- •1.Несобственные интегралы и их свойства.
- •3. Абсолютная сходимость несобственных интегралов. Признак сравнения сходимости ни.
- •4.Предельный признак сравнения
- •6.Признак Абеля
- •7. Метрическое пространство . Некоторые топологические понятия
- •8.Евклидово пространство .
- •9. Последовательности точек пространства .
- •10. Предел отображения.
- •11. Предел по направлению. Повторные пределы.
- •12.Локальные свойства непрерывных отображений.
- •13.Глобальные свойства непрерывных отображений.
- •14. Линейные отображения.
- •15. Дифференцируемые отображения.
- •16.Свойства дифференцируемых отображений.
- •17. Достаточное условие дифференцируемости функций многих переменных.
- •18.Производная по направлению. Градиент.
- •19. Частные производные высших порядков.
- •20.Формула Тейлора для функций многих переменных.
- •21. Необходимые условия экстремума.
- •22. Достаточные условия локального экстремума.
- •23. Неявные функции.
- •24. Обратное отображение.
- •25. Необходимые условия зависимости функций.
- •26. Достаточные условия зависимости функций.
- •27. Понятие условного экстремума.
- •28. Метод множителей Лагранжа.
- •29. Числовые ряды. Критерий Коши
- •30.Признаки сравнения сходимости числовых рядов.
- •31. Признаки Даламбера и Коши сходимости рядов.
- •32. Интегральный признак сходимости ряда.
- •33. Знакочередующиеся ряды.
- •34.Признак Абеля и Дирихле.
- •35. Абсолютно и условно сходящиеся числовые ряды
- •36. Перемножение абсолютно сходящихся числовых рядов.
- •37. Бесконечные произведения.
- •38. Равномерная сходимость функциональных рядов и последовательностей.
- •39.Признаки равномерной сходимости функц. Рядов.
- •41. Непрерывность суммы ряда.
- •42.Интегрирование равномерно сходящихся рядов и последовательностей
- •43. Дифференцирование равномерно сходящихся рядов.
- •44. Степенной ряд, радиус сходимости.
- •45. Формула Коши-Адамара
- •46.Почленное дифференцирование и интегрирование степенных рядов.
- •47. Аналитические функции. Ряд Тейлора.
- •48. Ряды Тейлора основных элементарных функций.
- •49.Ряды Фурье по ортонормированной системе функций.
- •50. Интеграл Дирихле.
- •51. Сходимость рядов Фурье в точке(лемма 1)
- •52. Признак Дини и следствия из него
- •53. Суммирование рядов Фурье методом средних арифметических.
- •54. Теорема Фейера.
- •55. Теорема Вейерштрасса.
- •56. Неравенство Бесселя. Равенство Парсеваля.
- •57.Диф. Тригонометрических рядов Фурье.
- •58. Интегрирование рядов Фурье
- •59.Комплексная форма ряда Фурье.
54. Теорема Фейера.
Теорема 5 (Фейера). Если функция f непрерывна на отрезке [—п,п] и принимает на его концах равные значения, то последовательность ее сумм Фейера сходится равномерно на этом отрезке к самой функции.
Доказательство. Пусть функция fнепрерывна на отрезке [ -п, п] и f(-п) = f( п) . Продолжим ее 2п-периодически на всю числовую ось R. Оценим разность f (x) — (x)
Зафиксируем точку x€ [ — п, п] и зададим произвольное > 0. Имеем
(4.16)
где δ>0 выбрано так, что значение модуля непрерывности w(;f) функции fудовлетворяет неравенству w(;f) <.Это возможно, так как функция fравномерно непрерывна на всей числовой оси R. Поэтому для любого x € R имеем
. (4.17)
Оставшиеся два интеграла оцениваются одинаковым способом: функция fограничена на всей числовой прямой, т.е. существует такая постоянная M>0, что для всех x€Rимеет место неравенство |f(x)|<=M. Согласно следствию 2 из леммы 1, правая часть полученного неравенства стремится к нулю при n→, поэтому существует такое n0, что при всех n>n0выполняется неравенство(4.18)
Аналогично, для любого x€R и всех n>n0имеем(4.19)
Из (4.16), (4.17), (4.18) и (4.19) для произвольного x€R и всех n>n0имеем |f (x) — (x)| <и, так как выбор номера n0 не зависит от выбора точки x, то последовательность {n(x)} сходится равномерно на всей числовой оси R к функции f.
55. Теорема Вейерштрасса.
Теорема 6 (Вейерштрасса). Если функция f непрерывна на отрезке [—п, п] и f(—п) = f (п), то для каждого>0 существует такой тригонометрический многочлен T(x), что
| f(x) — T(x) | <, —п<=x<=п.
Доказательство. Очевидно, что все частичные суммы Фурье, а следовательно, и суммы Фейера абсолютно интегриру- емых на отрезке [—п, п] функций являются тригонометрическими многочленами. Поэтому в качестве искомого тригонометрического полинома T(x) можно взять, например, соответствующую сумму Фейера), являющуюся, очевидно, тригонометрическим полиномом порядка не выше n.
Теорема 7 (Вейерштрасса). Если функция f непрерывна на отрезке [a,b], то для каждого >0 существует алгебраический многочлен P(x) такой, что | f(x) — P(x) | <,a<= x<= b.
Док-во. Отобразим отрезок [0;] линейно на отрезок [a;b]:
x=a+t, 0≤t≤, a≤x≤b,и пусть f*(t)=f(a+t).Функция f* определена на [0;]. Продолжим ее четным образом на отрезок [-], т.е. положимf*(t)=f*(-t), если tϵ[-]. Полученная т.о. функцияf* непрерывна на [-] и
f*()=f*(-). Поэтому, согласно теореме 6, дляε>0 существует тригонометрический полиномT(t) такой, что <
T(t)=ktk
56. Неравенство Бесселя. Равенство Парсеваля.
Теорема 8. Пусть квадрат функции f интегрируем на отрезке [—п,п]. Тогда если Sn(x) - ее сумма Фурье порядка n, то
(1)
где минимум в правой части равенства берется по всем тригонометрическим многочленам Tnстепени не выше n. Если a0, an, bn, n = 1, 2,. .. - коэффициенты Фурье функции f, то справедливо неравенство
(2)
Называемое неравенством Бесселя.
Доказательство. Пусть Tn(x)=+
Тогда, раскрывая скобки в выражении
(3) получим
=
Теорема 9. Пусть функция f непрерывна на отрезке [—п, п] , f(п) = f(—п) и a0, ak, bk, k=1, 2,. .. - ее коэффициенты Фурье. Тогда справедливо равенство
Называемое равенством Парсеваля.