- •Кафедра информатики математика, ч.2 Численные методы, теория функций комплексного переменного, дискретная математика
- •1. Информация о дисциплине
- •1.2. Содержание дисциплины и виды учебной работы3
- •Раздел 1. Численные методы (59 часов)
- •Тематический план дисциплины
- •Тематический план дисциплины
- •2.3. Структурно-логическая схема дисциплины
- •3.2. Опорный конспект
- •Раздел 1. Численные методы
- •1.1. Обработка результатов измерений и погрешности вычислений
- •Вопросы для самопроверки по теме 1.1
- •1.2. Интерполяция и численное дифференцирование
- •Вопросы для самопроверки по теме 1.2
- •1.3. Численное интегрирование
- •Вопросы для самопроверки по теме 1.3
- •1.4. Приближение функций
- •Вопросы для самопроверки по теме 1.4
- •1.5. Многомерные задачи
- •1.6. Численные методы алгебры
- •Вопросы для самопроверки по теме 1.6
- •1.7. Решение систем нелинейных уравнений и задач оптимизации
- •1.8. Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений
- •Вопросы для самопроверки по теме 1.8
- •Раздел 2. Теория функций комплексного переменного
- •2.1. Комплексные числа и действия над ними
- •Вопросы для самопроверки по теме 2.1
- •2.2. Функции комплексного переменного (фкп). Условия Коши-Римана
- •Вопросы для самопроверки по теме 2.2
- •2.3. Элементарные функции и конформные отображения
- •2.4. Представление регулярных функций интегралами
- •2.5. Представление регулярных функций рядами
- •2.6. Вычеты функций и их применение
- •Раздел 3. Дискретная математика
- •3.1. Элементы теории графов
- •3.2. Формальные языки и дискретные автоматы
- •Ответ: 101001 110100. Табл.(**)
- •3.3. Элементы алгебры логики
- •Вопросы для самопроверки по теме 3.3
- •3.4. Учебное пособие
- •Раздел 4. Блок контроля освоения дисциплины
- •4.1. Методические указания к выполнению контрольных работ Контрольные работы №1 и №2
- •Варианты индивидуальных заданий
- •Контрольная работа №1 Задание 1
- •1. Цель работы
- •2. Основные теоретические положения
- •Задание 2
- •1. Цель работы
- •Задание 3
- •2.6. Метод Симпсона
- •Задание 4
- •Контрольная работа №2 Задание 5
- •Задание 6
- •Задание 7
- •Вычет в полюсе порядка m вычисляется по формуле
- •По теореме Коши о вычетах интеграл будет равен
- •Задание 8
- •Первая интерполяционная формула Ньютона для равноотстоящих узлов интерполяции
- •3. Порядок выполнения работы
- •2.1. Отделение корней Графический метод отделения корней
- •Решение.
- •Аналитический метод отделения корней
- •Другие методы отделения корней
- •Метод касательных (Ньютона)
- •3. Порядок выполнения работы
- •Лабораторная работа 3
- •Решение.
- •3. Порядок выполнения работы
- •Лабораторная работа 4
- •1. Цель работы
- •2. Основные теоретические положения
- •2.1. Метод прямоугольников
- •2.2. Метод трапеций
- •2.3. Метод парабол (Симпсона)
- •3. Порядок выполнения работы
- •3. Порядок выполнения работы
- •4.3. Блок текущего контроля
- •4.3.1. Репетиционный тест по разделу 1
- •4.3.2. Репетиционный тест по разделу 2
- •4.3.3. Репетиционный тест по разделу 3
- •Ответы:
- •2. Изобразить в виде графа структуру заданного языка и построить совокупность слов, порождаемых грамматикой данного языка: Алфавит . Правила грамматики:.
- •4. Построить сднф, сокращённую и минимальную днф булевой функции, заданной таблицей. Изобразить контактные схемы для исходной, сокращённой и минимальной днф.
