- •1.Несобственные интегралы и их свойства.
- •3. Абсолютная сходимость несобственных интегралов. Признак сравнения сходимости ни.
- •4.Предельный признак сравнения
- •6.Признак Абеля
- •7. Метрическое пространство . Некоторые топологические понятия
- •8.Евклидово пространство .
- •9. Последовательности точек пространства .
- •10. Предел отображения.
- •11. Предел по направлению. Повторные пределы.
- •12.Локальные свойства непрерывных отображений.
- •13.Глобальные свойства непрерывных отображений.
- •14. Линейные отображения.
- •15. Дифференцируемые отображения.
- •16.Свойства дифференцируемых отображений.
- •17. Достаточное условие дифференцируемости функций многих переменных.
- •18.Производная по направлению. Градиент.
- •19. Частные производные высших порядков.
- •20.Формула Тейлора для функций многих переменных.
- •21. Необходимые условия экстремума.
- •22. Достаточные условия локального экстремума.
- •23. Неявные функции.
- •24. Обратное отображение.
- •25. Необходимые условия зависимости функций.
- •26. Достаточные условия зависимости функций.
- •27. Понятие условного экстремума.
- •28. Метод множителей Лагранжа.
- •29. Числовые ряды. Критерий Коши
- •30.Признаки сравнения сходимости числовых рядов.
- •31. Признаки Даламбера и Коши сходимости рядов.
- •32. Интегральный признак сходимости ряда.
- •33. Знакочередующиеся ряды.
- •34.Признак Абеля и Дирихле.
- •35. Абсолютно и условно сходящиеся числовые ряды
- •36. Перемножение абсолютно сходящихся числовых рядов.
- •37. Бесконечные произведения.
- •38. Равномерная сходимость функциональных рядов и последовательностей.
- •39.Признаки равномерной сходимости функц. Рядов.
- •41. Непрерывность суммы ряда.
- •42.Интегрирование равномерно сходящихся рядов и последовательностей
- •43. Дифференцирование равномерно сходящихся рядов.
- •44. Степенной ряд, радиус сходимости.
- •45. Формула Коши-Адамара
- •46.Почленное дифференцирование и интегрирование степенных рядов.
- •47. Аналитические функции. Ряд Тейлора.
- •48. Ряды Тейлора основных элементарных функций.
- •49.Ряды Фурье по ортонормированной системе функций.
- •50. Интеграл Дирихле.
- •51. Сходимость рядов Фурье в точке(лемма 1)
- •52. Признак Дини и следствия из него
- •53. Суммирование рядов Фурье методом средних арифметических.
- •54. Теорема Фейера.
- •55. Теорема Вейерштрасса.
- •56. Неравенство Бесселя. Равенство Парсеваля.
- •57.Диф. Тригонометрических рядов Фурье.
- •58. Интегрирование рядов Фурье
- •59.Комплексная форма ряда Фурье.
32. Интегральный признак сходимости ряда.
Теорема 10. Если функция f: [1;+)неотрицательна и убывает на этом промежутке, то ряд(1) сходится тогда и только тогда, когда сходится несобственный интеграл (2)
Доказательство:
Поскольку функция fубывает на промежутке [1; +), тоf(к + 1) <=f(x) <=f(к), к =1, 2,...,x€[к, к + 1]. Проинтегрируем это по отрезку x€[к, к +1] получим
(3)
Просуммировав это неравенство отк = 1 до n, будем иметь
(4)
где Sn- частичная сумма ряда (1). Пусть ряд (1) сходится и имеет сумму S. ТогдаSn<=Sт.к.последовательность {Sn} не убывает.Для любого €[1;+oo) найдется такое n, что n>=, поэтому из (3) и (4) имеем, что. Последнее означает, что несобственный интеграл (2) сходится. Пусть несобственный интеграл (2) сходится. Тогдаи, в силу (3) имеем, что
, n=1,2,…
Последнее означает, что последовательность частичных сумм ряда (1) ограничена сверху, т.е. ряд (1) сходится.
33. Знакочередующиеся ряды.
Теорема Лейбница: Если посл. убывает и стремится к 0, т.е.,,(1) то ряд(2) сходится, причём еслисумма ряда,n-ая частичная сумма ряда, то привыполняется неравенство.
Доказательство: Прежде всего, отметим, что из условия (1) в силу чего члены ряда (2) поочерёдно то >0, то <0. Ряды такого вида наз. знакочередующимися. Частичные суммы ряда (2) с чётными номерами возрастают(частичные суммы с чётными номерами возрастают)
Кроме того посл-ть ограничена сверху
Поскольку последовательность возрастает и ограничена сверху, то она имеет конечный предел
Покажем, что тот же предел имеет посл-ть частичных сумм с нечётными номерами , атогдапоэтому посл-тьвсех частных сумм ряда (2) имеет конечный предел, при этом поскольку посл-тьвозрастает то, посл-тьубывает, т.к., поэтому.
Таким образомотсюда получаем
и а это означает
34.Признак Абеля и Дирихле.
Рассмотрим ряды
Теорема:
Признак Абеля. Если ряд (2) сходится, а последовательность - монотонна и ограничена, то ряд (1) сходится.
Признак Дирихле. Если последовательность частичных сумм ряда (2) ограничена, а последовательностьмонотонно стремится к нулю, то ряд (1) сходится
Доказательство: Согласно критерию Коши:
Полагая , запишем
т.к. и
(3)
1) Из условия признака Абеля следует, что ограничена, т.е.и ряд (2) сходится а значит по критерию Коши
Тогда получим, что
т.к. ≤ 2A в силу монотонности посл {an} и ее ограниченности. Согласно критерию Коши ряд (1) в рассматриваемом случае сходится.
2) Из условия признака Дирихле следует, что ≤M, n=1,2,.. (т.к. {Bn} ограничена) и
ε>0 NN:n>N→|an|<,(т.к. an→0) Тогда учитывая (3) будем иметь
≤*2M+2M≤
≤+2M*=ε
(где использовалась монотонность последовательности {an}), т.е. ряд (1) сходится.
35. Абсолютно и условно сходящиеся числовые ряды
Пусть дан ряд (1). Рассмотрим ряд (2)
Теорема13. Если ряд (2) сходится, то сходится и ряд (1). Доказательство. Поскольку
=un+1+ un+2 +…+un+p≤un+1+un+2 +…+un+p=
=<ε, то согласно критерию Коши следует справедливость утверждения теоремы.
Опр.1. Если ряд (2) сходится, то ряд (1) наз. абсолютно сходящимся.
Опр.2. Если ряд (1) сходится, а ряд (2) расходится, то ряд (1) называется условно сходящимся.
Теорема14. Если ряд (1) абсолютно сходится, то при любой перестановке его членов получим новый ряд, который также абсолютно сходится и имеет ту же сумму.
Док-во. Введем обозначения un+=,
un- =. Тогда un= un+ - un-, n=1,2,… Поскольку un+≤, un- ≤, n=1,2,… и ряд (1) сходится абсолютно, то по признаку сравнения сходятся ряды
(3) и(4) с неотрицательными членами. При некоторой перестановке членов ряда (1) получим ряд , а из рядов (3) и (4) получим соответственно ряды
(5) и(6) где vn+, vn- определяются аналогично un+ , un-. В силу теореме о перестановке членов в рядах с неотрицательными членами ряды (5) и (6) сходятся и имеют ту же сумму, что и ряды (3) и (4) соответственно. тогда согласно теореме о сумме числовых рядов имеем -=
=-==
Т.о. показали, что ряд имеет ту же сумму, что и ряд (1)