4.Предельный признак сравнения

Следствие 2 (предельный признак сравнения). Пусть функции f(x),g(x) неотрицательны на полуинтервале [a;w),g(x) ≠ 0 для любого x€[a;w) и существует (3.20)

Тогда:

а) если интеграл сходится и0<=к <+oo, то интеграл также сходится;

б) если интеграл расходится и0 < к <= +oo, то интеграл также расходится.

В частности, если f(x)иg(x) эквивалентные при x→w функции, то интегралы (3) и (4) сходятся или расходятся одновременно.

Доказательство. Из выполнения условия для k, удовлетворяющего условию 0≤ k < +∞, следует, что существует такое η ∈ [a; ω), что если η < x < ω, то

<k+1, т.е. f(x)<(k+1)g(x),

а это значит, что f (x) = O (g(x)) , x → ω. Поэтому утверждение а) следствия непосредственно следует из утверждения а) теоремы 6.

Пусть теперь условие (3.20) выполнено при некотором k, удовлетворяющем условию 0 < k ≤ +∞. Тогда для любого

k1 ∈ (0; k) существует такое η ∈ [a; ω), что если η < x < ω, то

>k1 или g(x)<).

Это и означает, что g(x) = O( f (x)) , x → ω . Поэтому утверждение б) следствия непосредственно следует из утверждения б) теоремы 6.

5. Достаточное условие сходимости.

Признак Дирихле.

Теорема: Пусть:

1. функция непр. и имеет ограниченную первообразнуюпри;

2. функция непр. дифференцируема и убывает при;

3. 

Тогда сходится интеграл ₍₁₎

Доказательство: Заметим, что ф-ция непрерывна, а значит и интегрируема по Риману на любом отрезкеи поэтому можно говорить о НИ(1)

Проинтегрировав по частям произведение на[a;b], получим (2)

Исследуем правую часть при . В силу ограниченности функцииM=sup|F(x)|<. Из условий 2 и 3 следует, что функцияне отрицательна для всех_{, в частности , поэтому, кроме того в силу условия 3,. Далее из убывания ф-ции} следует, что при_{, поэтому}

Таким образом, интегралы ограничены в совокупности при всех, поэтому интегралсходится абсолютно, а значит и просто сходится, т.е. существует конечный пределИтак, доказали, что в правой части рав-ва(2) оба слагаемых при имеют конечный предел, значит предел левой части притоже конечен. Это и означает сход инт(1)

6.Признак Абеля

Теорма: Если на полуоси

1. Ф-ция непрерывна и сходится интеграл

2. функция непрерывно дифференцируема, ограничена и монотонна, то интегралсходится.

Доказательство: Отметим, что интегралы исходятся и расходятся одновременно и что в силу монотонности одна из функцийилиубывает.

Пусть для определенности, убывает функция . В силу ее ограниченности и монотонности, существует конечный предел

, а т.к. ф-ция убывает, то при, убывая стремится к нулю и разность.Представим произведениев видеВ силу сходимости, интегралтакже сходится. Из этого условия следует, что интегралы, ограничены. В самом деле, из существования конечного пределаследует ограниченность ф-циив некот. окресности. На отр-кеф-цияогр., т.к. она непрерывна. В рез-теограничена на всей полупрямой. Ф-цияявл. первообразной ф-ции, тем самым ф-цияимеет первообразную при

_{Т.о. для интеграла} выполнены все условия признака Дирихле, поэтому этот интеграл сходится. В силу доказанного, из равенства

следует сходимость интеграла.