59

Линия действия этой силы проходит через центр тяжести треугольника, т. е. на расстоянии d/3 от основания ВС треугольника АВС (рис. 4.21, б).

Вопросы для самопроверки

1.В чем заключается сущность принципа освобождаемости от связей?

2.Как направлена реакция: а) гладкой поверхности; б) опоры на катках; в) шарнира с невесомым стержнем; г) заделки?

3.Какая система сил называется парой сил?

4.Как вычисляется алгебраический момент пары сил?

5.Как определяется алгебраический момент силы относительно точки?

6.Как вычисляется момент силы относительно оси?

7.Когда момент силы относительно оси равен нулю?

8.Каковы аналитические условия равновесия тела, находящегося под действием плоской произвольной системы сил?

4.2. Задание С1. Определение реакций опор твердого тела под действием плоской системы сил

Жесткая рама (схемы С1.0–С1.9 на рис. 4.22, табл. С1) закреплена в точке А шарнирно, а в точке В прикреплена или к невесомому стержню ВВ1, или к шарнирной опоре на катках; стержень прикреплен к неподвижной опоре шарнирами.

На раму действуют: пара сил с моментом М = 100 Н м; равномерно распределенная нагрузка интенсивности q = 40 Н/м, приложенная на участке, указанном в табл. С1 (столбец «Нагруженный участок»); две силы, величины, направления и точки приложения которых заданы в табл. С1.

Определить реакции связей в точках А и B рамы, вызванные нагрузками. При расчетах принять l = 0,5 м. Направление распределенной нагрузки на различных по расположению участках указано в табл. С1.

Указания. Задание С1 – на равновесие тела под действием произвольной плоской системы сил. При его выполнении следует учесть, что уравнение моментов будет более простым (содержать меньше неизвестных), если брать моменты относительно точки, где пересекаются линии действия двух иско-

мых реакций связей. ПриGвычислении момента силы F удобно разложить ее

на составляющие F′ и F′′, для которых плечи легко определяются, и воспользоваться теоремой Вариньона:

mO (F )= mO (FG′)+ mO (FG′′).

			60
2l		l
A	H	E
				l		l
		K
		M		l
						3l
		D
		2l	B
		О
		С1.0			С1.1
				B	l	l	D
						О
						M
						K
			A	H		E
				l		3l
		С1.2			С1.3

С1.4

С1.5

Рис. 4.22

61

A

H

		M	D
	E	K
		3l	l
			О

B1 B

		С1.6		С1.7
		l	l	B
		D	О
		K
		M
A	l	2l
	H	E
		С1.8		С1.9
			Рис. 4.22. Окончание

При решении задач на равновесие твердого тела необходимо придерживаться следующего порядка действий:

1.Выделить тело, равновесие которого следует рассмотреть для определения искомых величин.

2.Приложить к телу активные (заданные) силы.

3.Ввести декартову систему координат.

4.Отбросить наложенные на тело связи, заменив их действие реакциями связей.

5. Определить систему сил, под действием которой тело находится в равновесии, и записать в общем виде аналитические условия равновесия для данной системы сил.

6.Составить соответствующие уравнения равновесия для сил, приложенных к рассматриваемому телу.

7.Решитьполученнуюсистемууравненийиопределитьискомыевеличины.

				62
							Таблица С1
		Сила
Номер	F1 = 10 Н		F2 = 20 Н		Нагру-	Направление
	F1			F2		распределенной нагрузки
усло-		α1	α2		женный
вия					участок	горизон-	верти-
	Точка при-		Точка при-
		α1, град		α2, град		тальное	кальное
	ложения		ложения
0	H	30	D	45	АЕ
1	O	60	E	15	DК
2	D	45	H	60	ЕК
3	E	30	D	90	ОВ
4	K	15	O	30	ЕН
5	H	75	K	45	ОD
6	D	30	O	60	AН
7	K	60	H	45	ED
8	O	90	K	15	AE
9	E	45	O	60	DК

4.3. Пример выполнения задания С1

Жесткая рама (рис. 4.23, а) имеет в точке А неподвижную шарнирную опору, а в точке В – шарнир с невесомым стержнем ВВ1. На раму действуют:

силы FG1 и FG2 , пара сил с моментом М, а на участке DO – равномерно распределенная перпендикулярно ему нагрузка интенсивности q.

Определить реакции связей в точках А и B рамы, вызванные заданными нагрузками.

Решить задание при следующих данных: F1 = 30 Н; F2 = 25 Н; α1 = 60°;

α2 = 75°; М = 40 Н м; q = 60 Н/м; l = 0,2 м.

63

а	б
	Рис. 4.23

Р е ш е н и е

G1. РассмотримG равновесие рамы, находящейся под действием активных сил F1 и F2 , пары сил с моментом М и равномерно распределенной нагрузки интенсивности q. На рис. 4.23, б распределенную нагрузку заменим силой Q , приложенной в середине участка DO: Q = q 2l = 24 Н.

