- •1.Несобственные интегралы и их свойства.
- •3. Абсолютная сходимость несобственных интегралов. Признак сравнения сходимости ни.
- •4.Предельный признак сравнения
- •6.Признак Абеля
- •7. Метрическое пространство . Некоторые топологические понятия
- •8.Евклидово пространство .
- •9. Последовательности точек пространства .
- •10. Предел отображения.
- •11. Предел по направлению. Повторные пределы.
- •12.Локальные свойства непрерывных отображений.
- •13.Глобальные свойства непрерывных отображений.
- •14. Линейные отображения.
- •15. Дифференцируемые отображения.
- •16.Свойства дифференцируемых отображений.
- •17. Достаточное условие дифференцируемости функций многих переменных.
- •18.Производная по направлению. Градиент.
- •19. Частные производные высших порядков.
- •20.Формула Тейлора для функций многих переменных.
- •21. Необходимые условия экстремума.
- •22. Достаточные условия локального экстремума.
- •23. Неявные функции.
- •24. Обратное отображение.
- •25. Необходимые условия зависимости функций.
- •26. Достаточные условия зависимости функций.
- •27. Понятие условного экстремума.
- •28. Метод множителей Лагранжа.
- •29. Числовые ряды. Критерий Коши
- •30.Признаки сравнения сходимости числовых рядов.
- •31. Признаки Даламбера и Коши сходимости рядов.
- •32. Интегральный признак сходимости ряда.
- •33. Знакочередующиеся ряды.
- •34.Признак Абеля и Дирихле.
- •35. Абсолютно и условно сходящиеся числовые ряды
- •36. Перемножение абсолютно сходящихся числовых рядов.
- •37. Бесконечные произведения.
- •38. Равномерная сходимость функциональных рядов и последовательностей.
- •39.Признаки равномерной сходимости функц. Рядов.
- •41. Непрерывность суммы ряда.
- •42.Интегрирование равномерно сходящихся рядов и последовательностей
- •43. Дифференцирование равномерно сходящихся рядов.
- •44. Степенной ряд, радиус сходимости.
- •45. Формула Коши-Адамара
- •46.Почленное дифференцирование и интегрирование степенных рядов.
- •47. Аналитические функции. Ряд Тейлора.
- •48. Ряды Тейлора основных элементарных функций.
- •49.Ряды Фурье по ортонормированной системе функций.
- •50. Интеграл Дирихле.
- •51. Сходимость рядов Фурье в точке(лемма 1)
- •52. Признак Дини и следствия из него
- •53. Суммирование рядов Фурье методом средних арифметических.
- •54. Теорема Фейера.
- •55. Теорема Вейерштрасса.
- •56. Неравенство Бесселя. Равенство Парсеваля.
- •57.Диф. Тригонометрических рядов Фурье.
- •58. Интегрирование рядов Фурье
- •59.Комплексная форма ряда Фурье.
29. Числовые ряды. Критерий Коши
Опред.1. Пусть имеем последовательность {un}, n=1,2,…, где unϵC. Составим новую последовательность Sn=,n=1,2,… пара последовательностей {un}, { Sn } называется числовым рядом и обозначается (1)
Опр.2. Если послед. { Sn } имеет предел равный S, то числовой ряд (1) сходится, а число S называется суммой ряда и пишут . Если предел послед.частичных суммне существует, то ряд расходится.
Теорема1. Пусть ряды сходятся, тогда ряд, называемый суммой данных рядов, также сходится, причем=
Доказательство. Пусть Sn=,S’n=,Gn=. ТогдаSn+S’n=Gn. Поскольку сущ. ,,то
=S+S’ т.е.
=,
что и означает справедливость теоремы.
Теорема2. Если ряд (1) сходится и с – нек.число, то ряд , называемый произведением данного ряда на число с, также сходится, причем=
Теорема3.(Критерий Коши) Числовой ряд (1) сходится т.и т.т., когда для ε>0NN:n>N, pN→<ε (2)
Док-во. Имеем =Sn+p-Sn. Тогда из =
<ε, критерия Коши сходимости числ.послед. {Sn} и определения сходимости числового ряда следует утверждение данной теоремы. Следствие1. (Необх.усл.сход.чил.ряда) Чтобы числовой ряд сходился необходимо (но не достаточно). Чтобы =0.
30.Признаки сравнения сходимости числовых рядов.
Теорема5. (Признак сравнения) Пусть - два ряда с неотриц.членами. Если сущ номерNN такой, что при любом n>N имеет место неравенство un ≤ vn, то из сход ряда следует сход ряда , а из расходимости рядаслед расх ряда.
Доказательство. Поскольку конечное число членов не влияет на сходимость ряда, то без ограничения общности можно считать, что un ≤ vn nN. Тогда Sn=≤=Gn. Если ряд сходится, то послед {Gn}, не убывая, стремится к пределу G. Тогда Sn≤ Gn≤G nNи, следовательно, послед Sn частичных сумм ряда ограничена. В силу критерия сходимости ряда с неотрицательными членами рядтакже сходится.
Второе утверждение теоремы, рассуждая от противного, получается из доказанного.
Следствие1. Пусть un≥0, vn>0, n=1,2,…, и =(1)
Тогда: 1) Если 0<<, то ряды(3)
сходятся и расходятся одновременно;
2) если =0, то из сходимости ряда (3) следует сходимость ряда (2);
3) если =, то из расходимости ряда (3) следует расходимость ряда(2)
31. Признаки Даламбера и Коши сходимости рядов.
Теорема6. (Пр-к Даламбера) Пусть имеем ряд (1) где un>0, n=1,2,...Тогда 1) если ≤q<1, n=1,2,.. (2) то ряд (1) сходится; 2) если ≥1,n=1,2,… (3) то ряд (1) расходится.
Док-во. Пусть имеет место (2). Тогда
un+1=u1***…*≤u1qn. Поскольку ряд сходится при <1, то в силу признака сравнения ряд (1) сходится. Если выполнено условие (3),
то un+1≥un≥ un-1≥…≥u1, т.е. для (1) не выполнено необходимое условие сходимости ряда, а значит этот ряд расходится.
Замечание1. Теорема также справедлива, если условия (2), (3) имеют место только для n=m, m+1,…, где m>1.
Следствие 2 (Признак Даламбера в предельной форме). Пусть un>0, n=1,2,...и .(4) Тогда
1) если l<1, то ряд (1) сходится;
2)если l>1, то ряд (1) расходится.
Док-во. Из (4) имеем, что
ε>0 NN:n>N→<< (5)
Если l<1, то выбрав ε таким, что =q<1, из (5) имеем < q<1. Откуда в силу признака Даламбера из теоремы и замечания заключаем, что ряд (1) сходится.
Если l>1 то выбрав ε таким, что =q>1. Из (5) имеем, что >1. Последнее означает, что ряд (1) расходится.
Теорема7(Признак Коши): Пусть имеем ряд (1) где un≥0, n=1,2,… Тогда 1)если то ряд (1) сходится
2) если ≥1, то ряд (1) расходится.