Tom_2

¥

x2dx

Пример 6. Вычислить интеграл I = ò

(a > 0) .

(x2 + a2 )

2

0

Решение. Так

f (x) =

x2

как подынтегральная функция

–

(x2 + a2 )2

1

+¥

x2dx

четная, то I =

ò

.

2

2

-¥ (x2 + a2 )

Введем функцию

f (z) =

z2

, которая на действительной оси,

(z2 + a2 )2

т.е. при

z = x , совпадает

с

f (x) .

Функция f (z)

имеет в верхней

полуплоскости полюс второго порядка в точке

z = ai .

Вычет f (z)

относительно этого полюса равен

Res f (z) = lim

d

é

2 ù

d é

z2

ù

= lim

ú =

ë f (z)(z - ai)

û

ê

z=ai

z®ai dz

z®ai

dz ê(z + ai)2

ú

ë

û

= lim

2aiz

=

1

.

z

®ai (z + ai)3

4ai

Пользуясь формулой (7), получаем

1

+¥

x2dx

1

1

π

I =

ò

=

×

2πi ×

=

. □

2

(x2 + a2 )

2

2

4ai

4a

-¥

Пример

7.

Вычислить

с помощью вычетов несобственные

интегралы

+¥

cos5xdx

+¥

sin5xdx

ò

и

ò

.

(x2 - 2x + 2)

2

(x2 - 2x + 2)

2

-¥

-¥

Решение.

Функция

f (z) =

1

–

дробно-рациональная,

(z2 - 2z + 2)2

аналитическая на действительной оси и в верхней полуплоскости, за исключением особой точки z1 = 1+ i (корни уравнения z2 - 2z + 2 = 0 есть z1 = 1+ i , z2 = 1- i ), которая является полюсом второго порядка. Так как для функции f (z) выполняется условие f (z) → 0 при z → ∞ , то данные интегралы могут быть вычислены с помощью вычетов по формулам (7).

ei×5z

Найдем вычет функции F(z) = f (z)ei×5z = (z2 - 2z + 2)2 в точке z1 :

234

d

æ

-1- i)2

e

i×5z

ö

æ

e

i×5z

ö¢

Res F(z) = lim

ç(z

÷ =

lim

ç

÷ =

z=1+i

z®1+i dz

ç

(z

2

- 2z

+ 2)

2

÷

z®1+i

ç

-1+ i)

2

÷

è

ø

è (z

ø

5iei×5z (z -1+ i)2

- 2ei×5z (z -1+ i)

5iei×5(1+i) (2i)2 - 4iei×5(1+i)

=

lim

=

=

(z -1+ i)4

(2i)4

z®1+i

-24iei×5(1+i)

3

ie

-5

e

i×5

3

ie

-5

+ i sin5) =

3

e

-5

(sin5 - i cos5).

=

= -

= -

(cos5

16

2

2

2

Итак,

+¥

cos5xdx

= Re(2π i Res F(z)) = 3π e-5 cos5 ;

ò

(x

2 - 2x + 2)

2

-¥

z=1+i

+¥

sin5xdx

= Im(2πi Res F(z)) = 3π e-5 sin5 .

ò

□

(x

2 - 2x + 2)

2

-¥

z=1+i

Задания для самостоятельной работы

1.Описать области, заданные следующими соотношениями:

а) 1 £ z + 2 + i £ 2 ; б) 0 < z + i < 2 ; в) z > 2 + Im z .

2.

Для следующих функций найти действительную и мнимую части:

z +

i

; в) f (z) =

+

i

.

а) f (z) = 2i - z + iz2 ; б) f (z) =

z

i

i - z

z

3.

Найти область однолистности функции

f (z) = ez .

4.

Найти образ точки z0

=

1+ i

при отображении w = (z - i)2 .

2

5.

Найти все значения функции w =

z

+ i

в точке z0 = i .

z - i

6.

