- •Кафедра информатики математика, ч.2 Численные методы, теория функций комплексного переменного, дискретная математика
- •1. Информация о дисциплине
- •1.2. Содержание дисциплины и виды учебной работы3
- •Раздел 1. Численные методы (59 часов)
- •Тематический план дисциплины
- •Тематический план дисциплины
- •2.3. Структурно-логическая схема дисциплины
- •3.2. Опорный конспект
- •Раздел 1. Численные методы
- •1.1. Обработка результатов измерений и погрешности вычислений
- •Вопросы для самопроверки по теме 1.1
- •1.2. Интерполяция и численное дифференцирование
- •Вопросы для самопроверки по теме 1.2
- •1.3. Численное интегрирование
- •Вопросы для самопроверки по теме 1.3
- •1.4. Приближение функций
- •Вопросы для самопроверки по теме 1.4
- •1.5. Многомерные задачи
- •1.6. Численные методы алгебры
- •Вопросы для самопроверки по теме 1.6
- •1.7. Решение систем нелинейных уравнений и задач оптимизации
- •1.8. Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений
- •Вопросы для самопроверки по теме 1.8
- •Раздел 2. Теория функций комплексного переменного
- •2.1. Комплексные числа и действия над ними
- •Вопросы для самопроверки по теме 2.1
- •2.2. Функции комплексного переменного (фкп). Условия Коши-Римана
- •Вопросы для самопроверки по теме 2.2
- •2.3. Элементарные функции и конформные отображения
- •2.4. Представление регулярных функций интегралами
- •2.5. Представление регулярных функций рядами
- •2.6. Вычеты функций и их применение
- •Раздел 3. Дискретная математика
- •3.1. Элементы теории графов
- •3.2. Формальные языки и дискретные автоматы
- •Ответ: 101001 110100. Табл.(**)
- •3.3. Элементы алгебры логики
- •Вопросы для самопроверки по теме 3.3
- •3.4. Учебное пособие
- •Раздел 4. Блок контроля освоения дисциплины
- •4.1. Методические указания к выполнению контрольных работ Контрольные работы №1 и №2
- •Варианты индивидуальных заданий
- •Контрольная работа №1 Задание 1
- •1. Цель работы
- •2. Основные теоретические положения
- •Задание 2
- •1. Цель работы
- •Задание 3
- •2.6. Метод Симпсона
- •Задание 4
- •Контрольная работа №2 Задание 5
- •Задание 6
- •Задание 7
- •Вычет в полюсе порядка m вычисляется по формуле
- •По теореме Коши о вычетах интеграл будет равен
- •Задание 8
- •Первая интерполяционная формула Ньютона для равноотстоящих узлов интерполяции
- •3. Порядок выполнения работы
- •2.1. Отделение корней Графический метод отделения корней
- •Решение.
- •Аналитический метод отделения корней
- •Другие методы отделения корней
- •Метод касательных (Ньютона)
- •3. Порядок выполнения работы
- •Лабораторная работа 3
- •Решение.
- •3. Порядок выполнения работы
- •Лабораторная работа 4
- •1. Цель работы
- •2. Основные теоретические положения
- •2.1. Метод прямоугольников
- •2.2. Метод трапеций
- •2.3. Метод парабол (Симпсона)
- •3. Порядок выполнения работы
- •3. Порядок выполнения работы
- •4.3. Блок текущего контроля
- •4.3.1. Репетиционный тест по разделу 1
- •4.3.2. Репетиционный тест по разделу 2
- •4.3.3. Репетиционный тест по разделу 3
- •Ответы:
- •2. Изобразить в виде графа структуру заданного языка и построить совокупность слов, порождаемых грамматикой данного языка: Алфавит . Правила грамматики:.
- •4. Построить сднф, сокращённую и минимальную днф булевой функции, заданной таблицей. Изобразить контактные схемы для исходной, сокращённой и минимальной днф.
- •4.5. Блок итогового контроля
- •4.5.1. Вопросы к зачёту
- •Глоссарий (краткий словарь основных терминов и положений)
- •Содержание
- •Раздел 1. Численные методы ………………………………… 15
Задание 3
Приближенное интегрирование с заданным шагом
Цель работы
Изучение способов приближенного интегрирования
Основные теоретические положения
Постановка задачи
Пусть необходимо вычислить определенный интеграл
I = . (13)
Методы приближенного интегрирования основаны на использовании геометрической интерпретации значения определенного интеграла, как площади криволинейной трапеции, ограниченной осью абсцисс, прямыми x = a, x = b и кривой f (x) (рис.2).
f(x) f(x)
x 0 a b
Рис.2
Для вычисления интересующей нас площади (см. рис.3) разобьем область интегрирования на n равных частей точками:
x = a, x1, x2, ... , xi, xi+1, ... , x n = b. (14)
f(x) f(x) Рис.3
Ii
x
0 х= a хi xi+1 х= b
Тогда I = ,
где Ii = . (15)
Значит, для вычисления интеграла (13) необходимо вычислить n площадей фигур криволинейных трапеций (рис.3).
Интегрирование функций, полученных из экспериментальных данных
Как правило, в результате эксперимента получают дискретные данные, т.е. в узлах хi производят измерение значений некоторой функции yi, (см.работу 1).
Интегрирование дискретных данных включает в себя предварительную аппроксимацию или интерполяцию этих данных известной функцией с последующим ее интегрированием. В большинстве случаев не удается подобрать одну функцию для аппроксимации на всем интервале, поэтому область интегрирования разделяется на большое количество подинтервалов, на каждом из которых используется простая функция типа линейной, квадратической или кубической. После чего результаты аппроксимации для отдельных подинтервалов складываются вместе для получения полного интеграла.
Рассмотрим три простейших метода приближенного интегрирования.
Типы формул интегрирования
Наиболее часто при численном интегрировании используются метод прямоугольников, метод трапеций, интегрирование по Ромбергу, метод Симпсона и квадратура Гаусса. Каждый из этих методов является более точным, чем предыдущий, поскольку производит аппроксимацию данных более сложной кривой.
Метод прямоугольников
Согласно методу прямоугольников, область между точками разбиения интервала интегрирования [a,b] заменяется прямоугольником, высота которого соответствует координате Y одной из точек, а ширина равна расстоянию между точками. Значение интеграла определяется по следующей формуле:
I= . (16)
Такое приближение может показаться грубым, однако при малой ширине интервала и гладкой функции результаты получаются достаточно точными. Кроме того, такой метод очень просто реализовать, поскольку достаточно просто вычисляется площадь прямоугольника – перемножается значение Y в каждой точке на ширину интервала и результаты складываются.
Метод трапеций
Согласно этому методу, каждая пара соседних точек соединяется прямой линией, образуя последовательность трапеций.
Площадь трапеции равняется полусумме оснований, умноженной на высоту, которая в данном случае равна расстоянию между точками по оси Х. Интеграл равен сумме площадей всех трапеций.
I=. (17)