57.Диф. Тригонометрических рядов Фурье.
Теорема10.
Пусть
функция f
непрерывна на отрезке [-
],f(-
)=f(
)
и пустьf(x)
+
Если
функция f
кусочно непрерывно дифференцируема на
отрезке [-
],
тоf’(x)
Т.е
ряд Фурье производной получается из
ряда Фурье самой функции формальным
почленным дифференцированием (при этом
без каких-либо предположений о сходимости
ряда Фурье производной).
Доказательство.
Пусть f’(x)
+
Тогда
замечаем, что f(-
)=f(
)
и интегрируя по частям, получим
0=
(f(
)-
f(-
))=0,
n=
f(
)cosnt
+
f(
)sinntdt=nbn,
n=
f(
)sinnt
-
f(
)cosntdt=
= -nan, n=1,2,…
58. Интегрирование рядов Фурье
Теорема12.
Пусть
f
– непрерывная на отрезке [-
]
функция и
+
(1)
ее ряд Фурье. Тогда
+
(2)
И ряд, стоящий справа, сходится равномерно.
Доказательство. Рассмотрим функцию
F(t)=
(3)
Она
непрерывна на отрезке [-
],
и более того. Имеет непрерывную производнуюF’(t)=
Причем
F(
)-F(-
)=
0.
Поэтому
в силу теоремы о сходимости ряда Фурье
функции к самой функции, ее ряд сходится
к ней, и притом равномерно. Обозначим
ее коэффициенты через А0,
An,
Bn,
n=1,2,..
тогда в силу сказанного
F(x)=
+
(4)
найдем
коэффициенты этого ряда. Интегрируя по
частям, получим
n=
F(
)sinnt
-
-
)sinntdt=
-bn/n
, n=1,2,…
Аналогично Bn=an/n, n=1,2,..
Чтобы
найти A0,
положим в (4) t=0.
Тогда F(0)=0
получим
+
=0,
откуда
=
Получаем
в итоге F(t)=
Так отсюда и из (3) следует формула(2), равномерная сходимость ряда (2) следует из равномерной сходимости ряда (4).
59.Комплексная форма ряда Фурье.
Пусть
f(x)
+
(1)
Известно
cos
nx=1/2
*(
+
),(2)
sin
nx=1/2i *(
-
)=i/2**(
-
)(3)
Подставив (2) и (3) в (1) получим
f(x)
+
+
Возьмем
c0=
,cn=
,
c-n=
имеем
f(x)
n
(4)
Поскольку
cos
𝜶
isin𝜶=
,то
будем иметь
Cn=
,
n
Z
(5)
Подставим (5) в (4) получим
f(x)