25

4.В чем заключается теорема о проекциях скоростей двух точек плоской фигуры?

5.Какая точка плоской фигуры является мгновенным центром скоро-

стей?

6.Как определяется угловая скорость плоской фигуры с помощью мгновенного центра скоростей?

7.Как называется распределение скоростей точек плоской фигуры, если в данный момент времени ее мгновенный центр скоростей находится

вбесконечности?

2.2.Задание К2. Исследование движения плоского механизма

Плоский механизм (схемы К2.0–К2.9 на рис. 2.10) состоит из стержней 1–4 и катка В, катящегося по неподвижной плоскости без скольжения. На рис. 2.10 тела соединены друг с другом и с неподвижными опорами О1 и О2 цилиндрическими шарнирами. Длины стержней: l1 = 0,4 м, l2 = 1,2 м, l3 = 1,4 м, l4 = 0,8 м; радиус катка R = 0,2 м.

Положение механизма определяется углами α, β, γ, φ, θ, значения которых заданы в табл. К2. Точка D на всех схемах и точка K для схем К2.7– К2.9 находятся в середине соответствующего стержня.

Определить величины, указанные в столбце «Найти» табл. К2, а также угловую скорость катка В и ускорение точки А, если в данный момент времени стержень 1 имеет угловое ускорение ε1 = 10 с–2.

Таблица К2

Номер		Углы, град					ω1, 1/c	ω4, 1/c2	VB, м/c	Найти
условия	α	β	γ		φ	θ				V точек	ω звена
0	30	150	120		0	60	2	–	–	В, Е, L	2
1	60	60	60		90	120	–	3	–	A, D, L	3
2	0	120	90		90	60	–	–	10	A, E, L	2
3	90	120	30		0	60	3	–	–	B, E, L	2
4	0	150	30		0	60	–	4	–	A, B, L	2
5	60	150	120		90	30	–	–	8	A, E, L	3
6	30	120	30		0	60	5	–	–	B, E, L	3
7	90	150	120		90	30	–	5	–	A, D, L	3
8	0	60	30		0	120	–	–	6	A, E, L	2
9	30	120	120		0	60	4	–	–	B, E, L	3

26

Указания. Построение чертежа начинать со стрежня, направление ко-

торого определяется углом α. Дуговые стрелки на схемах показывают, как

при построении чертежа механизма должны откладываться соответствующие

углы, т. е. по ходу или против хода часовой стрелки. Заданную в табл. K2

угловую

скорость

считать

направленной

против

хода

часовой

стрелки,

а заданную скорость VGB

шарнира В

в сторону b параллельно неподвижной

плоскости.

O

O

1

α

2

4

1

A

α

E

θ

β

2

2

D

3

E

D

O

L

3

γ

1

γ

θ

B

B

1

L

β

4

A

b

ϕ

O

ϕ

b

2

К2.0

К2.1

O

2

2

A

D

4

1

A

D

1

θ

β

B

β

E

α

O

O

α

γ

3

1

L

1

3

γ

2

ϕ

B

b

L

O

θ

E

4

b

ϕ

2

К2.2

К2.3

Рис. 2.10

27

1

A

α

O

E

γ

3

E

2

2

O

4

θ

A

γ

4

1

3

α

θ

β

B

O

β

2

O

D

2

L

D

1

1

L

ϕ

B

b

ϕ

b

К2.4

К2.5

b

L

B

γ

2

4

K

E

3

ϕ

O

3

E

β

D

B

L

D

2

γ

α

A

βα

θ

2

b

1

O

4

ϕ

θ

1

O

A

1

O

2

1

К2.6

К2.7

O

1

1

K

γ

E

3

O

β

L

D

β

4

2

3

B

1

1

α

A

b

α

K

D

θ

L

θ

ϕ

γ

b

B

4

O

2

A

O

E

2

ϕ

2

К2.8

К2.9

Рис. 2.10. Окончание

28

2.3. Пример выполнения задания К2

Плоский механизм состоит из четырех стержневых звеньев, соединенных между собой и с неподвижными опорами О1 и О2 цилиндрическими шарнирами, и катка В, катящегося по неподвижной плоскости без скольже-

ния (рис. 2.11).

Длины стержней соответственно равны l1, l2, l3, l4, радиус катка R, а положение механизма определяется углами α, β, γ, φ, θ; точка С находится в середине стержня 2.

Найти скорости точек В, С, L, E и угловые скорости всех звеньев механизма, если звено 1 (кривошип О1А) вращается с угловой скоростью ω1. Определить также ускорение точки А кривошипа О1А, если в данный момент его угловое ускорение ε1.

Решить задачу при следующих данных: ω1 = 4 рад/с; ε1 = 4 рад/с2; l1 = 0,4 м; l2 = 0,8 м; l3 = 0,6 м; l4 = 0,2 м; R = 0,2 м; α = 30º, β = 120º, γ = 45º,

φ= 0º, θ = 60º.

Ре ш е н и е

При движении рассматриваемого механизма стержни 1 и 4 совершают вращательные движения вокруг неподвижных осей О1 и О2 соответственно, стержни 2, 3 и каток В − плоскопараллельное движение.

1.Строим положение механизма в соответствии с заданными углами

α, β, γ, φ, θ (рис. 2.12).

2.Определим скорости точек механизма. Модуль скорости точки А

вычислим как скорость точки вращающегося кривошипа O1А:

VA = ω1l1 = 1,6 м/с, VA О1А.

