Tom_2

grad f =

¶f

e

ρ

+

1 ¶f

e

+

¶f

e

z

.

(13)

¶ρ

ρ ¶ϕ

¶z

ϕ

Переменные орты eρ , eϕ , ez выразим через орты i , j , k декартовой системы координат (см. рис. 2). Очевидно,

ρ

=

x

+ y

+ 0 ×

e

=

,e

=

i

j

k

=

cosϕ +

sinϕ + 0×

.

k

k

z

ρ

i

j

ρ

ρ

Вектор eϕ ортогонален вектору eρ , а потому выражение для него получим из выражения вектора eρ , заменив в последнем ϕ на

ϕ + π2 :

e

=

cos

æ

ϕ +

π ö

+

sin

æ

ϕ +

π ö

+ 0 ×

= -

sinϕ +

cosϕ + 0 ×

.

k

k

i

j

i

j

ϕ

ç

÷

ç

÷

è

2 ø

è

2 ø

Итак, имеем

eρ =

i

cosϕ +

j

sinϕ, eϕ = -

i

sinϕ +

j

cosϕ, ez

=

k

.

В сферической системе координат e1 = eρ , e2 = eθ , e3 = eϕ . Тогда,

с учетом, что

Hρ =1, Hθ = ρ,

Hϕ = ρ sinθ (см. пример 2)

и формул

(12), будем иметь

¶f

1

¶f

1

¶f

grad f

=

e

ρ

+

e +

e .

(14)

ρ ¶θ

ρ sinθ ¶ϕ

¶ρ

θ

ϕ

И здесь переменные орты eρ ,eθ ,eϕ

можно выразить через орты

ρ

xi

+ yj

+ zk

i , j , k : eρ =

=

= i sinθ cosϕ + j sinθ sinϕ + k cosθ.

ρ

ρ

Далее,

из условий ортогональности векторов eθ

и eϕ

орту eρ

находим (рис. 3):

e =

sin

æθ + π

ö cosϕ +

sin æθ + π

ö sinϕ +

cos

æθ + π

ö =

i

j

k

θ

ç

2

÷

ç

2

÷

ç

÷

è

ø

è

ø

è

2 ø

=

cosθ cosϕ +

cosθ sinϕ -

sinθ ,

i

j

k

e =

sin

π cosæ

ϕ + π ö

+

sin π sin æϕ + π ö

+

cos π = -

sinϕ +

cosϕ.

k

i

j

i

j

ϕ

2

ç

÷

2

ç

÷

2

è

2 ø

è

2 ø

30. Ротор в криволинейных координатах. Рассмотрим векторное поле

184

3

a(M ) = åak ek = a1e1 + a2e2 + a3e3,

k=1

где ak , k =1, 2, 3, − проекция вектора a на направление соответствующего орта ek .

Используя формулу (11), запишем это векторное поле в виде

3

a(M ) = åak Hk grad uk .

Используя соотношения

k=1

rot (a +

) = rot a + rot

,

b

b

rot (u, a) = [grad u,a] + u rot a (см. пример 5.1),

rot (grad u) =

(см. п. 5.20),

0

находим

3

3

rot a(M ) = rotåak Hk grad uk

= årot(ak Hk grad uk ) =

k=1

k=1

3

3

= å[grad (ak Hk ), grad uk

]+ åak Hk rot (grad uk ) =

k=1

k=1

3

].

= å[grad (ak Hk ), grad uk

k=1

Принимая во внимание выражения (11) и (12) и расписывая

векторное произведение в координатах, получаем

e1

e2

e3

rot a =

1

∂(a1H1)

1

∂(a1H1)

1

∂(a1H1)

+

H

H

∂u

H

2

∂u

2

3

∂u

1

1

3

1

0

0

H1

e1

e2

e3

+

1

∂(a2 H2 )

1

∂(a2 H2 )

1

∂(a2 H2 )

+

H

∂u

H

2

∂u

2

H

3

∂u

1

1

3

0

1

0

H2

185

		e1
+	1 ¶(a3H3 )		1
	H	¶u	H	2
	1	1
		0

e2

¶(a3H3 ) 1

¶u2 H3

0

e3

¶(a3H3 ) .