Вычислить пределы:

а)

lim

sin z

; б) lim

z2

+ 3iz - 2

; в)

lim

e2iz +1

.

z®0 shiz

z®-i

z + i

z®π

eiz + i

2

7.Показать, что w = 2z3 – непрерывная функция во всей плоскости.

8.Записать в алгебраической форме следующие комплексные числа:

235

		π			i		πi
	а)	e 4 i	; б) ln(1− i) ; в) sinπi ;	г) Arctg		; д) sh		.
							2
				3
	9. Решить следующие уравнения:
	а)	ez + i = 0 ; б) sin z = 3 ; в)		sh iz = −i ;		г) ln(i - z) = 1.

10.Исследуйте функции на дифференцируемость и аналитичность, найдите их производные, если они существуют:

а) w = zz - z Im z ; б) w = x2 - 2iy ; в) w = 2z2 - 3iz .

11.Восстановить аналитическую в окрестности точки z0 функцию f (z) по известной действительной части u(x, y) или мнимой v(x, y) и значению

f (z0 ) :

	а) u =	x	, f (π ) =	1		;
		x2 + y2		π
	б) v = 2(ch x - sin y - xy),					f (0) = 0 ;
	в) u = 2sin x ×ch y - x ,			f (0) = 0 ;

г) v = 2cos x × ch y - x2 + y2 , f (0) = 2 .

12.Проверить гармоничность приведенных ниже функций в указанных областях и найти, когда это возможно, аналитическую функцию по данной ее действительной или мнимой части:

а) u(x, y) = x3 - 3xy2 , 0 £ z < +¥ ;

б) v(x, y) = 2ex sin y, 0 £ z < +¥ ; в) u(x, y) = 2xy + 3, 0 £ z < +¥ ;

г) v(x, y) = xy, 0 £ z < +¥ .

13.Найти коэффициент растяжения k и угол поворота ϕ для заданных отображений w = f (z) в указанных точках:

а)	w = ez , z0	= ln 2 + i	π	; б) w = z2 , z0 = i ;
			4
в)	w = sin z,	z0 = 0 ;		г) w = z3, z0 = 1+ i ;

д) w = ie2z , z0 = 2πi .

14. Найти область сходимости следующих степенных рядов:

236

∞

а) åein zn ; б) n=1

∞	æ		z ön			∞	i
å	ç			÷	;	в) åch		zn ; г)
n=0	è	1- i ø				n=1	n

∞

åcosin × zn .

n=0

15.Разложить приведенные ниже функции в ряд Тейлора и указать область сходимости полученного ряда:

по степеням z:

		1			б) (1+ z)ez	2
	а)			;		;
		4z -1
	по степеням z +1:
	а)	ez ; б) z4 -10z2 + 2z -1.

16.Разложить в ряд Лорана следующие функции в окрестности указанных точек:

а)

sin2

z

, z0

= 0 ;

б)

ez

, z0 = 0 ;

z

z3

в)

z

, z0 = -1;

г)

sin z

,

z0 = 2 .

(z +

1)2

z - 2

17. Разложить в ряд Лорана в указанных кольцах следующие функции:

а)

1

, 0

<

z

< 1; б)

1

, 1

<

z + 2

< 4 ;

z2 + z

z2 + 2z - 8

в)

z5

, 2 <

z

< +¥ .

(z2 + 4)2

18. Найти все конечные особые точки функций и определить их характер:

1

1

z -

π

а)

;

б)

;

в)

4

;

(z2 + i)3

sin z

tg z -1

г)

1

;

д)

1- cos z

.

ez - 3

z2

19. Исследовать характер бесконечно удаленной точки:

а)

z2

;

б) 1- z + 2z2

; в) e−z ;

г)

cos z .