Вектор VGA скорости точки А направлен перпендикулярно к кривошипу O1А в сторону его вращения (на рис. 2.12 в направлении угловой скорости ω1, изображенной дуговой стрелкой).

	Определяем VB. Вектор VB						скорости точки В известен по направлению,
так как эта			точка кроме			стержня 2 принадлежит катку, катящемуся				без
							скольжения по неподвижной горизонталь-
							ной плоскости, и траекторией точки В яв-
	A		2	C		L	ляется горизонтальная		прямая. Поэтому
1							вектор VB направим параллельно непод-
	α	β			B	b
O1				γ			вижной плоскости в сторону движения
	O 4		θ	3			катка.
							Теперь, зная V	A	и направление	V ,
	2		E			ϕ				B
							воспользуемся теоремой (2.6) о проекци-
							ях скоростей двух точек тела (стержня
			Рис. 2.11				АВ) на ось, проходящую через эти точки
							(на ось х, проведенную вдоль стержня 2).

29

Вычислив эти проекции, получим

VВ cos 30° = VA cos 30°,

отсюда

G VB =VA =1,6 м/с.

Находим VС . Поскольку точка С принадлежит стержню 2, то для опре-

деления ее скорости по модулю и направлению строим МЦС стержня АВ. Для этогоG наGрис. 2.12 восстановим перпендикуляры в точках А и В к скоро-

стям VA и VB до ихGпересечения и найдем точку Р2 – МЦС стержня 2. Направление вектора VA определяет направление поворота стержня АВ вокруг P2 (VGP2 = 0 ). Вектор VGС перпендикулярен отрезку Р2С, и, так как треугольник АР2В является равносторонним (медиана СР2 является биссектрисой и высотой этого треугольника), в заданном положении механизма вектор VС

направлен по стержню АВ в сторону поворота звена 2. Величину VС получим из пропорции (2.9) для МЦС:

				VC		= CP2 .
				V	A	AP
							2
							ω2	P2
	x		V				30o
		o
	30		A
	ω1		A
				2
O1	1	o	120o
	30					VC
							C
									VL
							o
						o	45	B
						45	30o		L
						3	VB
								ωB
			ω3
				75o		ω 60o		P
			P
						4	VE	B
			3	O2
							4 E
				Рис. 2.12

30

Отсюда

VC =VA CP2 =VA cos30o ≈1,39 м/с, VGC P2C.

AP2

Определим скорость точки L. Так как точки В и L принадлежат катку, совершающему плоскопараллельное движение, то для определения скорости точки L по модулю и направлению воспользуемся методом МЦС, т. е. найдем точку катка, скорость которой равна нулю. Для катка такой точкой всегда является точка его касания РВ с неподвижной горизонтальной плоскостью. Величину VL получим из пропорции для МЦС:

VL = LPB ,

VB BPB

тогда

V	=V	LPB	=1,6 R	2	≈ 2,26 м/с.
				R
L	B BP
		B

Направление вектора VB определяет направление поворота катка вокруг его МЦС – РВ, поэтому на рис. 2.12 вектор VL изобразим перпендику-

лярным расстоянию LPB Gв направлении этого поворота.

Найдем скорость VE . Поскольку кроме стержня 3 точка Е принадлежит

звену 4, совершающему вращательное движение вокруг оси O2, то вектор
ее	скорости VGE изобразим на рис. 2.12 перпендикулярно стержню 4
(VG	O2 E ).
E

Так как точки Е и С принадлежат одному звену 3, совершающему

плоскопараллельное движение, то для определения величины скорости точки Е строим МЦС для этогоG звенаG. На рис. 2.12, проведя из точек Е и С перпен-

дикуляры к скоростям VE и VС до их пересечения, найдем точку P3 – МЦС стержня 3. По направлению вектора VС установим направление поворота

стержня СЕ вокруг мгновенного центра скоростей P3. Численное значение скорости точки Е определим из пропорции для МЦС:

VЕ = EP3 ,

VC CP3

откуда

VE =VC EP3 .

CP3

31

Расстояния EP3 и CP3 найдем из треугольника CP3E по теореме синусов:

	EP3	=	CP3	=	CE	.
	sin 45°		sin 60°		sin 75°
Отсюда

EP = CE sin 45°		≈ 0, 439 м;	CP = CE sin 60°		≈ 0,538 м.
3	sin 75°		3	sin 75°

Тогда

VE =VC EP3 ≈1,13 м/с.

CP3

3. Определим угловые скорости всех звеньев рассматриваемого плоского механизма. Вычислим ω2. Так как МЦС стержня 2 известен (Р2) и АР2 = ВР2 = АВ = l2= 0,8 м (треугольник AP2B является равносторонним), то

ω2 = VA/AP2 = 2 c–1.

Каток совершает мгновенный поворот вокруг его МЦС – PB, поэтому

ωB =	VB	=	VB	= 8 c−1.
	BPB
			R

Аналогично для стержня 3 находим

ω3 = VC ≈ 2,58 c−1.

CP3

Стержень 4 совершает вращательное движение вокруг неподвижной оси O2, поэтому

ω =	VE	=	VE	≈ 5, 65 c−1.
4	EO2		l4

4. Найдем aGA. Точка А принадлежит звену 1, вращающемуся вокруг

неподвижной оси O1. Следовательно, ее ускорение определяется как ускорение точки вращающегося тела:

aA = аGАτ +аGАn .

Числовые значения касательного ускорения аАτ и нормального ускорения аGАn таковы:

аАτ = ε1l1 = 0,8 м/с2; аАn = ω12 l1 = 6,4 м/с2.