- •4.5. Блок итогового контроля
- •4.5.1. Вопросы к зачёту
- •Глоссарий (краткий словарь основных терминов и положений)
- •Содержание
- •Раздел 1. Численные методы ………………………………… 15
2.6. Метод Симпсона
Согласно правилу Симпсона, для аппроксимации данных используется уравнение параболы, построенной по трем точкам (правило 1/3) или по четырем точкам (правило 3/8).
(18)
I =. (19)
Пример 1.
Вычислить определенный интеграл
с помощью методов прямоугольников и трапеций с числом шагов, равным 5. Сравнить результаты вычислений двумя методами. (Истинное значение интеграла равно 3.208).
○Метод прямоугольников
Для удобства запишем значения функции в узлах в таблицу.
xi |
f(xi) слева |
f(xi) справа |
0 1 2 3 4 |
0 0.5 0.667 0.75 0.8 |
0.5 0.667 0.75 0.8 0.833 |
Σ |
2.717 |
3.55 |
Значение интеграла (слева) просто равно сумме значений в узлах, т.к. шаги равно 2.717, значение интеграла (справа) = 3.55.
Среднее значение интеграла равно (2.717+3.55)/2 = 3.1335.
Метод трапеций
Таблица значений получается, по сути дела, той же самой
-
xi
f(xi)
0
1
2
3
4
5
0
0.5
0.667
0.75
0.8
0.833
И значение интеграла
●
Задание 4
Приближенное интегрирование дифференциальных уравнений 1 –го порядка методом Эйлера
Цель работы
Изучение метода Эйлера интегрирования дифференциальных уравнений 1 – го порядка.
Основные теоретические положения
Согласно методу Эйлера для решения дифференциального уравнения 1-го порядка
(20)
с начальным условием
(21)
(так называемая задача Коши) отрезок [a, b], на котором ищется решение задачи, разбивают на n частей с шагом h = (b – a) / n и находят значения
yk = y(xk) в точках xk = x0 + kh (k = 0,1,..n). Очевидно, что при этом x0 = a, xn = b. Значения yk+1 определяется по формуле
, (22)
которая получается заменой производной на ее разностный аналог.
Погрешность вычислений на каждом шаге составляет
(23)
Пример 1.
Решить задачу Коши для обыкновенного дифференциального уравнения 1-го порядка методом Эйлера. Вычисления выполнять с четырьмя десятичными знаками на отрезке [0,2; 1,2] с шагом 0,1. Уравнение:
○Для численного решения заданного уравнения с начальным условием нам потребуется выполнить шагов. На каждом шаге надо вычислить значения и .
Первый шаг. (k = 0). Имеем:
. Вычислим
.
Тогда и, следовательно, по формуле (22)
.
Делаем следующий шаг.
Второй шаг. (k=1).
.
Вычислим .
Тогда и .
И так далее.
Для удобства, все вычисления удобно представить в виде таблицы
k |
xk |
yk |
y`k=f(xk, yk) |
hyk |
yk+1 |
0 |
0,2 |
0,25 |
0,6513 |
0,0651 |
0,3151 |
1 |
0,3 |
0,3151 |
0,7784 |
0,0778 |
0,3929 |
2 |
0,4 |
0,3929 |
0,9316 |
0,0932 |
0,4861 |
3 |
0,5 |
0,4861 |
1,1160 |
0,1116 |
0,5977 |
4 |
0,6 |
0,5977 |
1,3371 |
0,1337 |
0,7314 |
5 |
0,7 |
0,7314 |
1,6019 |
0,1602 |
0,8916 |
6 |
0,8 |
0,8916 |
1,9184 |
0,1918 |
1,0835 |
7 |
0,9 |
1,0835 |
2,2962 |
0,2296 |
1,3131 |
8 |
1,0 |
1,3131 |
2,7466 |
0,2747 |
1,5878 |
9 |
1,1 |
1,5878 |
3,2829 |
0,3283 |
1,9161 |
10 |
1,2 |
1,9161 |
3,2912 |
0,3291 |
|
Таким образом, задача решена. ●