¶u3

1

H3

Вычисляя определители, после несложных преобразований получим выражение ротора в криволинейных ортогональных координатах в виде

rot a =

1

æ

¶(a3H3 )

-

¶(a2 H2 ) ö e +

H

H

ç

2

¶u

2

¶u

÷ 1

3 è

3

ø

+

1

æ

¶(a1H1) -

¶(a3H3 )

ö e +

1

æ

¶(a2 H2 )

-

¶(a1H1) ö e .

H H

ç

H H

ç

3

¶u

¶u

÷ 2

¶u

¶u

2

÷

3

1

è

3

1

ø

1

2 è

1

ø

(15) Hk , k =1, 2, 3,

(15)

Подставляя

в

для

цилиндрической

и

сферической систем координат (см. примеры 1, 2), соответственно, получим выражения для ротора в цилиндрической и сферической системах координат

1 æ

¶az

¶(ρaϕ ) ö

æ ¶aρ

¶az

ö

1 æ

¶(ρaϕ )

¶aρ

ö

rot a =

ç

-

÷ eρ

+ ç

-

÷eϕ +

ç

-

÷ ez ,

¶ϕ

¶z

¶z

¶ρ

¶ρ

¶ϕ

(16)

ρ è

ø

è

ø

ρ è

ø

æ ¶(aϕ sinθ )

1 ¶(ρaϕ ) ö

1

¶a

ö

æ

1

¶aρ

rot a =

ç

-

θ ÷ eρ + ç

-

÷eθ +

ρ sinθ

¶θ

ρ sinθ ¶ϕ

ρ

¶ρ

è

¶ϕ ø

è

ø

1

æ ¶(ρa )

¶aρ ö

+

ç

θ

-

÷ eϕ .

¶ρ

¶θ

ρ è

ø

(17)

40. Дивергенция в ортогональных криволинейных

координатах. Используем соотношения (11), тогда получим
e1 = [e2 , e3 ] = H2H3 [grad u2 , grad u3 ],
e2	= [e3, e1	] = H3H1 [grad u3, grad u1],	(18)
e3	= [e1, e2	] = H1H2 [grad u1, grad u2 ],

в силу чего

a = a1e1 + a2e2 + a3e3 = a1H2 H3 [grad u2 , grad u3 ]+

+a2 H3H1 [grad u3 , grad u1 ]+ a3H1H2 [grad u1, grad u2 ].

Теперь, применив формулы

186

div (a +

) = div a + div

,

b

b

div (u × a) = (grad u,a) + u div a

(см. упражнение 5.1), будем иметь

div a = (grad (a1H2 H3 ), [grad u2 , grad u3 ])+

+(grad (a2 H3H1), [grad u3, grad u1 ])+

+(grad (a3H1H2 ), [grad u1, grad u2 ])+

(19)

+a1H2 H3div[grad u2 , grad u3 ]+

+a2 H3H1div[grad u3 , grad u1 ]+

+a3H1H2div[grad u1, grad u2 ].

é

ù

= (b , rot a )- (a, rot b ) (см.

Но, на основании формулы div ëa, b û

пример 5.2), и, учитывая, что rot(grad u) =

, имеем

0

é

ù

= (grad u j , rot(grad ui ))- (grad ui , rot(grad u j )) = 0,

div ëgrad ui , grad u j û

i, j =1,2,3,

в силу чего в выражении (19)

три последних слагаемых

равны нулю. Воспользовавшись

выражением

(12) для

градиента

в криволинейных координатах и формулами (18), получим

3 æ

1

¶(a1H2 H3 ) ek ,

1

ö

div a = åç

e1

÷

+

H2 H3

k=1è

Hk

¶uk

ø

3 æ

1 ¶(a2 H3H1)

1

ö

3

æ

1 ¶(a3H1H2 )

1

ö

+åç

ek ,

e2 ÷ +

åç

ek ,

e3

÷.

