14

Тогда значение радиуса кривизны траектории в точке М определим по формуле

ρ =	V 2	(1.22)
	.
	an

Вопросы для самопроверки

1.Какими способами можно задать движение точки?

2.Что такое оси естественного трехгранника?

3.Как определяются модуль и направление вектора скорости и ускорения точки при координатном способе задания движения?

4.Как определяются вектор и модуль ускорения точки при естественном способе задания движения?

1.2. Задание К1. Исследование движения точки при координатном способе задания движения

Точка В движется в плоскости ху. Закон движения точки задан уравнениями x = f1(t), y = f2(t), где х и у выражены в сантиметрах, t – в секундах.

Найти уравнение траектории точки. Для момента времени t = 1 с определить скорость и ускорение точки, а также ее касательное и нормальное ускорения и радиус кривизны в соответствующей точке траектории.

Зависимость x = f1(t) указана на схемах рис. 1.5 (траектория точки показана условно), зависимость y = f2(t) дана в табл. К1 (для схем К1.0–К1.2 – в столбце2, для схем К1.3–К1.6 – в столбце3, для схем К1.7–К1.9 – в столбце4).

			Таблица К1
Номер		y = f2 (t)
условия	Схемы К1.0–К1.2	Схемы К1.3–К1.6	Схемы К1.7–К1.9
0	– 4cos (πt/2)	t2 – 2	4 – 9cos (πt/6)
1	12sin (πt/4)	4cos (πt/2)	2 – 3cos (πt/3)
2	12sin2 (πt/4)	4 + 2t2	4 – 6cos2 (πt/6)
3	2 + 4sin (πt/4)	2(t + 1)2	12cos (πt/6)
4	12cos (πt/2) + 13	(t + 1)3	9cos (πt/3) + 5
5	2sin (πt/4)	2 + 2sin (πt/2)	– 12cos (πt/6)
6	16sin2(πt/4) – 14	3t2 – 2	8cos (πt/6) – 3
7	8cos (πt/2)	2t3	– 9cos2 (πt/6)
8	4 + 8sin (πt/4)	4sin (πt/2)	6cos (πt/3) – 4
9	4cos (πt/2) + 3	3 – 4cos (πt/2)	2 – 2cos (πt/6)

				15
у	В			у	В
	x = 4 cos	πt	−2		x = 4 − 8 cos	πt
		4	х			4	х
	К1.0				К1.1
у	В			у	В

x =12 cos	πt	х		x = 4 − 2t	х
	4
К1.2				К1.3
			у	В

x = 2t +4

х

К1.4

К1.5

у

В

x = 2t + 2	х
К1.6	К1.7

К1.8

К1.9

Рис. 1.5

16

1.3. Пример 1 выполнения задания К1

Точка В движется в плоскости Оxy согласно уравнениям

х =12sin		πt		,	y = 4cos		πt		,
		6					6

где х, у выражены в сантиметрах, t – время в секундах. Определить уравнение траектории точки, скорость и ускорение точки, касательное и нормальное ускорения и радиус кривизны в соответствующей точке траектории в момент времени t = 1 с.

Р е ш е н и е 1. Для определения траектории движения точки исключим из заданных

уравнений движения точки время t. Из первого уравнения найдем sin (πt/6), а из второго – cos (πt/6):

πt

х

πt

y

sin

=

, cos

=

.

6

12

6

4

Полученные уравнения возведем в квадрат и сложим:

х2 + у2 =1. 122 42

Следовательно, траекторией является эллипс с полуосями 12 и 4 см

(рис. 1.6).

Чтобы определить положение точки В1(х1, у1) на этой траектории, найдем ее координаты в момент времени t = 1 с:

х1 =12sin

π

≈ 6 cм,

y1

π

≈ 3,5 cм.

= 4cos

6

6

2. Определим проекции век-

тора скорости на оси декартовых

координат:

πt π

πt

Vx = x =12cos

= 2πcos

,

6 6

6

Vy = y = −

πt π

= −

2π

πt

Рис. 1.6

4sin

3

sin

.

6 6

6

17

При t = 1 с

V1x =5,4 cм/с, V1y = −1,05 cм/с.

Следовательно, VG1 = 5, 4iG −1,05 Gj. Модуль скорости точки при t = 1 с

V1 = V12x +V12y ≈8,33 см/с.

3. Определим проекции ускорения точки на оси декартовых координат:

ax =

dV

x

d

πt

π2

πt

=

2πcos

= −

sin

,

dt

3

6

dt

6

ay =

dVy

d

2π

πt

π2

πt

=

−

cos

= −

cos

.

dt

3

9

6

dt

6

При t = 1 с

= −1,64 cм/с2 ,

= −0,95 cм/с2.

a

a

1x

1y

Следовательно, вектор ускорения точки aG

= −1,64i −0,95 Gj.

1

Модуль ускорения точки при t = 1 с

a1 = a12x + a12y ≈1,9 см/с2 .

4. Касательное ускорение определим по формуле (1.20)

aτ =Vxax +Vyay +Vzaz . V

Тогда при t = 1 с

a1τ = 5, 4 (−1, 64)+ (−1, 05) (−0, 95) ≈ −0,94 см/c2 . 8,33

Так как касательное ускорение отрицательное, то вектор aG1τ следует

направить по касательной в сторону, противоположную вектору скорости V1

точки, т. е. при t = 1 с точка движется замедленно. Если же касательное ускорение будет положительное, то его направление совпадает с направлением вектора скорости точки.

Вычислим нормальное ускорение точки:

an = a2 −aτ2 .