![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Кафедра информатики математика, ч.2 Численные методы, теория функций комплексного переменного, дискретная математика
- •1. Информация о дисциплине
- •1.2. Содержание дисциплины и виды учебной работы3
- •Раздел 1. Численные методы (59 часов)
- •Тематический план дисциплины
- •Тематический план дисциплины
- •2.3. Структурно-логическая схема дисциплины
- •3.2. Опорный конспект
- •Раздел 1. Численные методы
- •1.1. Обработка результатов измерений и погрешности вычислений
- •Вопросы для самопроверки по теме 1.1
- •1.2. Интерполяция и численное дифференцирование
- •Вопросы для самопроверки по теме 1.2
- •1.3. Численное интегрирование
- •Вопросы для самопроверки по теме 1.3
- •1.4. Приближение функций
- •Вопросы для самопроверки по теме 1.4
- •1.5. Многомерные задачи
- •1.6. Численные методы алгебры
- •Вопросы для самопроверки по теме 1.6
- •1.7. Решение систем нелинейных уравнений и задач оптимизации
- •1.8. Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений
- •Вопросы для самопроверки по теме 1.8
- •Раздел 2. Теория функций комплексного переменного
- •2.1. Комплексные числа и действия над ними
- •Вопросы для самопроверки по теме 2.1
- •2.2. Функции комплексного переменного (фкп). Условия Коши-Римана
- •Вопросы для самопроверки по теме 2.2
- •2.3. Элементарные функции и конформные отображения
- •2.4. Представление регулярных функций интегралами
- •2.5. Представление регулярных функций рядами
- •2.6. Вычеты функций и их применение
- •Раздел 3. Дискретная математика
- •3.1. Элементы теории графов
- •3.2. Формальные языки и дискретные автоматы
- •Ответ: 101001 110100. Табл.(**)
- •3.3. Элементы алгебры логики
- •Вопросы для самопроверки по теме 3.3
- •3.4. Учебное пособие
- •Раздел 4. Блок контроля освоения дисциплины
- •4.1. Методические указания к выполнению контрольных работ Контрольные работы №1 и №2
- •Варианты индивидуальных заданий
- •Контрольная работа №1 Задание 1
- •1. Цель работы
- •2. Основные теоретические положения
- •Задание 2
- •1. Цель работы
- •Задание 3
- •2.6. Метод Симпсона
- •Задание 4
- •Контрольная работа №2 Задание 5
- •Задание 6
- •Задание 7
- •Вычет в полюсе порядка m вычисляется по формуле
- •По теореме Коши о вычетах интеграл будет равен
- •Задание 8
- •Первая интерполяционная формула Ньютона для равноотстоящих узлов интерполяции
- •3. Порядок выполнения работы
- •2.1. Отделение корней Графический метод отделения корней
- •Решение.
- •Аналитический метод отделения корней
- •Другие методы отделения корней
- •Метод касательных (Ньютона)
- •3. Порядок выполнения работы
- •Лабораторная работа 3
- •Решение.
- •3. Порядок выполнения работы
- •Лабораторная работа 4
- •1. Цель работы
- •2. Основные теоретические положения
- •2.1. Метод прямоугольников
- •2.2. Метод трапеций
- •2.3. Метод парабол (Симпсона)
- •3. Порядок выполнения работы
- •3. Порядок выполнения работы
- •4.3. Блок текущего контроля
- •4.3.1. Репетиционный тест по разделу 1
- •4.3.2. Репетиционный тест по разделу 2
- •4.3.3. Репетиционный тест по разделу 3
- •Ответы:
- •2. Изобразить в виде графа структуру заданного языка и построить совокупность слов, порождаемых грамматикой данного языка: Алфавит . Правила грамматики:.
- •4. Построить сднф, сокращённую и минимальную днф булевой функции, заданной таблицей. Изобразить контактные схемы для исходной, сокращённой и минимальной днф.
- •4.5. Блок итогового контроля
- •4.5.1. Вопросы к зачёту
- •Глоссарий (краткий словарь основных терминов и положений)
- •Содержание
- •Раздел 1. Численные методы ………………………………… 15
Задание 2
Приближенное решение уравнений.
