19

	y	Подставив в (1.23) выражения
		(1.24), получим

			B''			3 − x			y +1		2
1			1		x		=1	− 2			.	(1.25)
						2			2
0		1
		2	5
_1	B'					Выразив х из (1.25), получим сле-
	1					дующее уравнение траектории:
		Рис. 1.7					x = (y + 1)2 + 1.					(1.26)

Однако не вся парабола (1.26) является траекторией точки В. Найдем область допустимых значений х.

Поскольку функция cos (πt/3) ограниченная (|cos (πt/3)| ≤ 1), то из (1.24) имеем неравенство

3 −2 х ≤1

или

−1 ≤ 3 −2 х ≤1.

Решая данное неравенство, найдем 1 ≤ x ≤ 5.

Следовательно, траекторией точки В является часть параболы (1.26), заключенная между точками В'(1; –1) и В″(5; 1) на рис. 1.7.

О т в е т: х=(у+1)2 +1, х [1, 5].

2. ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНОЕ (ПЛОСКОЕ) ДВИЖЕНИЕ ТЕЛА

2.1. Краткие теоретические сведения

Плоскопараллельным (плоским) называется движение твердого тела, все точки которого движутся в плоскостях, параллельных неподвижной плоскости.

Качение цилиндра по плоскости ОХZ является плоскопараллельным движением, если плоскости его оснований S и S1 остаются параллельными неподвижной плоскости ОХY (рис. 2.1). При этом любая образующая ММ1

цилиндра совершает поступательное движение, т. е. кинематические характе-
ристики	ее точек в произвольный момент времени одинаковы (VGM =VGM ,
aGM = aGM	1
	) и точки М и М1 описывают тождественные траектории.
1

20

Y

(S) М

уА А

О хА X

Рис. 2.1

Рис. 2.2

Следовательно, изучение плоскопараллельного движения твердого тела сводится к изучению движения плоского сечения S в его плоскости.

Положение плоского сечения S в плоскости ОХY (рис. 2.2) определяется положением любого отрезка АМ, проведенного в этом сечении. Для этого необходимо задать координаты хА, yА какой-нибудь точки А, называемой полюсом, и угол ϕ , который отрезок АМ образует с осью ОХ.

При движении плоской фигуры (сечения S) координаты хА, уА и угол φ будут изменяться во времени:

xA = f1 (t), yA = f2 (t), ϕ = f3 (t).

(2.1)

Зависимости (2.1) называются уравнениями плоскопараллельного движения твердого тела.

Из (2.1) следует, что изменение только координат хА и уА приводит к поступательному движению плоской фигуры вместе с полюсом А, а изменение только угла φ − к вращательному движению плоской фигуры вокруг оси, проходящей через полюс А и перпендикулярной плоскости движения ОХY.

Тогда, движение плоской фигуры (сечения S) в ее плоскости можно представить как совокупность поступательного движения вместе с полюсом и вращательного движения вокруг этого полюса. Отметим, что угловая скорость ω и угловое ускорение ε при плоскопараллельном движении тела от выбора полюса не зависят.

По заданным уравнениям плоского движения тела (2.1) можно найти скорость и ускорение полюса А, а также угловую скорость и угловое ускорение тела по формулам

			21
VGA = xAiG+ yA Gj;			VA =			(xA )2 +(yA )2 ;
aG	= x	iG+ y Gj;	a	A	=	(x	)2 +(y	)2	;	(2.2)
A	A	A				A	A
	ω= dϕ ≡ϕ;				ε= dω = ϕ.
		dt				dt

Угловая скорость ω и угловое ускорение ε изображаются дуговыми стрелками (например, ω на рис. 2.3).

Скорость любой точки тела, совершающего плоскопараллельное движение, определяется по теореме о скоростях точек плоской фигуры:

скорость любой точки плоской фигуры равна геометрической сумме скорости полюса и скорости точки при вращательном движении вокруг полюса.

Приняв точку А за полюс, можно найти скорость любой точки М тела

по формуле
VМ =VGA +VGМA.	(2.3)
Здесь VGМ и VGA − скорости точек М и А соответственно. Вектор VGAM − скорость
точки М при вращении плоской фигуры вокруг полюса А,
VMA =ω AM,	(2.4)
изображается (рис. 2.3) из точки М перпендикулярно АМ (VGAM	АМ ) в на-

правлении вращения плоской фигуры (в направлении ее угловой скорости ω).
Вектор скорости VG	определяется диагональю параллелограмма, по-
GМ	G
строенного на векторах VA и V AM как на сторонах, и его модуль

V	= V 2	+V 2	+2V V	cos (VG	VG	).	(2.5)
M	A	MA	A MA	A	MA

Когда уравнения (2.1) неизвестны, из формулы (2.4) определяют угловую скорость плоскойG фигуры по известным величинам ско-

рости VMА и расстояния АМ: ω=VMA/AM. Соотношение между величинами скоро-

стей точек А и М плоской фигуры можно найти более простым способом − по теореме

о проекциях скоростей двух точек фигуры:

проекции скоростей двух точек плоской фигуры на ось, проходящую через эти точки, равны.