- 2z2

5

20. Найти вычеты в особых точках следующих функций:

237

	tg z				1
а) f (z) =			;	б) f (z) = z3ez ;
	z2 −	π z
в) f (z) = cos 1		4					1 .
		+ z3 ;		г) f (z) = ez sin
	z						z

21. Определить характер бесконечно удаленной точки для функций

z3

− z2 + z + 6

1

1

а)

f (z) =

;

б)

f (z) = ez

2

;

в)

f (z) = cos

.

z2

z

22.

Вычислить с помощью вычетов следующие интегралы:

ez

1

а) ò

dz ; б)

ò

e

z2

dz ;

в)

ò

1

sin

1

dz .

2

2

z

=3 z

+ 4

z−i

=

3 z

+1

z

=2 z −1

z

2

23. Вычислить с помощью вычетов следующие определенные интегралы:

2π

dx

2π

dx

а) ò

, a > 1; б)

ò

.

a + cos x

3

− cos x − sin x

0

0

24. Вычислить следующие несобственные интегралы:

+∞

xdx

+∞

sin

xdx

+∞

cos

xdx

а) ò

; б)

ò

; в)

ò

.

(x2 + 4x +13)

2

2

2

+ 9

−∞

−∞ x − x +

1

−∞

x

238

¶¶ϕν ;

ГЛАВА 8

УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

§ 1. Основные понятия теории уравнений математической физики

10. Общие сведения об уравнениях с частными производными.

Уравнение

æ

¶u

¶u

¶

m

u

ö

F ç x , x ,..., x ,u,

,...,

,...,

÷

= 0,

(1)

¶x m1

...¶x

ç

1 2

n

¶x1

¶xn

mn

÷

è

1

n

ø

m1 + m2 + ... + mn = m,

связывающее искомую функцию u, независимые переменные x1,..., xn

и частные производные искомой функции по этим независимым переменным, называется дифференциальным уравнением в частных производных. Здесь F – известная функция своих аргументов.

Наивысший порядок частных производных, входящих в уравнение (1), называется порядком этого уравнения.

Решением уравнения (1) в некоторой области D называется любая функция u = u(x1, x2 ,..., xn ) , необходимое число раз дифференцируемая

и обращающая его в тождество. Решение уравнения в частных производных определяется неоднозначно и может зависеть от нескольких параметров, число которых равно порядку уравнения.

Пример 1. Проверить, является ли функция u(x, y) = ϕ (x2 + y2 ) , где ϕ – произвольная дифференцируемая функция, решением уравнения

x ¶u(x, y) - y ¶u(x, y) = 0.

¶y ¶x

Решение. По правилам дифференцирования сложной функции находим: ¶¶ux = ¶¶ϕν ¶¶νx ; ¶¶uy = ¶¶ϕν ¶¶νy , где ν = x2 + y2 , или ¶¶ux = 2x

¶¶uy = 2y ¶¶ϕν .

Подставляя в исходное уравнение найденные значения производных, получаем тождество

2xy ¶¶ϕν - 2xy ¶¶ϕν º 0,

239

справедливое

на

всей

плоскости

Oxy .

Значит,

функция

u(x, y) = ϕ (x2 + y2 ) есть общее решение уравнения x

¶u - y

¶u

= 0

на

¶y

¶x

всей этой плоскости.

□

Пример 2. Решить уравнение

¶2u

= 0 , где u = u(x, y) .

¶x¶y

Решение. Исходное

уравнение

можно

записать

в

виде

¶ æ

¶u ö

¶u

ç

÷ = 0 ,

из которого следует, что производная

¶y

зависит только

¶x è

¶y ø

от y, т.е.

¶u

= g(y) ,

где g(y) – произвольная дифференцируемая

¶y

функция.

Отсюда

u = ò g(y)dy + F(x) = G(y) + F(x) , где

F(x)

–

произвольная дифференцируемая функция, зависящая только от x, а

G(y) = ò g(y)dy .

Таким образом, решением рассматриваемого уравнения является любая функция вида u = G(y) + F(x) , где G(y) и F(x) – произвольные

дифференцируемые функции. Это решение является общим. □

Пример 3. Найти решение уравнения ¶¶ux = x2 , удовлетворяющее

условию u(x, y) |x=0 = y2 .

