- •Сборник практических занятий по дисциплине «элементы высшей математики»
- •230105 «Программное обеспечение вычислительной техники и автоматизированных систем»
- •Содержание
- •Пояснительная записка
- •Практическое занятие №1 Тема: Операции над матрицами. Вычисление определителей
- •Теоретический материал
- •Примеры
- •Задания для самостоятельной работы
- •Практическое занятие №2 Тема: Нахождение обратной матрицы
- •Теоретический материал
- •Задания для самостоятельной работы
- •Практическое занятие №4 Тема: Решение систем алгебраических уравнений методом Гаусса
- •Теоретический материал
- •Задания для самостоятельной работы
- •Практическое занятие №5 Тема: Операции над векторами. Вычисление модуля и скалярного произведения
- •Теоретический материал
- •Задания для самостоятельной работы
- •Практическое занятие №6 Тема: Составление уравнений прямых и кривых второго порядка, их построение
- •Теоретический материал
- •Задания для самостоятельной работы
- •Практическое занятие №7 Тема: Вычисление пределов с помощью замечательных пределов, раскрытие неопределенностей
- •Теоретический материал
- •Задания для самостоятельной работы
- •Практическое занятие №8 Тема: Вычисление односторонних пределов, классификация точек разрыва
- •Теоретический материал
- •Задания для самостоятельной работы
- •Практическое занятие №9 Тема: Вычисление производных функций по определению производной
- •Теоретический материал
- •Задания для самостоятельной работы
- •Практическое занятие №10
- •Примеры
- •Задания для самостоятельной работы
- •Практическое занятие №12 Тема: Полное исследование функции. Построение графиков
- •Теоретический материал
- •Задания для самостоятельной работы
- •Практическое занятие №13 Тема: Интегрирование заменой переменной и по частям в неопределенном интеграле
- •Теоретический материал
- •Примеры
- •Задания для самостоятельной работы
- •Практическое занятие №14 Тема: Вычисление определенных интегралов
- •Теоретический материал
- •Примеры
- •Примеры
- •Задания для самостоятельной работы
- •Практическое занятие №16
- •Теоретический материал
- •Примеры
- •Задания для самостоятельной работы
- •Практическое занятие №17
- •Теоретический материал
- •Примеры
- •Задания для самостоятельной работы
- •Практическое занятие №18
- •Теоретический материал
- •Примеры
- •Задания для самостоятельной работы
- •Практическое занятие №19
- •Теоретический материал
- •Примеры
- •Задания для самостоятельной работы
- •Практическое занятие №20
- •Теоретический материал
- •Примеры
- •Задания для самостоятельной работы
- •Практическое занятие №21
- •Теоретический материал
- •Примеры
- •Задания для самостоятельной работы
- •Практическое занятие №22
- •Теоретический материал
- •Примеры
- •Задания для самостоятельной работы
- •Практическое занятие №23
- •Теоретический материал
- •Примеры
- •Задания для самостоятельной работы
- •Практическое занятие №24
- •Теоретический материал
- •Примеры
- •Задания для самостоятельной работы
- •Практическое занятие №25
- •Теоретический материал
- •Примеры
- •2) Здесь ,,. Точка, изображающая число, лежит воIIчетверти;,. Значит,
- •Задания для самостоятельной работы
- •Список рекомендуемой литературы
Практическое занятие №10
Тема: Вычисление производных сложных функций
Цель: Формирование навыков вычисления производных сложных функций
На выполнение практической работы отводится 2 часа
Требования к выполнению практической работы:
1.Ответить на теоретические вопросы
2.Оформить задания в тетради для практических работ
Теоретический материал
Пусть и- дифференцируемые функции. Тогда сложная функцияесть также дифференцируемая функция, причем
, или (1)
Это правило распространяется на цепочку из любого количества дифференцируемых функций: производная сложной функции равна произведению производных функций, ее составляющих.
Пример
Задание:Найдите производные функций: 1);
2) .
Решение:1) Предположим, что, где. Тогда по формуле (1) найдем
.
2) Предполагая, что ,,, получим
.
Задания для самостоятельной работы
Вычислить производные заданных функций:
1) ; 2); 3);
4) ; 5); 6);
7) ; 8); 9);
10) ; 11); 12).
Вопросы для самоконтроля:
Дайте определение производной функции.
Перечислите правила нахождения производной функции.
Какие функции называются дифференцируемыми?
Какая функция называется сложной?
Как найти производную сложной функции?
Практическое занятие №11
Тема: Вычисление производных и дифференциалов высших порядков
Цель: Формирование навыков вычисления производных и дифференциалов высших порядков
На выполнение практической работы отводится 2 часа
Требования к выполнению практической работы:
1.Ответить на теоретические вопросы
2.Оформить задания в тетради для практических работ
Теоретический материал
Производная второго порядка(вторая производная) от функцииесть производная от ее первой производной:.
Производная третьего порядка(третья производная) от функцииесть производная от ее второй производной:.
Производная n – го порядка(n – япроизводная) от функцииесть производная от ее(n – 1) – ойпроизводной:.
Дифференциал второго порядка(второй дифференциал) функцииесть дифференциал от ее первого дифференциала:.
Дифференциалтретьего порядка(третий дифференциал) функцииесть дифференциал от ее второго дифференциала:.
Дифференциал n – го порядка(n – ыйдифференциал) функцииесть дифференциал от ее(n – 1) – огодифференциала:.
Примеры
Задание 1:Найти,,, …, если.
Решение:,
,
,
,,.
Задание 2:Найти дифференциалы первого, второго и третьего порядков функции.
Решение:,
,
.
Задания для самостоятельной работы
Найти производные второго порядка:
1) ; 2);
3) ; 4);
5) ; 6);
7) ; 8);
9) .
Дана функция . Найти,,.
Найти производные третьего порядка:
1) ; 2); 3).
Найти дифференциалы первого и второго порядков функции .
Найти дифференциалы первого, второго и третьего порядков функций:
1) ; 2);
3) .
Показать, что функция удовлетворяет уравнению.
Вопросы для самоконтроля:
Что называется производной второго порядка?
Что называется производной n – гопорядка?
Что называется дифференциалом функции?
Что называется дифференциалом второго порядка?
Что называется дифференциалом n – гопорядка? По какой формуле он вычисляется?