2.4. Представление регулярных функций интегралами

Изучаемые вопросы: Интеграл от ФКП. Свойства интеграла. Теорема Коши. Интеграл с переменным верхним пределом. Основная формула интегрального исчисления.

2.4.1. Интеграл от ФКП

Пусть на кривой плоскостизадана ФКП(рис.1). Разобьём её начастей точкамии составим интегральную сумму

, (1)

где . Будем бесконечно увеличивать дробление кривойтак, чтобы. Тогда, если– кусочно-гладкая и непрерывная, то существует конечный предел суммы, не зависящий ни от способа дробления, ни от выбора точки, и он называетсяинтегралом от вдоль кривой :

. (2)

Интеграл от ФКП можно выразить через вещественные криволинейные интегралы. Пусть, как обычно,

О свойствах интеграла Вы прочитаете в Учебном пособии.

2.4.2. Теорема Коши

Пусть регулярна в односвязной ограниченной области, тогда интеграл вдоль любой замкнутой кривойравен нулю. Т.е.

. (1)

Примем эту теорему без доказательства, и обобщим её на многосвязные области. Но сначала отметим, что условия Коши-Римана достаточны для того, чтобы . И обратно, еслинепрерывна в односвязной области и, тоудовлетворяет условиям Коши-Римана в этой области.

Отсюда следуетвторое определение регулярной функции: однозначная и непрерывная функция называется регулярной, если .

Рассмотрим двусвязную область, как на рисунке.

Проведём в области разрези рассмотрим контур, начиная от точки разреза на внешней границе. Обойдём этот контур в положительном направлении, т.е. так, чтобы областьоставалась слева (жирные стрелки). Тонкие стрелки означают путь по внутренней границе в отрицательном направлении, но областьвсё равно остаётся слева, тогда интеграл по замкнутому контуру будет равенпо внешнему контуру равенпо всем внутренним контурам. ( В н

Рис.1.

ашем случае имеется только один внутренний контур). При этом интегралы по разрезам взаимно уничтожаются. Т.о.,

. (2)

2.4.3. И

нтеграл с переменным верхним пределом. Основная формула интегрального исчисления

Пусть функция регулярна в области. Рассмотрим функцию– интеграл с переменным верхним пределом от функции. Можно доказать, что существует производная этого интеграла, причём. Т.е., как и в вещественном анализе, является первообразной функцией для. И, также,

. (3)

2.4.4. Интегральная формула Коши

1) Вычислим при целом, считая, что контурне проходит через точку. При, очевидно,. И этот интеграл будет однозначной регулярной функцией везде, при, или везде, кроме.

Пусть теперь . Тогда , считая что контурне проходит через точкуполучим интеграл. Если точкалежит вне контура, то, по теореме Коши, этот интеграл по любому замкнутому контуру будет равен нулю: .

Теперь пусть точка находится внутри контура. Тогда в точкеподынтегральная функция не определена, и, значит, не регулярна. Окружим эту точку окружностьюрадиуса(см. рисунок), тогдарегулярна в кольце.

Н

а кольце– аргумент числа. Но, тогда

и не зависит от радиуса . Итак,

(4)

2) Формула Коши. Пусть регулярна в областии– контури точка. Составим функцию. Она регулярна везде в области, кроме точки. Окружим эту точку кругом радиуса(см. рисунок).

Всерой области эта функция регулярна везде, тогда по теореме Коши

при обходе по в положительном направлении. Но, тогда

Члены, выделенные жирным шрифтом не зависят от , а последний член можно оценить, как

поскольку , а при. Следовательно,. И, заменяяна, получаем:

. (5)

Далее, точка лежит в области, точка – на линии , т.е.. Значит, подынтегральная функция в (5) непрерывна, и её можно дифференцировать попод интегралом сколько угодно раз. Тогда

. (6)

Итак, интегральная формула Коши (5) выражает значение регулярной функции во внутренней точке области через значение этой же функции на границе области. Оказывается также, что регулярная функция имеет производные любого порядка, которые, разумеется, также являются регулярными функциями. Их можно найти по формуле (6).

Формула Коши играет важную роль в ТФКП, являясь основой для решения граничных задач.

Вопросы для самопроверки по теме 2.4

1. Что называется интегралом от вдоль кривой ?

2. Как интеграл от ФКП выражается через вещественные криволинейные интегралы?

3. Сформулируйте теорему Коши для многосвязной области.

4. Дайте два определения регулярной функции.

5. Напишите основную формулу интегрального исчисления. Есть ли различия в ней для вещественного и комплексного переменного.

6. Чему равен ?

7. Напишите интегральную формулу Коши.