Решение. Общее решение данного уравнения имеет вид u(x, y) = 13 x3 +ϕ(y) . Подставим в полученное выражение x = 0 , будем

иметь u(x, y) |x=0 = ϕ(y) = y2 .

Отсюда u(x, y) = 13 x3 + y2 – искомое решение. □

20. Классификация линейных уравнений второго порядка.

Уравнение (1) называется линейным, если неизвестная функция и ее частные производные входят в него линейным образом.

Наиболее изученными являются линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Самый общий вид такого уравнения для n независимых переменных следующий

n	¶2u	n	¶u
å aik		+ åak		+ a0u = f ,	(2)
	¶x ¶x		¶x
i,k=1	i k	k=1	k

240

где коэффициенты aik , ak , a0 – постоянные числа или функции от xk , k = 1,n .

Учитывая, что	¶2u	=	¶2u	, можно считать a	= a .
	¶xi¶xk			ik	ki
			¶xk ¶xi

Отметим, что свойства решений уравнения (2) существенно зависят от коэффициентов, стоящих при старших производных. В зависимости от значения этих коэффициентов уравнения подразделяются на несколько типов. Рассмотрим это подробнее на простейшем примере, когда искомая функция зависит от двух независимых переменных. В данном случае уравнение (2) имеет вид:

a

¶2u

+ 2a

¶2u

+ a

¶2u

+ a

¶u

+ a

¶u

+ a u = f (x, y) , (3)

¶y2

¶x

¶y

11 ¶x2

12 ¶x¶y

22

1

2

0

где

a11, a12 , a22 , a1, a2 , a0

–

коэффициенты,

являющиеся

вещественными числами или функциями от x и y, f (x, y) – правая часть уравнения (заданная функция).

I. Пусть в уравнении (3) a11, a12 , a22 – постоянные коэффициенты. Уравнению (3) соответствует квадратичная форма

Q(z , z	2	) = a	z2 + 2a			z z	2	+ a	z2	(4)
1		11	1	12		1		22	2
с матрицей		æ a11 a12
A =				ö,	a = a .
		ç a	a	÷		12		21
		è 21	22	ø
Дифференциальное уравнение (3) классифицируется в
зависимости от собственных			значений					λ1	и λ2	матрицы А
квадратичной формы (4).
Говорят, что:

1)уравнение (3) является уравнением эллиптического типа, если λ1 и λ2 не равны нулю и имеют одинаковые знаки;

2)уравнение (3) является уравнением гиперболического типа, если λ1 и λ2 отличны от нуля и имеют противоположные знаки;

3)уравнение (3) является уравнением параболического типа, если одно из чисел λ1 или λ2 равно нулю.

Так как

A		= a	a		- a2	= λ λ ,		(5)
		11		22	12	1	2

то уравнение (3) является уравнением эллиптического типа, если выполнено условие

(λ λ		> 0) Û (a	a	- a2	> 0) Û (		A		> 0) .	(6)
1	2	11	22	12

241

В этом случае уравнение (3) линейной заменой переменных

x = αξ + βη , y = γξ + δη

( α, β, γ , δ

– некоторые числа) сводится

к уравнению

λ

¶2u

+ λ

¶2u

= f

æ

ξ,η,u,

¶u

,

¶u

ö

,

ç

1

¶ξ 2

2

¶η2

1

÷

è

¶ξ ¶η ø

где ξ, η – новые переменные; f1 – известная функция.
Аналогично из равенства (5) следует, что условие
(λ λ		< 0) Û (a	a		- a2 < 0) Û (		A		< 0)	(7)
1	2	11		22	12

является условием гиперболичности уравнения (3). В этом случае уравнение (3) указанной выше линейной заменой сводится к виду

¶2u

- a2

¶2u

æ

ξ,η,u,

¶u

¶u ö

=

f2 ç

,

÷ ,

¶ξ 2

¶η2

¶ξ

λ2

è

¶η ø

где a2 = -

> 0 ;

f2

– известная функция.

