Tom_2

Задания для самостоятельной работы

1.Вычислить криволинейные интегралы:

а)

ò

dl

,

где

L

–

отрезок

прямой

y = 2x + 3,

2x − 3y

L

заключенный между точками A(0;3)

и B(1;5) ;

б)

ò x2 ydl ,

где L – контур прямоугольника с вершинами

L

A(0;0), B(2;0), C(2;1), D(0;1) ;

в)

ò ydl , где

L –

дуга

параболы

y2 = 2x ,

заключенная

L

между точками A(0;0) и B(1;2) ;

г)

ò

zdl

,

где

L

–

первый

виток

винтовой

линии

2

2

x = acost,

L x

+ y

z = t ;

y = bsint,

д)

ò

z2dl

,

где

L

–

первый

виток

винтовой

линии

2

2

x = acost,

L x

+ y

z = t ;

y = bsint,

е)

ò ydx + x2dy ,

где

L

–

четверть

окружности

L

x = acost,

y = asint от t = 0 до t = π

;

2

ж)

ò (x2 − y)dx + xydy

вдоль

периметра

L треугольника,

L

ограниченного прямыми x = 0, y = 0, x + 2y = 2 .

2. Найти массу четверти эллипса x = acost, y = bsint , расположенной в первом квадранте, если плотность в каждой точке пропорциональна абсциссе этой точки с коэффициентом k .

144

3.Вычислить координаты центра тяжести первого витка винтовой линии x = acost, y = bsint, z = 2tπ , если плотность линии в каждой

точке равна ее абсциссе.

4.	Вычислить	моменты инерции			первого витка винтовой				линии
	x = acost, y = bsint, z =		t	относительно		координатных			осей.
			2π
	Принять плотность линии в каждой точке равной ее абсциссе в
	этой точке.
						2			2
5.	Вычислить	ò−ydx + xdy ,		где	L – часть	эллипса	x	+	y	=1,
							2		2
		L					a		b
	лежащая в верхней полуплоскости.
6.	Вычислить ò (x2 + xy + x)dx + (x2 − xy − y)dy , где L :
		L

а) эллипс x2 + y2 =1; a2 b2

б) окружность x2 + y2 = a2 .

Вычисления провести двумя способами: непосредственно и

с помощью формулы Грина.

7.С помощью формулы Грина вычислить разность между

	интегралами I1 =			ò y2dx + x2dy и I2 = ò y2dx + x2dy , где AmB
			AmB		AnB
	– отрезок прямой			y = x ,	заключенный между точками A(0;0) и
	B(2;2) , а AnB -			дуга	параболы y2 = 2x , заключенная между
	этими же точками.
	8. Вычислить криволинейный интеграл:
	(1;2)	2xydx + (x2 − y2 )dy ;
	а) ò
	(0;0)
	(2;3)	y	dx + ( y3 + ln x)dy .
	б) ò
	(1;1)	x

145

9.	Вычислить	òò(2x + y2 + z)dσ ,		где	σ	–	часть	плоскости
		σ
	2x − y + 2z = 4 , лежащая во втором октанте.
10.	Вычислить	òòx2 zdxdy + x2 ydydz + y2 zdxdz ,				где S		– внешняя
		S
	сторона	куба,	ограниченного				плоскостями
	x = 0, x = 1, y = 0, y = 1, z = 0, z =1 .
11.	Вычислить	òòx2ds , где S	–	часть	сферы		x2 + y2 + z2 = R2 ,
		S
	лежащая в первом октанте.

146

ГЛАВА 6

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ

§1. Скалярное и векторное поля

10. Основные понятия теории поля. Будем говорить, что

вобласти V пространства задано скалярное поле, если

каждой точке M V поставлено в соответствие число u(M ) R . Если

каждой точке M V поставлен в соответствие вектор u(M ) 3 , то

говорим, что на V задано векторное поле. Таким образом, понятие поля тесно связано с понятием функции, скалярной или векторной, в зависимости от типа поля. Физические интерпретации, приведенные ниже, делают естественной такую терминологию.

Примерами скалярных полей являются: поле температур в пространстве, занятом нагретым телом; поле электрического потенциала в пространстве вокруг электрического заряда; поле освещенности, создаваемое источником света и др.

Примерами векторных полей являются: гравитационное поле в пространстве, окружающем Землю; поле напряженности вокруг тела, заряженного электричеством; гидродинамическое поле скоростей частиц текущей жидкости и др.

Если функция u(M ) (a(M )) не зависит от времени, то

скалярное (векторное) поле называется стационарным (или установившимся); поле, которое меняется с течением времени (меняется, например, скалярное поле температуры при охлаждении тела), называется нестационарным (или неустановившимся).