Y

VМ VA (S)

М ω

VМA VA

А

О X

Рис. 2.3

22

Действительно, проецируя векторное равенство (2.4) наG ось АХ, проходящую через точки А и М (рис. 2.4), и учитывая, что вектор VMA перпендикулярен АМ, получим

VM cos β=VA cos α.

(2.6)

Теорема (2.6) позволяет находить скорость любой точки М плоской фигуры, если известно ее направление и скорость другой точки А по модулю и направлению.

Отметим, что теорема (2.6) имеет место для любого движения абсолютно твердого тела.

Скорости точек тела при плоскомдвижении можно определитьс помощью

мгновенного центра скоростей (МЦС) – точки Р плоской фигуры, скорость которой в данный момент времени равна нулю (VP = 0).

Примем МЦС, т. е. точку Р, за полюс. Тогда по теореме о скоростях (2.3) для любых точек А и В плоской фигуры S имеем

VGA =VGP +VGAP =VGAP ;		VGA AP;	(2.7)
G G G	G	G
VB =VP +VBP =VBP ;		VB BP.

Следовательно, скорость любой точки тела, лежащей в сечении S, равна ее скорости при вращении сечения S вокруг мгновенного центра скоростей Р.

Мгновенный центр скоростей является центром вращения плоской фигуры (сечения S) в данный момент времени и находится в точке пересечения перпендикуляровG G АР и ВР, восстановленных в точках А и В к их скоро-

стям VA и VB (рис. 2.5).

Тогда модули скоростей точек определяются по формулам

VA = ω AP,

VB = ω BP.

(2.8)

М

V

VА

ω

VМА

A

VA

β

B

V

(S)

α

A

X

А

VAX

М

V

VВ

(S)

MX

ω

Рис. 2.4

P

Рис. 2.5

23

Из равенств (2.8) следует пропорция

VA =	AP .	(2.9)
V	BP
B

Скорости точек плоской фигуры пропорциональны их расстояниям до мгновенного центра скоростей.

Соотношение (2.8) позволяет определить угловую скорость тела при плоском движении:

ω=	VA	.	(2.10)
	AP

Угловая скорость плоской фигуры в каждый момент времени равна отношению скорости любой точки плоской фигуры к расстоянию от точки до мгновенного центра скоростей.

Для применения формул (2.9) и (2.10) при решении задач необходимо уметь определять положение мгновенного центра скоростей в данный момент времени.

Кроме способа нахождения МЦС, представленного на рис. 2.5, рассмотрим еще некоторые частные случаи:

1. Если скорости VA и VB двух точек А и В плоской фигуры параллель-

ны между собой и перпендикулярны прямой АВ, то МЦС находится в точке пересечения прямой АВ с прямой, соединяющей концы векторов скоростей точек (рис. 2.6). G G

2. Если скорости VA и VB двух точек А и В плоской фигуры параллель-

ны между собой и не перпендикулярны прямой АВ (рис. 2.7, а) или скорости двух точек фигуры параллельны, равны и перпендикулярны отрезку АВ (рис. 2.7, б), то МЦС находится в бесконечности. Угловая скорость плоской фигуры в данный момент времени равна нулю (ω = 0), и тело имеет мгновенно-

поступательное распределение скоростей, т. е. в данный GмоментG времени скорости всех точек плоской фигуры геометрически равны: VA = VB .

V

А

A

V

А

A

(S)

(S)

B

V

В

P

B

P

V

В

а

б

Рис. 2.6

24

а

б

Рис. 2.7

Рис. 2.8

Рис. 2.9

3. При качении одного цилиндрического тела по поверхности другого, неподвижного тела (рис. 2.8) точка касания Р катящегося тела о неподвижнуюG поверхность имеет в данный момент времени скорость, равную нулю

(VP = 0), и является мгновенным центром скоростей.

4. Если известны вектор скорости VA точки А плоской фигуры и ее уг-

ловая скорость ω, то для определения МЦС (точки Р) следует вектор VA по-

вернуть вокруг точки А на 90º в направлении ω и на этой полуоси отложить расстояние АР (рис. 2.9), которое, согласно (2.10), определяется равенством

АР = VA/ω.

Вопросы для самопроверки

1.Какое движение называется плоскопараллельным?

2.Зависит ли поступательное движение плоской фигуры и ее поворот от выбора полюса?

3.Как определяется скорость любой точки плоской фигуры, если ее

точку А принять за полюс?