71

ЧА С Т Ь III. Д И Н А М И К А

5.ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ

5.1.Краткие теоретические сведения

Динамикой называется раздел механики, в котором изучается движение материальных тел под действием сил.

Первоначально при изучении динамики, для того чтобы отвлечься от влияния формы тела на его движение, рассмотрим динамику материальной точки. В ее основе лежат законы (аксиомы динамики), впервые наиболее полно сформулированные Исааком Ньютоном в его сочинении «Математические начала натуральной философии» в 1687 г.

Первый закон (принцип инерции): изолированная от внешнего воздействия материальная точка находится в состоянии покоя или равномерного и прямолинейного движения.

При изучении движения материальных тел важным обстоятельством является выбор системы отсчета. Согласно принципу инерции существует система отсчета, в которой материальная точка находится в состоянии покоя или движется равномерно и прямолинейно, если на нее не действуют силы. Система отсчета, в которой выполняется принцип инерции, называется инерциальной (иногда ее условно называют «неподвижной»).

Второй закон (основной закон динамики): сила, действующая на сво-

бодную материальную точку, сообщает ей ускорение, которое в инерциальной системе отсчета пропорционально величине силы и имеет направление силы (рис. 5.1):

m aG = F ,

(5.1)

где m − масса точки; aG − ускорение точки; F − вектор силы, действующей на точку.

Уравнение (5.1) называется основным уравнением динамики точки.

Масса m является количественной мерой инертности материальной точки, т. е. способности точки «сопротивляться» изменению ее скорости. Масса

представляет собой основную динамическую

m

характеристику материальной точки.

Согласно закону (5.1)

устанавливается

r

соотношение между массой

тела m и его

V

весом P:

O

a

m g = P,

(5.2)

F

Рис. 5.1

где g = 9,8 м/с2 − ускорение свободного

падения.

72

Третий закон (закон равенства действия и противодействия): две материальные точки действуют друг на друга с силами, равными по модулю и направленными вдоль прямой, соединяющей эти точки, в противоположные стороны.

Четвертый закон (закон независимости действия сил): если на ма-

териальную точку действует несколько сил, то ускорение точки складывается из тех ускорений, которые имела бы точка под действием каждой из этих сил в отдельности:

			a = aG +aG			+... +aG			,	(5.3)
			1		2			n
где	aG − полное ускорение точки; a , aG			2	, ..., aG		n	− ускорения, сообщаемые точ-
	G	G	1 G
ке соответственно силами F1		, F2	, ..., Fn .

На основании второго и четвертого законов динамики можно сделать вывод о том, что если на материальную точку действует n сил, то точка получит ускорение, пропорциональное геометрической сумме этих сил и на-

правленное так же, как их равнодействующая R (рис. 5.2 при n = 3):
m aG = ∑FGk = RG.	(5.4)
n
k =1
Движение материальной точки под действием сил FG1, FG2 , ..., FGn	будет

таким же, как и при действии на нее их равнодействующей R .

Если рассматривается движение несвободной материальной точки, то, применяя принцип освобождаемости от связей, ее можно рассматривать как свободную, включив в состав действующих на нее активных (заданных) сил и силы реакций связей. В этом случае для точки справедливы указанные выше законы динамики. В частности, выражение (5.4) принимает вид

				F1
		1
	a
						F2
m			a		2

a3

a

F3

R

Рис. 5.2

maG = F + NG ,

где F, N − равнодействующие соответственно активных сил и реакций связей, действующих на точку.

Пусть положение материальной точки массой m в инерциальной системе отсчета задано радиусомвектором r (рис. 5.1). ВG общем слу-

чае равнодействующая R сил, действующих на точку, может зависеть от положения точки, ее скорости и времени, т. е.

73

G = G G dr R R r, dt

По определению

G = d2rG a dt2 .

,t .

(5.5)

(5.6)

С учетом (5.5) и (5.6) основное уравнение динамики (5.1) можно записать в виде

m	d2rG		G G	,	drG		(5.7)
	dt	2	= R r		dt	, t .

Уравнение (5.7) называется дифференциальным уравнением движения материальной точки в векторной форме.

