- •Кафедра информатики математика, ч.2 Численные методы, теория функций комплексного переменного, дискретная математика
- •1. Информация о дисциплине
- •1.2. Содержание дисциплины и виды учебной работы3
- •Раздел 1. Численные методы (59 часов)
- •Тематический план дисциплины
- •Тематический план дисциплины
- •2.3. Структурно-логическая схема дисциплины
- •3.2. Опорный конспект
- •Раздел 1. Численные методы
- •1.1. Обработка результатов измерений и погрешности вычислений
- •Вопросы для самопроверки по теме 1.1
- •1.2. Интерполяция и численное дифференцирование
- •Вопросы для самопроверки по теме 1.2
- •1.3. Численное интегрирование
- •Вопросы для самопроверки по теме 1.3
- •1.4. Приближение функций
- •Вопросы для самопроверки по теме 1.4
- •1.5. Многомерные задачи
- •1.6. Численные методы алгебры
- •Вопросы для самопроверки по теме 1.6
- •1.7. Решение систем нелинейных уравнений и задач оптимизации
- •1.8. Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений
- •Вопросы для самопроверки по теме 1.8
- •Раздел 2. Теория функций комплексного переменного
- •2.1. Комплексные числа и действия над ними
- •Вопросы для самопроверки по теме 2.1
- •2.2. Функции комплексного переменного (фкп). Условия Коши-Римана
- •Вопросы для самопроверки по теме 2.2
- •2.3. Элементарные функции и конформные отображения
- •2.4. Представление регулярных функций интегралами
- •2.5. Представление регулярных функций рядами
- •2.6. Вычеты функций и их применение
- •Раздел 3. Дискретная математика
- •3.1. Элементы теории графов
- •3.2. Формальные языки и дискретные автоматы
- •Ответ: 101001 110100. Табл.(**)
- •3.3. Элементы алгебры логики
- •Вопросы для самопроверки по теме 3.3
- •3.4. Учебное пособие
- •Раздел 4. Блок контроля освоения дисциплины
- •4.1. Методические указания к выполнению контрольных работ Контрольные работы №1 и №2
- •Варианты индивидуальных заданий
- •Контрольная работа №1 Задание 1
- •1. Цель работы
- •2. Основные теоретические положения
- •Задание 2
- •1. Цель работы
- •Задание 3
- •2.6. Метод Симпсона
- •Задание 4
- •Контрольная работа №2 Задание 5
- •Задание 6
- •Задание 7
- •Вычет в полюсе порядка m вычисляется по формуле
- •По теореме Коши о вычетах интеграл будет равен
- •Задание 8
- •Первая интерполяционная формула Ньютона для равноотстоящих узлов интерполяции
- •3. Порядок выполнения работы
- •2.1. Отделение корней Графический метод отделения корней
- •Решение.
- •Аналитический метод отделения корней
- •Другие методы отделения корней
- •Метод касательных (Ньютона)
- •3. Порядок выполнения работы
- •Лабораторная работа 3
- •Решение.
- •3. Порядок выполнения работы
- •Лабораторная работа 4
- •1. Цель работы
- •2. Основные теоретические положения
- •2.1. Метод прямоугольников
- •2.2. Метод трапеций
- •2.3. Метод парабол (Симпсона)
- •3. Порядок выполнения работы
- •3. Порядок выполнения работы
- •4.3. Блок текущего контроля
- •4.3.1. Репетиционный тест по разделу 1
- •4.3.2. Репетиционный тест по разделу 2
- •4.3.3. Репетиционный тест по разделу 3
- •Ответы:
- •2. Изобразить в виде графа структуру заданного языка и построить совокупность слов, порождаемых грамматикой данного языка: Алфавит . Правила грамматики:.
- •4. Построить сднф, сокращённую и минимальную днф булевой функции, заданной таблицей. Изобразить контактные схемы для исходной, сокращённой и минимальной днф.
- •4.5. Блок итогового контроля
- •4.5.1. Вопросы к зачёту
- •Глоссарий (краткий словарь основных терминов и положений)
- •Содержание
- •Раздел 1. Численные методы ………………………………… 15
Раздел 2. Теория функций комплексного переменного
Второй раздел включает шесть тем: Комплексные числа и действия над ними; Функции комплексного переменного (ФКП). Условия Коши-Римана; Элементарные функции и конформные отображения; Представление регулярных функций интегралами; Представления регулярных функций рядами; Вычеты функций и их применение.
Работа с разделом 2 завершается выполнением контрольной работы.
Для того, чтобы Вы смогли успешно ответить на вопросы контрольного теста, Вам предоставляется возможность поработать с репетиционным тестом. Он является полным аналогом контрольного теста, однако время работы с ним не ограничено, и даются правильные ответы на вопросы.
Если Вы испытываете затруднения в ответе на какой-либо вопрос, обратитесь к глоссарию или учебному пособию.
Если Вы справились с репетиционным тестом, переходите к контрольному тесту. Индивидуальный вариант теста следует получить у своего преподавателя (тьютора), при этом время ответа ограничено. Каждый правильный ответ контрольного теста оценивается в два балла, следовательно, в сумме по первому разделу можно получить 20 баллов.
Желаем успеха!
2.1. Комплексные числа и действия над ними
Изучаемые вопросы: Определение комплексного числа (к.ч.). Геометрическая интерпретация к.ч. Алгебраическая, тригонометрическая и показательная формы к.ч. Действия с к.ч. в различных формах.
После изучения материала опорного конспекта и письменных лекций Вам следует решить одну из задач контрольной работы согласно [4]. Для проверки усвоения материала Вам предстоит ответить на вопросы для самопроверки.
Формы представления комплексных чисел (К.ч.)
Говорят, что существует взаимнооднозначное соответствие между числом и точкой вещественной оси (рис.1). Также, между точками плоскости и парами вещественных чисел существует взаимнооднозначное соответствие. Назовём такое число комплексным, где – координаты комплексного числа на плоскости. Это будет т.н.координатная форма комплексного числа.
Рис.2
Рис.1
К.ч. отвечает векториз начала координат. Его компоненты:и, или, где– длина вектора, или егомодуль, – угол между вектором и положительным направлением оси, илиаргумент к.ч., (иногда его называютфазой) (рис.2).
Используют также алгебраическую форму представления К.ч., записывая его в виде , где– вещественные числа, а– символ, такой что, называемыймнимой единицей. Тогда в тригонометрической форме К.ч. может быть записано как .
Важным свойством всех этих форм записи является то, что при этом удовлетворяются основные правила алгебры.
Подробнее об этом Вы прочтёте в Учебном пособии. Здесь же мы хотели бы сделать следующее замечание. Непосредственный физический смысл имеют, конечно же, только действительные величины. Но комплексные функции, содержащие символ мнимой единицы играют важную роль в физике и технике. Этому есть, по крайней мере, три причины.
1. Многие физические величины описываются функциями иот двух переменныхи, связанных уравнениями
. (1)
Такие пары встречаются, например, в двумерных задачах электростатики и гидродинамики. В этом случае иявляются вещественной и мнимой частямианалитической функции комплексного переменного.
2. Решения дифференциальных уравнений физики в некоторых областях действительного переменного получаются в виде степенных рядов. А тот же степенной ряд может представлять функцию комплексного переменного, поэтому изучение комплексных переменных часто помогает получить более компактные выражения для вещественных значений аргумента.
3. Многие интегралы, заданные в вещественной форме, легче вычисляются, будучи связанными с комплексными интегралами при использовании метода контурного интегрирования, основанного на теореме Коши.