2. Проведем оси XY, начало координат совместим с точкой А.

3. Отбросим связи и заменим их действие реакциями связей. Реакцию

неподвижногоG G цилиндрического шарнира А разложим на две составляющие RAX и RAY по осям координат.

Реакцию RGB цилиндрического шарнира В направим вдоль невесомого

стержня ВВ1. Теперь раму можно рассматривать как свободное тело, находящееся в равновесии под действием заданныхG силG и реакций связей. Неизвест-

ными в задании являются три силы: RAX , RAY , RB .

4. Система сил, приложенных к раме, является плоской произвольной системой сил. В этом случае, согласно (4.31), аналитические условия равновесия имеют вид

n		=0;	n		=0;	n		(F ) =0.	(4.35)
∑ F			∑ F			∑ m	A
k=1	kX		k=1	kY		k=1		k

Здесь при составлении уравнения моментов в качестве центраG Gвыбрана точка А, где пересекаются линии действия двух искомых сил RAX и RAY .

Поскольку количество уравнений равно числу неизвестных задачи, то данная конструкция является статически определимой.

64

5. Запишем уравнения равновесия (4.35) для рассматриваемой задачи:

RAX − F1sin α1 + F2cos α2 −Q + RB = 0;	(4.36)
RAY + F1cos α1 + F2sin α2 = 0;	(4.37)
M + F1sin α1 3l − F2cos α2 5l + F2sin α2 2l + Q 4l − RB 2l = 0.	(4.38)

В (4.38) при вычислении алгебраического момента силы FG2 относительно точки А воспользуемся теоремой Вариньона:

mA(F2 ) = mA(FG2′) +mA(FG2′′),

где модули составляющих сил F2′= F2sin α2 , F2′′= F2cosα2. Из уравнения (4.38) с учетом исходных данных находим

RB = M + F1sin α1 3l − F2cos α2 5l + F2sin α2 2l + Q 4l = 194,93 H. 2l

Из уравнения (4.37) находим

RAY = −F1cos α1 − F2sin α2 = −39,15 Н.

Из уравнения (4.36) получаем

RAX = F1sin α1 − F2cos α2+Q − RB = −151,4 Н.

Знаки «–» указывают, что реакции RAX и RАY направлены противопо-

ложно показанным на рис. 4.23, б.

Для проверки правильности решения подставим исходные данные и найденные реакции в уравнение моментов относительно точки В:

∑m В (Fk )= M + Q 2l − F2 cosα2 3l − F2sin α2 2l − − F1cosα1 4l + F1sin α1 l − RAY 4l + RAX 2l = 0.

Обращение в нуль∑mВ (Fk ) свидетельствует о правильности решения.

О т в е т: RAX = −151,4 Н; RAY = −39,15 Н; RB =194,93 Н.

				65
4.4. Задание C2. Определение реакций опор твердого тела
	под действием пространственной системы сил
Однородная прямоугольная плита весом Р = 3 кН со сторонами AB = 3l,
BC = 2l закреплена в точке А сферическим шарниром, а в точке В цилиндри-
ческим шарниром (подшипником) и удерживается в равновесии невесомым
стержнем СС′ (схемы С2.0–С2.9 на рис. 4.24). На плиту действуют: пара сил
с моментом М = 6 кН м, лежащая в плоскости плиты, и сила, величина, на-
правление и точка приложения которой указаны в табл. С2. При этом сила F1
лежит в плоскости, параллельной XY, а сила F2 − в плоскости, параллельной YZ.
Точка приложения силы (D, E, H) находится в серединах сторон плиты.
Определить реакции связей плиты в точках А, В и С. При расчетах
принять l = 0,8 м.
	Z			C'	C'				Z
	A			Y	60o	C			B		Y
D	M	30	o	E
							M
B					D				E
			C
X	H							A
						H	X
	С2.0						С2.1
Z	E			C					C'
B
	M			H	Z			H	60	o	C
A	D	60o		Y	E			M		D
X				X	A			B	Y
	C'
	С2.2						С2.3
				Рис. 4.24

			66
Z	B	Y	Z	A Y
A			B

H		M	E	D	M	H
X				X C
	D	C	60o		E
					o
					30
			C'		C
					'
		С2.4			С2.5

		Z B	30o	C'				Z
	H						D
C					C		M		E
									A
	M				H					Y
D		A		Y
					B			30o
	E									C'
					X
X
		С2.6					С2.7
			B	Z Y		Z	H			C
X A			M	D		D	M			E
E				C		A				B Y
		H		60o	X			60	o
			C'
							C'
		С2.8					С2.9

Рис. 4.24. Окончание