При решении задач обычно от векторного уравнения (5.7) переходят к скалярным дифференциальным уравнениям движения материальной точки. Для этого векторное уравнение (5.7) проецируют на оси выбранной системы координат. В проекциях на декартовы оси уравнение (5.7) имеет вид

mx = RX , my = RY , mz = RZ ,

(5.8)

где x, y, z и RX , RY , RZ − проекции ускорения точки и проекции равнодей-

ствующей сил, действующих на точку, соответственно на оси X, Y, Z. С учетом (5.4) возможна другая запись уравнений (5.8):

n	n	n
mx = ∑FkX ,	my = ∑FkY ,	mz = ∑FkZ .	(5.9)
k=1	k=1	k=1

Уравнения (5.8) и (5.9) называются дифференциальными уравнениями движения материальной точки в декартовых координатах.

При криволинейном движении материальной точки удобно пользовать-

G

ся системой осей естественного трехгранника: касательной τ, главной нормалью n и бинормалью bG. Проецируя уравнение (5.4) на эти оси, получаем

n	n	n
maτ = ∑Fkτ,	man = ∑Fkn ,	mab = ∑Fkb ,	(5.10)
k=1	k=1	k=1
где aτ, an , ab − соответственно	касательное,	нормальное и	бинормальное

ускорения точки; Fkτ, Fkn , Fkb − проекции k-й силы, действующей на точку, на касательную, главную нормаль и бинормаль.

74

Из кинематики известно, что

a		=	dV	, a	n	=	V 2	,	a = 0,	(5.11)
			dt				ρ
	τ								b

где V = s − скорость точки; s − криволинейная координата; ρ − радиус кривизны траектории точки в данный момент времени.

Подставив (5.11) в (5.10), получим

m dV	n	m V	2	n	n
	= ∑Fkτ,			= ∑Fkn ,	mab = ∑Fkb.	(5.12)
dt	k=1	ρ		k=1	k=1

Уравнения (5.12) являются дифференциальными уравнениями движения точки в системе естественных осей и называются естественными уравнениями движения. Ими удобно пользоваться для определения неизвестных реакций связей в случае криволинейного движения точки.

Рассматривая движение материальной точки под действием сил, динамика ставит целью решение двух основных задач.

Первая задача динамики заключается в определении силы по известному закону движения точки.

Для нахождения модуля и направления силы F (равнодействующей R ), действующей на материальную точку, необходимо определить проекции этой силы на оси декартовой системы координат или на оси естественного трехгранника (в зависимости от способа задания движения точки). Согласно уравнениям (5.8) и (5.12) эта задача сводится к нахождению проекций ускорения точки, которые определяются дифференцированием по времени соответствующих функций.

Пусть движение точки массой m задано координатным способом, т. е.

известны зависимости координат точки от времени:
x = x(t), y = y(t), z = z(t).	(5.13)

Для определения силы F , под действием которой происходит движение, следует:

1) найти проекции ускорения точки на декартовы оси, продифференцировав дважды по времени уравнения движения (5.13):

aX = x, aY = y, aZ = z;

75

2) вычислить по формулам (5.8) проекции силы F на оси координат:

FX = mx, FY = my, FZ = mz;

3) найти модуль силы F по формуле

F = F 2	+ F 2	+ F 2	= m x2 + y2 + z2 .
X	Y	Z

Направление силы FG определяется с помощью направляющих косинусов:

G G

F

G G

F

G G

F

cos F i

=

X

,

cos F j

=

Y ,

cos F k

=

Z

;

F

F

F

При естественном способе задания движения, когда известна траектория точки и зависимость криволинейной координаты от времени

s = s(t),

(5.14)

для определения модуля силы F, под действием которой происходит движение, следует:

1) найти касательное и нормальное ускорения точки, вычислив соответствующие производные по времени от закона движения (5.14):

	aτ =	dV	= s, an =	V 2	=	s2	;
		dt		ρ		ρ

2) согласно (5.12) определить проекции силы F на оси естественного трехгранника:

F = m s,	F = m	s2	,	F = 0;
τ	n	ρ		b

3) вычислить модуль силы F по формуле

		2		2		2		s4
F =	F		+ F		= m	s	+		.
	τ		n					ρ2

76

Вторая (основная) задача динамики заключается в определении уравнений движения точки, если известны действующие на нее силы.