Далее будем рассматривать только стационарные поля.

В случае, если V – область трехмерного пространства, то скалярное поле u можно рассматривать как функцию трех переменных x, y, z (координат точки M): u = u(x, y, z) .

Если скалярная функция u(M ) зависит только от двух

переменных, например x и y, то соответствующее скалярное поле u(x, y) называют плоским.

Например, скалярное поле	u =	z	определено во всем
		x − y

пространстве, за исключением точек, лежащих на плоскости y = x .

147

Аналогично, вектор a = a(M ) , определяющий векторное поле,

можно рассматривать как векторную функцию трех скалярных аргументов x, y, z: a = a(x, y, z) .

Вектор a = a(M ) можно представить (разложив его по ортам координатных осей) в виде

a = P(x, y, z)i + Q(x, y, z) j + R(x, y, z)k ,

где P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z) – проекции вектора a(M ) на

оси координат. Если в выбранной системе координат Oxyz одна из проекций вектора a = a(M ) равна нулю, а две другие зависят только

от двух переменных, то векторное поле называется плоским. Например, a = P(x, y)i + Q(x, y) j .

Векторное поле называется однородным, если a(M ) –

постоянный	вектор,	то	есть	P,	Q и	R – постоянные		величины
(например, поле тяжести).								P(x, y, z) ,
Далее	будем считать,			что	скалярные		функции
Q(x, y, z) и	R(x, y, z)	–	непрерывны			вместе	со своими	частными

производными.

В качестве примера векторного поля рассмотрим поле напряженности точечного электрического заряда. В вакууме

электрический заряд

q создает вокруг себя электростатическое поле

напряженности, определяемой формулой

q

E = k

r (M ),

"M ÎVq ,

r3 (M )

где r (M ) − радиус-вектор, соединяющий заряд q с точкой M ,

в которой вычисляется напряженность;

r =

r (M )

− расстояние от

заряда q до точки

M ;

k − коэффициент пропорциональности (в

системе единиц СИ

k =

1

, ε0 = 8,8542×10−12 Ф/м − электрическая

4πε0

постоянная); Vq −

все

пространство,

кроме

точки, в которой

расположен заряд q .

Множеством значений векторного поля напряженности

является множество векторов

, сонаправленных с вектором r при

E

q > 0 и противоположно направленных вектору r

при q < 0 .

20. Cкалярное поле. Рассмотрим скалярное поле, задаваемое

функцией u = u(x, y,

z) . Графически скалярное поле изображается с

помощью поверхностей уровня, в каждой точке которых значение поля постоянно, т.е. поверхность уровня скалярного поля u определяется

148

равенством u(x, y, z) = C = const . Равенство u(x, y) = C = const

определяет линию уровня поля.

Примерами линий уровня являются сети изобар и изотерм; линии одинаковых средних давлений; линии одинаковых средних температур; линии, соединяющие точки одинаковой высоты над уровнем моря и др.

Производная скалярного поля в данной точке M по направлению l характеризует скорость изменения поля в

направлении l , а градиент скалярного поля в точке M характеризуется тем, что производная поля в ней в направлении

градиента максимальна и равна grad u(M ) .

30. Векторное поле. Векторные линии поля. Рассмотрим векторное поле, задаваемое вектором a = a(M ) , который для

краткости также будем называть полем.

Векторной (силовой) линией поля a называется кривая, в

каждой точке М которой касательная совпадает с направлением поля a .

Это понятие для конкретных полей имеет ясный физический смысл. Например, в поле скоростей текущей жидкости векторными линиями будут линии, по которым движутся частицы жидкости (линии тока); для магнитного поля векторными линиями будут линии, выходящие из северного полюса и оканчивающиеся в южном.

Совокупность всех векторных линий поля, проходящих через некоторую замкнутую кривую, называется векторной трубкой.

В каждой точке M поверхности векторной трубки вектор a(M ) лежит

в касательной плоскости к поверхности. Составим дифференциальные уравнения векторных линий поля

a = P(x, y, z)i + Q(x, y, z) j + R(x, y,

	.	r (t) = (x(t); y(t); z(t))
	Если			–
Рис. 1	радиус-вектор		векторной линии,	то
	вектор		r′(t) = ((x′(t); y′(t); z′(t))
	направлен по касательной к ней.
Вектор	dr (t) = r′(t)dt = (x′(t)dt; y′(t)dt; z′(t)dt) = (dx;dy;dz)
(рис. 1) также направлен по касательной к векторной линии PQ в
точке M. Следовательно, векторы a = (P;		Q;	R) и d r (t) = (dx;dy;dz)

149

коллинеарны, а, значит, их координаты пропорциональны, и уравнениями векторных линий будут:

dx		dy		dz
	=		=		.	(1)
P(x, y, z)		Q(x, y, z)		R(x, y, z)

Пример 1. Найти векторные линии поля a = yi - xj - 2k . Решение. Уравнения (1) для заданного поля принимают вид

ìdx

= -

dy

,

dx

dy

dz

ï

x

=

=

или

ï y

í

y

-x

-2

dz

ïdy

=

.

