32

Тогда модуль полного ускорения точки А определяется по формуле

aA = (aAτ )2 +(aAn )2 ≈ 6,45 м/с2 .

О т в е т:

VB = 1,6 м/с; VС = 1,39 м/с; VL = 2,26 м/с; VE = 1,13 м/с;

ω2 = 2 c–1; ωB = 8 c–1; ω3 = 2,58 c–1; ω4 = 5,65 c–1; aA = 6,45 м/с2.

3. СЛОЖНОЕ (СОСТАВНОЕ) ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ

3.1. Краткие теоретические сведения

Сложное движение точки − это такое движение точки, при котором она одновременно участвует в двух или более движениях.

Для характеристики сложного движения точки вводятся две системы отсчета: ОХYZ − неподвижная и Ахуz − подвижная, связанная с движущимся телом D, относительно которого перемещается точка М (рис. 3.1).

Движение точки М по отношению к подвижной системе отсчета Ахуz называется относительным движением. Скорость и ускорение точки М при

этом движении называются соответственно относительной скоростью Vr

и относительным ускорением ar .

Движение тела D и связанного с ним подвижного трехгранника Ахуz относительно неподвижного трехгранника ОХYZ называется переносным движением. Скорость и ускорение точки подвижного тела D, с которой в данный момент времени совпадает точка М, являются соответственно пере-

носной скоростью Ve и переносным ускорением ae .
			Движение точки М относительно
	z		неподвижной системы координат ОХYZ
Z			называется абсолютным		движением.
			Скорость и ускорение точки М относи-
	M		тельно	неподвижного	трехгранника
		у	ОХYZ	называются соответственно аб-
	D			G
	A		солютной скоростью Va и абсолютным
			ускорением aa .
O		Y	Основная задача сложного дви-
	х		жения	точки заключается в уста-
Х			новлении связей между основными ки-
			нематическими характеристиками отно-
	Рис. 3.1		сительного, переносного и абсолютного
			движений точки.

33

Связь между относительной, переносной и абсолютной скоростями точки выражается теоремой о сложении скоростей: абсолютная скорость точки при сложном движении равна геометрической сумме переносной и относительной скоростей:

Va =VGе +VGr ,

(3.1)

где вектор абсолютной скорости Va определяется диагональю параллело-

грамма, построенного на векторах переносной и относительной скоростей как на сторонах (рис. 3.2).

Модуль абсолютной скорости определяется по теореме косинусов:

V =

V 2 +V

2

+2V V cosα,

(3.2)

a

e

r

e r

где α − угол между векторами Ve и Vr .

Из (3.2) следуют частные случаи:

Vr

1) если α = 0, то

Va =

Ve

+

Vr

;

Va

2) если α = π, то

Va =

Ve

−

Vr

;

α

M

3) если α = π/2, то Va

=

Ve2

+Vr2 .

Ve

Следовательно, для определения абсолютной

скорости необходимо знать модули и направления

Рис. 3.2

переносной и относительной скоростей.

Абсолютное ускорение точки при сложном движении определяется при помощи теоремы Кориолиса: абсолютное ускорение точки равно геометри-

ческойсуммепереносного, относительногоускоренийиускоренияКориолиса:
	aG	= aG	+ aG	+ aG ,	(3.3)
	a	е	r	C
где аGС – ускорение Кориолиса;
		G	G		(3.4)
	aС =		2 ωe ×Vr .
	Появление ускорения Кориолиса связано с изменением абсолютной
скорости, обусловленным двумя причинами:
G	1) влиянием переносного движения на относительную скорость (при
	G
ωе ≠0	вектор Vr поворачивается относительно абсолютной системы коорди-

нат за счет вращения подвижной системы – тела D);

G 2) влиянием относительного движения на переносную скорость (при Vr ≠ 0 положение точки в подвижной системе координат изменяется и, следо-

вательно, изменяется переносная скорость).