Рассмотрим движение точки относительно декартовой системы координат. Согласно (5.8) дифференциальные уравнения движения точки имеют вид

mx =my =mz =

RX (x, y, z, x, y, z, t);
RY (x, y, z, x, y, z, t);	(5.15)
RZ (x, y, z, x, y, z, t).

Для определения уравнений движения точки x = x(t), y = y(t), z = z(t)

необходимо проинтегрировать систему дифференциальных уравнений (5.15), применив методы высшей математики.

Если удается это сделать, то получаем общее решение системы (5.15)

x = x(t, C1, C2, ..., C6 ),
y = y (t, C1, C2, ..., C6 ),	(5.16)
z = z(t, C1, C2, ..., C6 ),

где С1, С2, …, С6 − произвольные постоянные интегрирования. Дифференцированием по времени решения (5.16) можно также опре-

делить проекции скорости точки на декартовые оси:

x = x(t, C1, C2, ..., C6 ),
y = y (t, C1, C2, ..., C6 ),	(5.17)
z = z(t, C1, C2, ..., C6 ).

Для того чтобы из многообразия решений системы (5.17) выбрать то, которое соответствует данной задаче, необходимо задать начальные условия движения, т. е. в начальный момент времени зафиксировать положение точки и проекции ее скорости на декартовы оси:

t =0,	x(0)= x0,	y (0)= y0,	z(0)= z0	,	(5.18)
	x(0)= x0,	y (0)= y0,	z(0)= z0.

Совокупностьданных (5.18) называетсяначальнымиусловиямидвижения.

77

Нахождение значений постоянных интегрирования С1, С2, …, С6 проводится подстановкой начальных условий движения (5.18) в совокупность выражений (5.16) и (5.17):

x0 = x(0, C1, C2, ..., C6 ),

y0 = y (0, C1, C2, ..., C6 ),

z0 = z(0, C1, C2, ..., C6 ),

x0 = x(0, C1, C2, ..., C6 ),

y0 = y (0, C1, C2, ..., C6 ),

z0 = z(0, C1, C2, ..., C6 ),

ирешением полученной системы шести алгебраических уравнений относительно шести неизвестных С1, С2, …, С6.

Решение второй (основной) задачи динамики точки сводится к следующему порядку действий:

1)примем тело за материальную точку и изобразим ее в произвольном положении;

2)введем ортогональную систему координат, совмещая начало отсчета с начальным положением точки и направляя одну из осей по вектору ее скорости;

3)запишем начальные условия движения точки;

4)изобразим на рисунке все действующие на точку активные силы

иреакции отброшенных связей;

5)составим дифференциальные уравнения движения точки в проекциях на координатные оси. При этом необходимо переменные силы выразить через те величины, от которых они зависят;

6)методами высшей математики проинтегрируем дифференциальные уравнения и найдем скорость и уравнения движения материальной точки;

7)по начальным условиям движения точки определим значения постоянных интегрирования.

	78
5.2. Задание Д1. Интегрирование дифференциальных уравнений
движения материальной точки
Груз D массой m, получив в точке А начальную скорость VGA , движется
в трубе АВ, расположенной в вертикальной плоскости (схемы Д1.0–Д1.9 на
рис. 5.3, табл. Д1).
На груз кроме силы тяжести действует сила трения (коэффициент
трения f = 0,1) и переменная сила F , параллельная оси х, проекция Fх кото-
рой на ось х задана в табл. Д1.
Считая груз D материальной точкой, найти его закон движения, т. е.
зависимость х = f(t), где х =	АD. Определить величину скорости груза
в момент времени t1 = 1 c.
Д1.0	Д1.1
Д1.2	Д1.3
Д1.4	Д1.5
	Рис. 5.3

79

		Д1.6
									Д1.7
											A
										D
									F
							B
						х			45o
		Д1.8							Д1.9
					Рис. 5.3. Окончание
											Таблица Д1
	Номер	m, кг			VA, м/с						FX, H
	условия
	0	3			12					12sin (2t)
	1	2			20					– 16cos (2t)
	2	8			10						2t2
	3	3			18						3t
	4	6			15					– 12cos (4t)
	5	4			12					16cos (4t)
	6	1			15					– 9sin (3t)
	7	2			20					18cos (3t)
	8	1			16						4sin (2t)
	9	3			18					12cos (2t)