H

k

¶u

k

H

H

H

k

¶u

k

H H

2

k=1è

3 1

ø

k=1è

1

ø

После выполнения скалярных умножений окончательно найдем выражения для дивергенции в произвольных криволинейных ортогональных координатах:

div a(M ) =

1

æ

¶

(a H

H

) +

¶

(a H

H ) +

¶

(a H H

)ö.

H H

H

ç

¶u

2

3

¶u

¶u

2

2

3

1

2

2

3 1

3 1

÷

1

è

1

3

ø

(20)

Для цилиндрической системы координат будем иметь

div a =

1

æ ¶(ρaρ )

+

¶aϕ

+

¶(ρaz )

ö

ç

÷.

(21)

ρ

¶ρ

¶ϕ

¶z

è

ø

Для сферической системы координат получаем

1

¶(ρ2a

ρ

)

1

æ

¶(a

sinθ )

¶a

ö

ϕ

div a =

+

ç

θ

+

÷.

(22)

ρ2

¶ρ

¶ϕ

ρ sinθ è

¶θ

ø

187

50. Оператор Лапласа в криволинейных координатах. В

формуле (2) положим

3

1

¶f

a = grad f

= å

ek ,

k=1 Hk

¶uk

тогда, в силу формулы (5.4), найдем выражения для оператора

Лапласа в произвольных криволинейных координатах:

Df

= Ñ2 f =

1

æ ¶

æ H

2

H

3

¶f ö

¶

æ H

3

H

¶f ö

¶

æ H H

2

¶f öö

=

ç

+

1

+

ç

1

÷.

H H

H

¶u

ç

H

¶u

÷

¶u

ç H

¶u

÷

¶u

H

¶u

2

3

ç

2

2

3

÷÷

(23)

1

è

1

è

1

1

ø

2

è

ø

3

è

3

øø

В цилиндрической системе координат, согласно равенству (23) и, с учетом, что H1 = H3 =1, H2 = ρ , будем иметь

æ

¶f

ö

1 ¶

2

f

¶

2

f

1 ¶f

¶

2

f

1 ¶

2

f

¶

2

f .

Df =

1

¶

ç

ρ

÷

+

+

=

+

+

+

ρ2 ¶ϕ2

¶z2

ρ ¶ρ

¶ρ2

ρ2 ¶ϕ 2

ρ ¶ρ è

¶ρ ø

¶z2

(24)

В

частности,

в

полярных

координатах

(координата

z

отсутствует) из равенства (24) получаем выражение для оператора Лапласа в виде

1

æ

ö

1 ¶

2

Df

=

¶

ç

ρ

¶f

÷ +

f .

(25)

ρ ¶ρ è

¶ρ ø

ρ2 ¶ϕ2

В сферической системе координат, согласно равенству (23) и с

учетом, что H1 =1, H2 = ρ, H3 = ρ sinθ , получаем

1 ¶

æ

ρ2

¶f ö

1

¶ æ

¶f

ö

1

¶2 f

Df =

ç

÷ +

çsinθ

÷ +

. (26)

¶θ

ρ2 sinθ ¶ϕ2

ρ2 ¶ρ è

¶ρ ø

ρ2 sinθ ¶θ è

ø

Пример 3. Потенциальное векторное поле a(M )

задано своим

потенциалом u(M ) =

b

+ C,

где

ρ − расстояние точки M до начала

ρ

координат; b, C − постоянные. Записать это поле и доказать его

соленоидальность.

Решение. В рассматриваемом случае поле a(M ) удобнее всего исследовать в сферических координатах (ρ;θ;ϕ), причем это поле зависит только от координаты ρ . Учитывая сказанное и используя формулы (14), а также выражения переменных орт eρ , eθ , eϕ через

188

орты

,

,

декартовой системы координат (см. п.20),

получим во

i

j

k

всем пространстве, исключая начало координат ( ρ ¹ 0 ):

a(M ) = grad u =

¶u

e

= -

b

e =

ρ2

¶ρ ρ

ρ

b

= -

(sinθ cosϕ ×

+ sinθ sinϕ ×

+ cosθ ×

) = -

b(xi

+ yj + zk )

.

i

j

k

ρ2

3

(x2 + y2 + z2 )2

Для доказательства соленоидальности этого поля нужно

показать, что div a(M ) = div(grad u) = Du = 0,

т.е. что потенциал

u

поля

удовлетворяет

уравнению

Лапласа

u = 0,

которое

в

сферических координатах с учетом выражения (26) для оператора Лапласа в этих

координатах и независимости рассматриваемого поля от координат θ и ϕ , примет вид:

æ

¶u

ö

¶u

¶

2

u

1

¶

ç

ρ2

÷

= 0 или 2

+ ρ

= 0.