Модуль ускорения Кориолиса (3.4) вычисляется по формуле

34
G	Vr sin α.	(3.5)
aС =2 ωe

Из (3.4) следуют частные случаи, когда ускорение Кориолиса равно

нулю:

1) aС = 0, если ωGGе ≠0 , т. е. переносное движение поступательное;

2) aС = 0, если Vr =0, т. е. вточкахостановкиотносительногодвижения;

3) aС = 0, если sin α = 0 , т. е. векторы ωе и Vr коллинеарные.

Вектор ускорения Кориолиса аС направлен перпендикулярно плос-

кости, проходящей через векторы ωе и Vr в ту сторону, откуда кратчайшее

совмещение первого вектора со вторым видно происходящим против хода часовой стрелки (рис. 3.3).

Направление вектора ускорения Кориолиса можно также найти по

правилу Н. Е. Жуковского. Для этого следует (см. рис. 3.3):

1) спроецировать вектор относительной скорости Vr

на плоскость Q,

G

;

перпендикулярную вектору ωе

2) повернуть эту проекцию Vr в плоскости Q на 90º в направлении

переносного вращения ωе .

В случае когда вектор относительной скорости Vr

лежит в плоскости Q

( α = 90°), для определения направления вектора aС

достаточно повернуть

G

вектор Vr в плоскости Q на 90º в сторону переносного вращения (по ωе).

Модуль абсолютного ускорения точки при сложном движении опреде-

ляется

аналитически. Для этого сначала находят

модули

и направления

ωe

векторов aе, aGr

и aGC ,

затем проецируют

Vr

ωe

равенство (3.3) на оси неподвижного

трехгранника ОХYZ и по найденным

a

C

проекциям абсолютного ускорения

a

,

M

aX

90o

aaY и aaZ на эти оси вычисляют модуль

абсолютного ускорения точки по фор-

Vr

Q

муле

a2

+ a2

+ a2 .

a =

(3.6)

Рис. 3.3

a

aX

aY

aZ

35

Вопросы для самопроверки

1. Какие движения точки называются абсолютным, относительным

ипереносным?

2.Как определить по модулю и направлению абсолютную скорость точки при сложном движении?

3.Как определяется абсолютное ускорение точки при сложном (составном) движении?

3.2.Задание К3. Определение абсолютной скорости

иабсолютного ускорения точки

Прямоугольная пластина (схемы К3.0–К3.5) или круглая пластина радиусом R = 60 см (схемы К3.6–К3.9) на рис. 3.4 вращаются вокруг неподвижной оси с постоянной угловой скоростью ω, заданной в табл. К3 (при знаке « −» направление ω противоположно показанному на схеме).

Ось вращения на схемах К3.0–К3.3 и К3.8–К3.9 перпендикулярна плоскости пластины и проходит через точку О (пластина вращается в своей плоскости); на схемах К3.4–К3.7 ось вращения О1О лежит в плоскости пластины (пластина вращается в пространстве).

По пластине вдоль прямой ВD (схемы К3.0–К3.5) или по окружности радиусом R, т. е. по ободу пластины (схемы К3.6–К3.9) движется точка М.

Закон относительного движения, выражаемый уравнением s = AM = f(t) (s выражено в сантиметрах, t – в секундах), задан в табл. К3 отдельно для

схем К3.0–К3.4 и для схем К3.5–К3.9. При этом на схемах К3.6–К3.9 s = АМ

и отсчитывается по дуге окружности. В табл. К3 даны размеры b и l.

На всех схемах точка М показана в положении, при котором s = AM > 0 (при s < 0 точка М находится по другую сторону от точки А).

Определить абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки М в момент времени t = 1 с.

45°	5b 2		D
	M
	A

	b
45°	ω O
B
	К3.0

Рис. 3.4

5b 2

D
	M	45°
		A
b		ω
2
	O	45°

B

К3.1

36

	4b
	D
	M	B	A	M D
ω	A
				3b
O
			ω	O
	B
	К3.2			К3.3

O1

D

M

ω 4b

A

60°

O B

К3.4

К3.5

O

1

2 l

O1

ω

D

M

A C

R

C

A

R

M

D

2l

O

O

К3.6

К3.7

Рис. 3.4. Продолжение