λ1

Наконец, из равенства (5) следует, что условие

(λ λ = 0) Û (a

a

- a2 = 0) Û (

A

= 0)

(8)

1

2

11

22

12

является условием параболичности уравнения (3). В этом случае оно линейной заменой приводится к виду

λ

¶2u

= f

æ

ξ,η,u,

¶u

,

¶u ö

3

ç

÷

1

¶ξ

2

¶ξ

или

è

¶η ø

λ

¶2u

= f

æ

ξ,η,u,

¶u

,

¶u ö

,

4

ç

÷

2

2

¶ξ

¶η

è

¶η ø

где f3 , f4 – известные функции.

II. Если в уравнении (3) коэффициенты aij переменные, то для

него выделяются области эллиптичности, гиперболичности и параболичности. Говорят, что указанное уравнение в области D принадлежит гиперболическому типу, если в этой области

a122 - a11a22 > 0 . Если же a122 - a11a22 = 0 , то уравнение принадлежит параболическому типу, а если a122 - a11a22 < 0 – эллиптическому типу.

Уравнение ¶¶2u2 - ¶¶2u2 = F æç x, x y è

уравнением гиперболического типа

y,u,	¶u	,	¶u ö	называется каноническим
	¶x		÷
			¶y ø

		¶	2	u	æ	¶u		¶u	ö
	(уравнение				= F ç x, y,u,		,		÷
		¶x¶y				¶x		¶y
					è				ø

242

также называется каноническим видом уравнения гиперболиченского

типа); уравнение

¶2u

=

æ

¶u

,

¶u

ö

– каноническим уравнением

¶y2

F ç x, y,u,

¶x

¶y

÷

è

ø

параболического

типа;

уравнение

¶2u

+

¶2u

æ

¶u

,

¶u ö

¶x2

¶y

2

= F ç x, y,u,

¶x

÷ –

è

¶y ø

каноническим уравнением эллиптического типа.

На

практике сведение

уравнения

(3)

к

каноническому виду

в случае,

когда

a11,

a12 , a22

– постоянные

коэффициенты,

можно

осуществлять с помощью ортогонального преобразования квадратичной формы (4) к каноническому виду.

Пример 4. Привести к каноническому виду уравнение

2

¶2u

+ 2

¶2u

+ 2

¶2u

+

¶u

+

¶u

= 0

.

(9)

¶x2

¶x¶y

¶y

2

¶x

¶y

Решение. Уравнению (9) соответствует квадратичная форма

Q(z , z

2

) = 2z2

+ 2z z

2

+ 2z2

с матрицей

A = æ 2

1ö

. Отсюда следует

1

1

1

2

ç

÷

è1

2ø

A = 3 > 0 . Согласно условию (6) заключаем, что уравнение (9) является уравнением эллиптического типа. Находим собственные значения

матрицы А из уравнения (2 - λ)2 -1 = 0 или λ2 - 4λ + 3 = 0 . Имеем λ1 = 1, λ2 = 3 . Соответствующие им собственные векторы находим

следующим образом.
Для λ1	ìγ	+ γ					= 0,		Þ γ1		= (1;-1) .
	= 1: í 1				2	= 0,
	îγ1	+ γ2
Для λ2	ì-γ		1	+ γ			2	= 0,		Þ γ	2 = (1;1) .
	= 3 : í								0,
	î γ1 - γ 2 =

Нормируя полученные векторы (умножая их на число

1

, где

γ i

γ i

– длина или норма вектора,

i = 1; 2 ), составим матрицу перехода

æ

1

1

ö

ç

÷

2

2

T = ç

÷ .

ç

-

1

1

÷

ç

÷

2

2

è

ø

243