¶ρ

¶ρ

¶ρ2

ρ2 ¶ρ è

ø

Подставив сюда выражения для потенциала рассматриваемого

поля, будем иметь

æ

b

ö

æ

2b ö

2

ç -

÷

+ ρ ç

÷ º 0.

ρ

2

ρ

3

è

ø

è

ø

Полученное тождество доказывает соленоидальность поля. □

Задания для самостоятельной работы

1.Найти векторные линии для данного поля:

а) a = (x - y + z)i + (x + y - z) j + (2z - y)k ; б) a = (x + y2 + z2 )i + yj + zk ;

в) a = (2x + y)i + 2(y + 2z) j + (x - z)k ;

г) a = (x + y)i - xj - yk .

2.Пусть заданы векторное поле a и точка Р. Найти уравнение векторной линии поля, проходящей через данную точку, если:

а) a = xln xi + (2y + ln x) j , P(e; 2); б) a = -yi + xj + 0k , P(1; 0; 0);

189

æ

1

1

ö

в)

a = x2i - y3 j + z2k , Pç

; -

;1÷

;

2

2

è

ø

г)

a = (2x3 + 5y)y−3

+ (3x2 + y2 ) y−2

, P(-1;1).

i

j

3. Вычислить

поток поля

для

заданных

векторных

полей

a и

незамкнутых ориентированных поверхностей S , если:

а)

+ z2

,

S

− верхняя сторона круга, вырезаемого

a = xi

+ yj

k

конусом z =

x2 + y2

на плоскости z = 2;

б)

a = yzi

+ xzj

+ xyk , S

−

внешняя

сторона части

сферы

x2 + y2 + z2 = R2 , расположенной в первом октанте;

в)

a = y2

, S

−

нижняя сторона части

поверхности

j

+ zk

z = x2 + y2 , отсеченной плоскостью z = 2.

4.Вычислить поток для заданных векторных полей a и положительно ориентированных замкнутых поверхностей S :

а) a = (z2 - y2 )i + (yx2 - z2 ) j + (zy2 - x2 )k , S :{x2 + y2 + z2 = R2 , z = x2 + y2 };

б) a = 3x2 y2i - (1+ yz2 ) j + (2 - zx2 )k , S :{x2 + z2 = y2 , y =1, y ³ 0};

в) a = xi - 2yj - zk ,

S :{1- z = x2 + y2 , z = 0}.

5. Вычислить дивергенцию данного векторного поля a в точке

Р:

а) a = (xy + z2 )i + (yz + x2 ) j + (zx + y2 )k , P(1; 2; - 5);

б) a = x2 yi + xy2 j + z2k , P(1; 2; -1); в) a = xy2i + x2 yj + z3k , P(1; -1;3).

6. Вычислить линейный интеграл для заданных векторных полей a и ориентированных линий L :

а) a = (x +1)2 sin 2yi + (1- y2 )cos2 (x +1) j , L − отрезок АВ, где A(−2;1), B(1; − 2);

190

б) a = (x − 2y)i + ( y2 + 2z) j − (x − y + z)k ,

L− отрезок АВ, где A(2;1; − 3), B(1; 2; −1).

7.Вычислить циркуляцию для заданных векторных полей a и замкнутых линий L :

а) a = (z2 − y2 )

+ (x2 − z2 )

+ (y2 − x2 )

,

i

j

k

L

−

контур

треугольника

с

вершинами

(1; 0;0), (0;1; 0), (0; 0;1).

