Раздел 1. Численные методы
Первый раздел включает восемь тем: Обработка результатов измерений и погрешности вычислений; Интерполяция и численное дифференцирование; Численное интегрирование; Приближение функций; Многомерные задачи; Численные методы алгебры; Решение систем нелинейных уравнений и задач оптимизации; Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений.
Работа с разделом 1 завершается сдачей контрольного теста.
Для того чтобы Вы смогли успешно ответить на вопросы контрольного теста, Вам предоставляется возможность поработать с репетиционным тестом. Он является полным аналогом контрольного теста, однако время работы с ним не ограничено, и даются правильные ответы на вопросы.
Если Вы испытываете затруднения в ответе на какой-либо вопрос, обратитесь к глоссарию или учебному пособию.
Если Вы справились с репетиционным тестом, переходите к контрольному тесту. Индивидуальный вариант теста следует получить у своего преподавателя (тьютора), при этом время ответа ограничено. Каждый правильный ответ контрольного теста оценивается в два балла, следовательно, в сумме по первому разделу можно получить 20 баллов.
Желаем успеха!
1.1. Обработка результатов измерений и погрешности вычислений
Изучаемые вопросы: Источники и классификация погрешности. Запись чисел в ЭВМ. Абсолютная и относительная погрешности. Формы записи данных. О вычислительной погрешности. Погрешности функций.
После изучения этой темы Вам следует ответить на вопросы для самопроверки.
Следует различать погрешности измерений и погрешности решения задач. Первые изучаются в физике, а вторые обуславливаются несколькими причинами: неточностью модели, описывающей то или иное явление, неточностью метода решения и неточностью данных на этапе ввода их для решения, или вывода результатов округления. Поэтому говорят о неустранимых погрешностях, погрешностях метода и вычислительных погрешностях.
Если
– точное значение некоторой величины,
а
– приближённое, тоабсолютной
погрешностью
приближённого значения
называют величину
,
про которую известно, что
. (1)
Относительной
погрешностью
приближённого
значения
называют величину
,
про которую известно, что
. (2)
Часто её выражают в процентах.
Абсолютную и относительную погрешности принято записывать в виде числа, содержащего одну или две значащие цифры в форме
. (3)
Например,
Пример
1. ○Абсолютная
и относительная погрешности числа
.
Число
– трансцендентное число, равное
3,1415926… . Приближённое значение
.
Граница абсолютной погрешности
,
или, с учётом (3),
.
Граница относительной погрешности
.●
Значащими цифрами
числа
называют все цифры в его записи, начиная
с первой ненулевой слева.
Пример 2. ○Подчёркнуты значащие цифры в следующих числах:
0,573; 24,0350; 0,0025400.●
Значащая цифра
числа
называетсяверной,
если абсолютная погрешность числа не
превосходит единицы разряда,
соответствующего этой цифре.
Пример
3. ○Верные
цифры числа
подчёркнуты:
Если
,
то верных цифр в числе три:
=3,1415926,
если
,
то верных цифр в числе две:
=
3,1415926,
если
,
то верных цифр в числе четыре:
=3,14115926.
●
Для оценки погрешности арифметических действий используют следующие правила.
Абсолютные погрешности суммы или разности не превосходят абсолютной погрешности их членов:
(4)
Относительные погрешности в этом случае
(5)
Абсолютные погрешности произведения и частного рассчитывают по формулам
и (6)
(7)
соответственно. Их относительные погрешности равны:
. (8)
В частности,
. (9)
Пример 4. Вычислить и определить погрешности результата.
,
где
.
○Имеем
Тогда
Относительная погрешность
Тогда абсолютная
погрешность равна
.
Итак,
.
●
Существенную часть теории численных методов составляет построение устойчивых алгоритмов, использование которых ведёт к искажению результатов вычислений с погрешностью, находящейся в заданных пределах. В этом случае говорят о вычислительной погрешности. Например, потеря значащих цифр происходит при вычитании близких больших чисел. Если такие числа округлить с большой абсолютной погрешностью, то результат вычитания их также даст большую абсолютную погрешность. Во избежание этого такие расчёты следует проводить с двойной точностью.
Следует помнить, что предельная абсолютная погрешность суммы или разности равна сумме предельных погрешностей, а предельная относительная погрешность произведения или частного равна сумме предельных относительных погрешностей.
Подробнее об этой теме можно узнать из [7], c.17-34.