- •1.Несобственные интегралы и их свойства.
- •3. Абсолютная сходимость несобственных интегралов. Признак сравнения сходимости ни.
- •4.Предельный признак сравнения
- •6.Признак Абеля
- •7. Метрическое пространство . Некоторые топологические понятия
- •8.Евклидово пространство .
- •9. Последовательности точек пространства .
- •10. Предел отображения.
- •11. Предел по направлению. Повторные пределы.
- •12.Локальные свойства непрерывных отображений.
- •13.Глобальные свойства непрерывных отображений.
- •14. Линейные отображения.
- •15. Дифференцируемые отображения.
- •16.Свойства дифференцируемых отображений.
- •17. Достаточное условие дифференцируемости функций многих переменных.
- •18.Производная по направлению. Градиент.
- •19. Частные производные высших порядков.
- •20.Формула Тейлора для функций многих переменных.
- •21. Необходимые условия экстремума.
- •22. Достаточные условия локального экстремума.
- •23. Неявные функции.
- •24. Обратное отображение.
- •25. Необходимые условия зависимости функций.
- •26. Достаточные условия зависимости функций.
- •27. Понятие условного экстремума.
- •28. Метод множителей Лагранжа.
- •29. Числовые ряды. Критерий Коши
- •30.Признаки сравнения сходимости числовых рядов.
- •31. Признаки Даламбера и Коши сходимости рядов.
- •32. Интегральный признак сходимости ряда.
- •33. Знакочередующиеся ряды.
- •34.Признак Абеля и Дирихле.
- •35. Абсолютно и условно сходящиеся числовые ряды
- •36. Перемножение абсолютно сходящихся числовых рядов.
- •37. Бесконечные произведения.
- •38. Равномерная сходимость функциональных рядов и последовательностей.
- •39.Признаки равномерной сходимости функц. Рядов.
- •41. Непрерывность суммы ряда.
- •42.Интегрирование равномерно сходящихся рядов и последовательностей
- •43. Дифференцирование равномерно сходящихся рядов.
- •44. Степенной ряд, радиус сходимости.
- •45. Формула Коши-Адамара
- •46.Почленное дифференцирование и интегрирование степенных рядов.
- •47. Аналитические функции. Ряд Тейлора.
- •48. Ряды Тейлора основных элементарных функций.
- •49.Ряды Фурье по ортонормированной системе функций.
- •50. Интеграл Дирихле.
- •51. Сходимость рядов Фурье в точке(лемма 1)
- •52. Признак Дини и следствия из него
- •53. Суммирование рядов Фурье методом средних арифметических.
- •54. Теорема Фейера.
- •55. Теорема Вейерштрасса.
- •56. Неравенство Бесселя. Равенство Парсеваля.
- •57.Диф. Тригонометрических рядов Фурье.
- •58. Интегрирование рядов Фурье
- •59.Комплексная форма ряда Фурье.
17. Достаточное условие дифференцируемости функций многих переменных.
Теорема 5. Если функция f:V(x)→R,V(x) С Rn имеет в окрестности V(x) точки x все частные производные,j=1,n, непрерывные в точке x, то она дифференцируема в этой точке.
Доказательство. Без ограничения общности будем считать, что V(x)является шаром B(x,r).Тогда вместе с точками x=(x1,...,xn),x+h=(x1+h1,...,xn+hn)области V(x)должны принадлежать также точки (xi, x2 + h2, …,xn+ hn),...,(x1, x2,...,xn-1, xn+hn)и соединяющие их отрезки. Воспользуемся этим, применяя теорему Лагранжа для функции одной переменнойf(x+h)—f(x)=f(x1+h1,...,xn+hn)—f(x1, ...,xn)=f(x1+h1,...,xn+hn)—f(x1,x2+h2,...,xn+hn)+f(x1,x2+h2,...,xn+hn)—f(x1,x2,x3+h3,...,xn+hn)+...+f(x1,x2,...,xn-1,xn+hn)—f(x1,x2, ...,xn)=где воспользовались наличием у функции fв области V(x)частных производных по каждой из переменных. Сейчас воспользуемся их непрерывностью в точке x. Продолжая предыдущие преобразования, получаем, что, где величиныв силу непрерывности вточкеx стремятся к нулю при h →0.
Но это означает, что f(x+ h)—f(x)= L(x)h+ o(h)при h0, где L(x)h=(x1,x2,...,xn)h1+ ...+(x1,x2,...,xn)hn
18.Производная по направлению. Градиент.
Опр.1 Если существует предел ,то он называется производной функцииf по направлению вектора w в точке a и обозначается .
Если w=ej, j=1,n где ej координатный вектор пространства Rn, то =, т.е. частные производные функцииf в точке а являются производными этой функции в точке а по направлению соответствующих координатных осей.
Опр.2. Вектор (, …, ) называется градиентом функции f в точке а и обозначается grad f(a).
Теорема6. Если функция f: X→R, XCRn дифференцируема в точке аϵХ, то она имеет в этой точке производные по любому направлению , причем=*grad f(a).
Доказательство. Поскольку функция f дифференцируема в точке а то
f(a+wt)-f(a)=jt+o(wt), t→+0.
Разделив обе части соотношения на t, и затем перейдя к пределу при t→+0, получим
==j=*grad f(a),
Т.к. =0.
19. Частные производные высших порядков.
Пусть функция f:X→, X С nимеет частную производную = в области X. Если существует частная производная , то она называется второй частной производной или частной производной второго порядка функцииfпо переменным xi, xkи обозначаетсяилиЧастная производная по некоторой переменной от частной производной (т—1)-го порядка называется частной производной порядка m. Частная производная по различным переменным называется смешанной частной производной. Частная производная высшего порядка по одной и той же переменной называется чистой частной производной.
Теорема 7. Пусть функция f:V(a,δ)→,V(a,δ) С nимеет в окрестности V(a,δ) точки a частные производные причем они непрерывны в точкеa. Тогда справедливо равенство. (1)
Доказательство. Рассмотрим вспомогательное соотношение
w=f(a+hkek+hiei)-f(a+ hkek)-f(a+ hiei)+f(a) (2)
Его можно рассмотреть как приращение функции =f(х+ hkek)-f(x) по переменной xi в точке а. По теореме Лагранжа получим w=(f’xi(a+hkek+1 hiei)- f’xi (a+ 1hiei))hi, (3)
где 0<1<1. Рассмотрим содержащаяся в скобках соотношения (3), является приращением функции f’xi по переменной xk в точке a+1hiei.Применяя вновь теорему Лагранжа, получим w=f”xixk(a +1 hiei+2hkek)hihk, (4) где 0<2<1. Если соотношение (2) рассмотреть вновь как приращение функции =f(х+ hiei)-f(x) по переменной xk в точке а, то рассуждая аналогично получим, что
w=f”xkxi(a +3hkek+4 hiei)hkhi, (5) где 0<3<1, где 0<4<1.
Из (4) и (5) имеем:
f”xixk(a +1 hiei+2hkek)= f”xkxi(a +3hkek+4 hiei) (6)
Поскольку непрерывны в точке а, то переходя в (6) к пределу приhi→0, hk→0, получим (1).
Утверждение 3. Если f:X→, X Сnимеет в области X непрерывные частные производные до порядка к включительно, то частная производная функции f к-го порядка не зависит от порядка дифференцирования.