- •1.Несобственные интегралы и их свойства.
- •3. Абсолютная сходимость несобственных интегралов. Признак сравнения сходимости ни.
- •4.Предельный признак сравнения
- •6.Признак Абеля
- •7. Метрическое пространство . Некоторые топологические понятия
- •8.Евклидово пространство .
- •9. Последовательности точек пространства .
- •10. Предел отображения.
- •11. Предел по направлению. Повторные пределы.
- •12.Локальные свойства непрерывных отображений.
- •13.Глобальные свойства непрерывных отображений.
- •14. Линейные отображения.
- •15. Дифференцируемые отображения.
- •16.Свойства дифференцируемых отображений.
- •17. Достаточное условие дифференцируемости функций многих переменных.
- •18.Производная по направлению. Градиент.
- •19. Частные производные высших порядков.
- •20.Формула Тейлора для функций многих переменных.
- •21. Необходимые условия экстремума.
- •22. Достаточные условия локального экстремума.
- •23. Неявные функции.
- •24. Обратное отображение.
- •25. Необходимые условия зависимости функций.
- •26. Достаточные условия зависимости функций.
- •27. Понятие условного экстремума.
- •28. Метод множителей Лагранжа.
- •29. Числовые ряды. Критерий Коши
- •30.Признаки сравнения сходимости числовых рядов.
- •31. Признаки Даламбера и Коши сходимости рядов.
- •32. Интегральный признак сходимости ряда.
- •33. Знакочередующиеся ряды.
- •34.Признак Абеля и Дирихле.
- •35. Абсолютно и условно сходящиеся числовые ряды
- •36. Перемножение абсолютно сходящихся числовых рядов.
- •37. Бесконечные произведения.
- •38. Равномерная сходимость функциональных рядов и последовательностей.
- •39.Признаки равномерной сходимости функц. Рядов.
- •41. Непрерывность суммы ряда.
- •42.Интегрирование равномерно сходящихся рядов и последовательностей
- •43. Дифференцирование равномерно сходящихся рядов.
- •44. Степенной ряд, радиус сходимости.
- •45. Формула Коши-Адамара
- •46.Почленное дифференцирование и интегрирование степенных рядов.
- •47. Аналитические функции. Ряд Тейлора.
- •48. Ряды Тейлора основных элементарных функций.
- •49.Ряды Фурье по ортонормированной системе функций.
- •50. Интеграл Дирихле.
- •51. Сходимость рядов Фурье в точке(лемма 1)
- •52. Признак Дини и следствия из него
- •53. Суммирование рядов Фурье методом средних арифметических.
- •54. Теорема Фейера.
- •55. Теорема Вейерштрасса.
- •56. Неравенство Бесселя. Равенство Парсеваля.
- •57.Диф. Тригонометрических рядов Фурье.
- •58. Интегрирование рядов Фурье
- •59.Комплексная форма ряда Фурье.
11. Предел по направлению. Повторные пределы.
Определение 4. Точка bGRmназывается пределом отображения f : X —>Rm, X €Rnпо множеству E€ X в точке a, если> 0 > 0 :х€E,0<pn(x,a)<=>
pm(f(x),b)<.и обозначаетсяlimf(x) = b.(x→a, x €E)
Определение 5. ПустьE={xGRn|x = a + wt, |w|=1,a,w€ Rn, t>=0}. Пределlimf(x) = limf(a+wt),(x→a,x€X)(t→+0) если он существует, называется пределом отображения fпо направлению вектора w.
Повторные пределы.
Пусть f:X→R, XʗRn. наряду с рассмотренными пределами у функции многих переменных существует понятие предела другого вида, связанное с последовательным переходом к пределу по различным координатам:
…f(x1, …,xn)=A,(1)
где (i1,..,in) – некоторая перестановка чисел (1,2,…,n), aϵRn, и функция f определена в некоторой окрестности точки а.
Запись f(x1, …,xn)=A означает, что у функции f фиксированы все значения координат xj, i≠j ее аргумента х, и тем самым указанный предел означает предел функции по множеству. Пределы вида (1) называют повторными пределами.
12.Локальные свойства непрерывных отображений.
Пусть a предельная точка множества X €Rn.
Определение 6. Отображение f:X— Rm, XʗRn называется непрерывным в точке aϵX, если существует предел
limf(x) = f(a).(x→a)
Определение 7. Отображение f:X— Rm, XʗRn называется непрерывным в точке aϵX, если
>0= () >0:x ϵV(a, )→f (x) ϵU (f (a),).
Теорема 9. Пусть f:X — Y, X ʗRn, YʗRm, g:Y— Rs, b= f (a), c= g(b). Если отображение f непрерывно в точке aϵX, отображение g непрерывно в точке bϵY, то их композиция =gо f непрерывна в точке a.
Доказательство. Поскольку отображение g непрерывно в точке bϵY, то
>0>0:у ϵVY(b, )→g (y) ϵV (c,).
Так как отображение f непрерывно в точке aϵX, то
>0 >0:x ϵVХ(a, )→f (x) ϵ VY(b, ).
Отсюда следует
>0 >0:x ϵVХ(a, )→φ(x)=g(f(x))ϵV(φ(a),ε),
что и означает, что отображение φ непрерывно в точке а.
Теорема 10. Если функция f:X →R, X €Rn непрерывна в точке a€X и f (a) >0 (f (a) <0), то существует такая окрестность V(a), что если x€V(a), то f(x) >0 (f(x) <0).
Теорема 11. Если функции f:X→R, g:X→R, X€Rnнепрерывны в точке a€X, то f+ g, f• g, а если g( x) ≠0,x€X, то и f/gопределены на множестве Xи непрерывны в точке a.
Если отображение f:X→Rm, X€Rn непрерывно в каждой точке множества X, то говорят, что оно непрерывно на множестве X.Теоремы 9-11 задают локальные свойства непрерывных отображений.
13.Глобальные свойства непрерывных отображений.
Определение 9. Отображение f : X →Rm, X €Rn называется равномерно непрерывным на множестве X, если для > 0 > 0 :х',х'' €X, удовлетворяющих неравенству pn(x',x")<,будет выполняться неравенство pm((f(x'),f(x"))<.
Теорема 12.Отображение f :X→Rm, X€Rn равномерно непрерывно на X тогда и только тогда, когда каждая из его координатных функций fi, i = 1,m равномерно непрерывна на X.
Справедливость теоремы следует из неравенства
|fi(x’)-fi(x”)| ≤pm(f(x’),f(x”))≤max1≤j≤m|fi(x’)-fi(x”)| i=1,m, Ax’,x” ϵX.
Теорема 13. Если отображение f : X →Rm, X €Rn непрерывно на компакте X €Rn, то оно равномерно непрерывно на X
Теорема 14.Если отображение f :X→Rm, X€Rn непрерывно на компакте X€Rn, то оно ограничено на X.
Теорема 15.Если функция f : X →R, X €Rnнепрерывна на компакте X €Rn, то на X она принимает наименьшее и наибольшее значения.
Теорема 16. Пусть функция f : X →R, X €Rnнепрерывна на линейно связном множестве X €Rn. Если a,b€X иf(a) = A, f(b)=B, то Cлежащего между A и B существует точка c€X, в которой f(c)=C.