Пояснительная записка

Сборник практических занятий составлен в соответствии с рабочей программой дисциплины «Элементы высшей математики» для специальности 230105 «Программное обеспечение вычислительной техники и автоматизированных систем». Практические занятия занимают важное место при изучении дисциплины «Элементы высшей математики». Цель выполнения работ – формирование навыков решения математических задач при помощи различных методов, позволяющих разрабатывать алгоритмы решения задач различных областей производства, экономики, науки и техники на языке программирования ЭВМ.

В результате изучения дисциплины студент должен:

знать:

• основные понятия и методы линейной алгебры, аналитической геометрии, математического анализа и комплексных чисел;

уметь:

• производить операции над матрицами и определителями;

• решать системы линейных уравнений;

• производить действия с векторами;

• решать задачи, используя уравнения прямых и кривых второго порядка на плоскости;

• вычислять производные и дифференциалы, неопределенные и определенные интегралы;

• вычислять сумму числовых рядов и исследовать на сходимость числовые ряды;

• находить частные производные и дифференциалы функций нескольких переменных, вычислять двойные интегралы;

• решать обыкновенные дифференциальные уравнения;

• решать задачи, применяя численные методы.

Сборник состоит из пояснительной записки, описания практических занятий, которые снабжены общими теоретическими сведениями, контрольными вопросами и заданиями в соответствии с программой и списка рекомендуемой литературы.

На выполнение каждой работы отводится определенное количество часов в соответствии с тематическим планом.

Форма отчетности указана для каждого занятия.

Выполнять задания рекомендуется в отдельных тетрадях.

Сборник практических занятий окажет помощь преподавателям в организации занятий, а также может пригодиться студентам при повторении изученного материала и подготовке к экзамену.

Практическое занятие №1 Тема: Операции над матрицами. Вычисление определителей

Цель: Формирование навыков выполнения операций над матрицами и вычисления определителей второго, третьего и четвертого порядков.

На выполнение практической работы отводится 2 часа.

Требования к выполнению практической работы:

1.Ответить на теоретические вопросы.

2.Оформить задания в тетради для практических работ.

Теоретический материал

Прямоугольная матрицаразмера(-матрица) имеет вид таблицы, состоящей изстрок истолбцов:

.

Элемент матрицы находится на пересечении-ой строки и-го столбца,;.

У нулевойматрицы 0 все элементы равны нулю:

.

Матрица – столбец(-матрица) состоит из одного столбца:

,

а матрица – строка(-матрица) из одной строки:

.

Произведением двух матрициназывается матрица, каждый элемент которой определяется по правилустрока на столбец, то есть элемент стоки матрицыумножается на элемент столбца матрицыстоящие на соответствующих местах.

Из определения произведения матриц следует, что не любые две матрицы можно перемножать. Произведение имеет смысл только тогда, когда число столбцов первой матрицы-сомножителя равно числу строк второй матрицы-сомножителя, что символически записывается так:

.

Транспонирование-матрицы заключается в замене строк столбцами, а столбцов – строками с теми же номерами:

.

Матрица размераназываетсясуммойдвух-матрици, если каждый элемент матрицыравен сумме соответствующих элементов матрици:

.

Определителем второго порядка называется число, определяемое равенством

. (1)

Числа называютсяэлементамиопределителя; при этом элементыиобразуютглавнуюдиагональ, а элементыи-побочнуюдиагональ. Таким образом, определитель второго порядка равен произведению элементов главной диагонали минус произведение элементов побочной диагонали.

Определителем третьего порядканазывается число, определяемое равенством

(2)

.

Таким образом, каждый член определителя третьего порядка представляет собой произведение трех его элементов, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца. Эти произведения берутся с определенными знаками: со знаком «плюс» – члена, состоящие из элементов главной диагонали и из элементов, расположенных в вершинах треугольников с основаниями, параллельными главной диагонали; со знаком «минус» – три члена, расположенные аналогичным образом относительно побочной диагонали.

Указанное правило, называется правилом треугольников.

Миноромэлементаназывается определитель, полученный извычеркиванием-ой строки и-го столбца.

Алгебраическим дополнением элементаназывается его минор, умноженный на:

.

Определитель -го порядка равен сумме произведений элементов какой – либо строки или столбца на их алгебраические дополнения:

(разложение определителя по элементам -ой строки) или

(разложение определителя по элементам -го столбца).

В частности, для определителя третьего порядка имеем

,

что совпадает с результатом, полученным по формуле (2).