Отделение корней. Уточнение корней.
1. Цель работы
Ознакомиться с численными методами решения конечных уравнений.
Основные теоретические положения
2.1. Постановка задачи
В общем случае уравнение с одним неизвестным имеет вид
f(x)=0, (7)
где f (х) – заданная функция, определенная на отрезке [a,b]. Всякое число x (действительное или мнимое) на отрезке [a,b], обращающее уравнение в тождество:
f(x)º0 (8)
называется корнем уравнения или его решением.
Решение задачи приближенного определения корней уравнения состоит из двух этапов:
1) отделение корней, т.е. нахождение подинтервалов [a,b] на отрезке [a,b], которые содержат только один корень уравнения;
2) уточнение корней, т.е. непосредственное вычисление значений корней на найденных подинтервалах [a,b] с заданной точностью e.
2.2. Отделение корней
Графический способ отделения корней заключается в построении графика функции f(x) на отрезке [a,b]. Точка пересечения графика функции с осью абсцисс дает приближенное значение корня уравнения. Найденные таким образом приближенные значения корней позволяют выделить отрезки [a, b], на которых при необходимости можно выполнить уточнение корней (рис.1).
f(x)
x1
x2
x3
a1 b1 a2 b2 a3 b3 х
Рис. 1
При отделении действительных корней расчетным путем для непрерывных функций f(x) можно руководствоваться следующими соображениями:
если на концах отрезка [a,b] функция имеет разные знаки (f(a)f(b)<0), то между точками а и b на оси абсцисс имеется нечетное число корней;
если же f(a) f(b)>0, то между а и b имеется четное число корней или их совсем нет;
если f(a) f(b)<0 и либо первая производная f(x), либо вторая производная f (x) не меняют знака на этом отрезке, то уравнение имеет единственный корень на отрезке [a, b].
Уточнение корней
Численный метод, при котором уточняется первоначальное грубое приближение, называется итерационным методом или методом последовательных приближений. Каждый шаг этого метода называется итерацией.
Если при последовательных итерациях (к = 1,2,...) получаемые величины х(к) все ближе приближаются к истинному значению корня x, то итерационный процесс будет сходящимся, в противном случае – расходящимся. При этом различают монотонную и колебательную сходимость (расходимость) в зависимости от того, с одной или с разных сторон осуществляется приближение (удаление) к (от) искомому решению.
Для реализации итерационного процесса должны быть заданы начальное приближение х(0) и точность e, с которой требуется найти решение уравнения. Первоначальное грубое приближение х(0) следует задавать из физических соображений и по результатам отделения корней. Все остальные приближения получаются из итерационной формулы, соответствующей используемому методу решения уравнения.
Условие окончания итерационного процесса (нахождения значения корня с точностью e) имеет вид
½x(к+1) - x(к)½=< e, k = 0,1,2,3,… . (9)
2.3.1 Уточнение корней Методом Ньютона
Опишем процедуру
уточнения корня
,
который отделён и находится на отрезке
.
Уточнение корня проведём, используя
итерационную формулу Ньютона
,(10)
где
– приближение
к корню на k-ом
шаге (на k-ой
итерации),
. В пределе:
при
.
Начальное приближение
– это любая
точка из отрезка
,
удовлетворяющая условию сходимости
итерационного процесса (1)
.
(11)
Обычно в качестве
значения
используют либо левый, либо правый конец
отрезка
.
Пример 1.
Уточнить корень
уравнения
на отрезке
,
сделав три шага по формуле Ньютона.
○Вычислим первую
и вторую производные функции
.
Получим
и
.
Итерационное уравнение в нашем случае запишется так
,
или после приведения дробей к общему знаменателю в правой части последнего соотношения, получим более удобное для дальнейших вычислений уравнение
. (12)
В качестве
начального приближения возьмём правый
конец отрезка
.
Проверяем условие сходимости (11)
.
Условие сходимости
метода Ньютона для
выполнено.
Последовательно применяя соотношение
(3), получим:
;
;
.
Уточнённое значение
корня
.
В
качестве оценки абсолютной погрешности,
полученного результата можно использовать
величину
.●