36. Перемножение абсолютно сходящихся числовых рядов.

Теорема 16. Если ряды (1) и (2) абсолютно сходятся, то ряд, составленный из всевозможных произведенийu_kv_l, к =1, 2, .. ., l=1, 2, .. ., расположенных в любом порядке также абсолютно сходится, причем его сумма S= u• v, где u, v— суммы рядов (1) и (2) соответственно.

Доказательство. Рассмотрим ряд (3) где wn, n=1,2,.. произведения вида ukvl, k=1,2,.., l=1,2,… Пусть Gn n-ая частичная сумма ряда (3). Через m обозначим наибольшее из индексов k,l членов ряда входящих в Gn. Тогда Gn≤(+…+)(+…+),n=1,2,…

где =,=.

Следовательно критерию сходимости ряда с неотрицательными членами ряд (3) сходится. В силу теоремы о перестановке членов числового ряда сумма абсолютно сходящегося ряда не зависит от порядка его членов. Поэтому можно выполнить такую перестановку его членов, чтоGn²=(+…+)(+…+)(4)

где Gn² частичная сумма ряда . Переходя в (4) к пределу приn→∞ получим S=u*v. Т.о. абсолютно сходящиеся ряды можно перемножать.

37. Бесконечные произведения.

Определение 1. Пара последовательностей {u_n}, U_n€R, n= 1, 2,... и {P_n} где P_n= u₁• u₂• ... • u_nназывается бесконечным произведением и обозначается .(1)

свойства бесконечных произведений. Выражение q_n= u_n+1• u_n+2• ... называется n-ым остаточным произведением.

1°. Если бесконечное произведение сходится, то любое его остаточное произведение сходится. Если какое-либо оста­точное произведение сходится то и само бесконечное произведение сходится. Следовательно, отбрасывание или присо­единение конечного множества отличных от нуля первых сомножителей не влияет на сходимость бесконечного произ­ведения.

2^°. Если бесконечное произведение (1) сходится, то предел его остаточного произведения limq_n= 1.(n→)

3° (Необходимое условие сходимости бесконечного произведения.) Если бесконечное произведение сходится, то limu_n= 1.(n→)

Теорема 18. Бесконечное произведение (1) у которого u_n>0, n= 1, 2,.. . сходится тогда и только тогда, когда сходится ряд (2)

В случае сходимости сумма S ряда (2) и значение P бесконечного произведения (1) связаны соотношением P=e^S.(3)

Доказательство. Пусть P_n— n-ое частичное произведение для (1), S_n— n-ая частичная сумма для ряда (2). Тогда lnP_n= S_n, откуда P_n= ^Sn. Переходя к пределу при n→ получим утверждение теоремы и формулу (3).

Теорема 19. Если u_n>=0 или u_n<=0, n= 1, 2, .. . то бесконечное произведение (4)сходится тогда и только тогда, когда сходится ряд (5)

Доказательство. Условие =0 является необходимым для сходимости бесконечного произведения (4) для сходимости ряда (5). Из этого условия и равенства

=1 следует, что =1(6) Поскольку члены ряда (4) и ряда ) (7) начиная с некоторого номера n сохраняют один и тот же знак, то в силу (6) согласно предельного признака сравнения ряды (5) и (7) сходятся и расходятся одновременно. На основании теоремы 18 бесконечное произведение (4) и ряд (7) сходятся и расходятся одновременно. Поэтому бесконечное произведение (4) и ряд (5) также будут сходиться и расходиться одновременно.