б)

− эллипс, образованный сечением

a = yi

− 2zj + xk , L

однополостного

гиперболоида 2x2 − y2 + z2 = R2

плоскостью

y = x;

8. Для данных векторных полей a найти rot a :

а)

a = xyz(xi

+ yj + zk );

б) a = (z3 + 2y3 + 3y)i + (y3 − 2x3 − xz2 ) j + (z2 − 5xy3)k .

9.Вычислить по формуле Стокса циркуляцию для заданных векторных полей a и замкнутых линий L :

а)

a = (3z2 − y3 )

+ (x3 − 2y2 z2 )

+ (2xyz − x2 y2 )

,

i

j

k

L :{x2 + y2 = 4,2x + z = 4};

б) a = (x − y)

, L :{x2 + y2 =1, z = 2};

i

+ xj

− zk

, L :{x2 + y2 =16, z =

}.

в)

+ y2

25 − x2 − y2

a = yzi

+ 2xzj

k

10. Убедившись в том, что заданное векторное поле a является потенциальным, найти потенциал поля и вычислить для точек А и В линейный интеграл, если:

а) a = ( yz +1)i + xzj + xyk , A(1;1;1), B(2;3;2);

б) a = 2xyzi + x2 zj + x2 yk , A(1; −1;1), B(−2;4;2);

в) a = (2xy + z2 )i + (2xy + x2 ) j + (2xz + y2 )k , A(0;1; − 2), B(2;3;1).

11.Найти grad div a , если a = x3i + y3 j + z3k .

12.Найти rot rot a , если a = xy2i + yz2 j + zx2k .

13. Вычислить grad div a и rot rot a , если

a = (x2 yz2 + 2y)i + (xy2 z2 − 2x2 ) j + (3xyz2 − 2x2 )k .

191

14. Вычислить u в точке М, если:

а) u = 3x2 z2 - (x + y - 2z2 )2 + 2z2 , M (2;1; -1);

б) u = sin2 (2x - 3y + z) - 2x2 + y2 + z2 , M (-1;-1; -1).

15. Найти Ñ2a, если a = ( y2 + z2 )xi + (x2 + z2 )yj + (x2 + y2 )zk .

192

ГЛАВА 7

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

§ 1. Функции комплексной переменной

10. Кривые и области в комплексной плоскости. Понятие функции комплексной переменной. Расстояние между двумя

точками

z1 = x1 + iy1

и

z = x2 + iy2

комплексной

плоскости

определяется равенством

ρ(z , z

2

) =| z

2

− z

|=

(x

− x )2

+ (y

2

− y )2 .

(1)

1

1

2

1

1

Исходя

из

формулы

(1),

уравнение

окружности

(x − x

)2

+ ( y − y

0

)2 = R2 радиусом

R c

центром

в

точке

z = x

+ iy

0

0

0

0

запишется в виде

| z − z0 |= R .

При любом фиксированном числе ε > 0 множество всех точек z ,

удовлетворяющих неравенству |

z − z0 |< ε , образует на

внутренность

круга радиусом

ε

с центром в точке

z0 . Это множество называется ε -

окрестностью

точки

z0

и

обозначается

Uε (z0 ) .

Исключив из

окружности

Uε (z0 )

точку

z0 ,

получим

проколотую

&

(z0 ) = Uε (z0 ) \ z0 точки

z0 .

окрестность Uε

Число

a + ib = A

называется

пределом

последовательности

комплексных чисел { z

n

} = { x

n

+ iy

n

}

и обозначается

lim z

n

= A ,

если для

ε > 0

n→∞

любого

сколь

угодно

малого

числа

существует

целое число

N = N(ε ) > 0 ,

такое,

что

для

всех

n ³ N

выполняется

неравенство

| zn − A |< ε .

{zn}

Будем говорить, что последовательность комплексных

чисел

имеет

бесконечный

предел,

и

писать

lim zn = ∞ ,

если

для

любого

n→∞

положительного числа M существует такой номер N, что для всех номеров

n > N выполняется

zn

> M .

Последовательность комплексных чисел {zn} называется сходящейся

к бесконечности или к бесконечно удаленной точке z = ∞ ,

193