , ZGB в плоскости

перпендикулярно оси шарнира; реакцию S шарнира С направим вдоль невесомого стержня СС′ (рис. 4.25, б). Тогда плиту можно рассматривать как

свободное тело,	находящееся в равновесии под действием заданных сил
и реакций связей X A,		YGA, ZGA, XGB , ZGB и S .
3. Система	сил,	приложенных к плите, является пространственной

произвольной системой сил. В этом случае, согласно (4.28), аналитические условия равновесия имеют вид

n		n
∑FkX	=0;	∑mX (FGk ) =0;
k=1		k=1
n		n
∑FkY	=0;	∑mY (FGk ) =0;
k=1		k=1
n		n
∑FkZ	=0;	∑mZ (FGk ) =0.
k=1		k=1

Поскольку количество уравнений равно числу искомых реакций связей, данная задача является статически определимой.

а

б

Рис. 4.25

					69
	4. Для составления уравнений равновесия для рассматриваемой задачи
на рис. 4.25, б: G
G	а) силу F ,	лежащую в плоскости XY, разложим на две составляющие:
F' ,	параллельную оси			X, и F" , параллельную оси Y, модули которых
F' = F cos α , F" =G		F sin α;
	б) вектор S	, направленный в пространстве вдоль CC' , разложим на три
составляющие SG		, SG	, SG	, параллельные декартовым осям. Причем
	1	2	3
	S1 = S cos γsin β, S2 = S cos γcosβ,					S3 = S sin γ ;
	в) пару сил изобразим вектором M , направленным перпендикулярно
плоскости пары ABCD.
	5. Запишем уравнения равновесия (4.28) для рассматриваемой задачи:
			X A + X B − S cos γsin β− F cosα = 0;
				− S cos γ cos β− F sin α = 0;
			YA
			ZA + ZB + S sin γ− P = 0;
			ZB AB + S3 DC − P AB/2 = 0;
			P AD/2 − S3 BC = 0;
				− X B AB + F' DE − F" AD = 0.
			M
	Здесь при вычислении моментов сил F и S относительно координат-
ных осей применим теорему Вариньона (4.18);						mZ (S) = 0 , так как линия
					G
действия равнодействующей S пересекает ось Z.
					′	′′	и S3 полученная система
	С учетом модулей составляющих сил F , F
уравнений равновесия принимает вид
	X A + X B −S cos γsin β− F cos α = 0;
			−S cos γ cosβ− F sin α = 0;
	YA
	ZA + ZB + S sin γ− P = 0;
			AB + S sin γ DC − P AB/2 = 0;
	ZB
	P AD/2 −S sin γ BC = 0;
			− X		AB + F cos α DE − F sin α AD = 0.
	M			B

70

Данная система, состоящая из шести уравнений, содержит шесть неизвестных реакций связей XGA, YGA, ZGA, XGB , ZGB и S , поэтому рассматриваемая задача является статически определимой.

Учитывая, что АВ = DC, а AD = BC = AB tg β = 4,61 м, подставляем в уравнения системы исходные данные и решаем их относительно искомых реакций:

X B	=	M + F(cosα DE −sin α AD)				≈ 2,25 кН;
			AB
		S =	P AD/2	≈ 2,83 кН;
			sin γ BC

−S sin γ DC + P AB/2 ≈

ZB = AB 0 кН;

ZA = −ZB − S sin γ+ P ≈ 2 кН;

YA = S cos γ cosβ + F sin α ≈ 3, 47 кН;

X A = −X B + S cos γ sinβ + F cos α ≈ − 0,25 кН.

Для проверки полученных результатов можно составить уравнение проекций или моментов сил относительно какой-либо другой оси (например, оси OZ ′ , проходящей через точку пересечения О диагоналей прямоугольника ABCD и параллельной оси AZ).

О т в е т: ХА = – 0,25 кН; YА = 3,47 кН; ZА = 2 кН; ХB = 2,25 кН; ZB = 0 кН; S = 2,83 кН.