ï

2

î x

Интегрируя первое уравнение системы,							находим	x2 + y2 = C2
(C > 0) . Если	ввести	параметр			t , получим		x = C cost,		y = C sint .
С учетом этого, второе уравнение системы примет вид
			C costdt	=	dz	или dz = 2dt .
					2
			C cost						x = C cost ,
Откуда	z = 2t + C1 . Таким				образом,		уравнения
y = C sin t , z = 2t + C1			являются		параметрическими			уравнениями

векторных линий заданного поля. При фиксированном С получаем уравнение винтовой линии, расположенной на цилиндре радиуса С с

осью, совпадающей с Oz.		Вдоль каждой векторной линии вектор a
имеет постоянную длину		a		= y2 + x2 + 4 = 4 + C2 . □

Пример 2. Найти линии тока плоского потока жидкости, характеризуемого вектором скорости a = xyi - 2x(x -1) j .

	Решение. Дифференциальное				уравнение векторных линий
	в данном случае будет	dx	= -	dy		. Интегрируя это уравнение
		xy		2x(x -1)

с разделяющимися переменными, получим (x -1)2 + y2 = C (C ³ 0) . 2

Векторными линиями (линиями тока) в данном поле будут эллипсы с осями, параллельными осям координат, и с центрами в точке (1; 0). □

§ 2. Поток векторного поля. Дивергенция

10. Поток вектора через поверхность. Пусть имеется векторное поле

150

a= P(x, y, z)i + Q(x, y, z) j + R(x, y, z)k

ив этом поле задана гладкая ориентированная ограниченная поверхность S. Возьмем на поверхности S точку M (x; y; z) и в ней −

вектор нормали n к поверхности. Потоком вектора a через поверхность S называется поверхностный интеграл

П = òò	(a(M), n)ds.	(1)
S
Отметим, что поток П вектора a есть скалярная величина. При
этом, если внешняя нормаль n образует с вектором a		острый угол
((a, n) > 0) , то П > 0 . В этом случае поток вектора a		направлен на

внешнюю сторону поверхности S. Если же указанный выше угол тупой, то П < 0 и поток вектора a направлен на внутреннюю сторону поверхности S. При перемене ориентации поверхности знак потока П меняется на противоположный, вследствие известного свойства поверхностного интеграла второго рода (см. п.5.9.10).

Согласно равенству (5.9.9), поток вектора a = (P; Q;								R) можно
записать в виде
		П = òò(a,	n)ds = òòPdydz + Qdzdx + Rdxdy =
		S		S					(2)
		= òò(P cosα + Qcos β + Rcosγ )ds,
		S
где	cosα, cos β , cosγ			–	направляющие косинусы				вектора
нормали n к S.
В зависимости от способа задания поверхности								S	можно
получить	различные формулы				для	вычисления потока			вектора
a = (P; Q; R)		через S . Считаем, что				точки поверхности			взаимно
однозначно проецируются на плоскость Оху.
Пусть		поверхность		S задана		явно	уравнением	z = f (x, y) ,
(x; y) D , где D − проекция поверхности S							на плоскость Oxy . Так

как в этом случае n = (− fx′;− fy′;1) , то из формулы (2) получаем

П = òò(− fx′P(x, y, f (x, y)) − fy′Q(x, y, f (x, y)) + R(x, y, f (x, y))) dx dy .(3

D

151

	Если поверхность				S	задана неявно уравнением
	F(x, y, z) = 0, Fz′ ¹ 0 , то n =			1	(Fx¢, Fy¢, Fz¢) и, следовательно,
				Fz¢
	П = òò	1	(Fx¢P(x, y, z) + Fy¢Q(x, y, z) + Fz¢R(x, y, z)) dxdy ,
	D	Fz¢

где z определяется из уравнения поверхности F(x, y, z) = 0.

Если же поверхность S задана параметрически в виде x = x(u, v), y = y(u, v), z = z(u, v), (u; v) W , то, в силу определения вектора нормали n к поверхности (см. т.1, § 14.9) и формулы (2),

получаем

æ

D( y, z)

D( z, x)

D(x, y)

ö

П = òòç P(u, v)

+ Q(u, v)

+ R(u, v)

÷du dv =

D(u, v)

D(u, v)

D(u, v)

W è

ø

P

Q

R

= òò

¶x

¶y

¶z

du dv,

¶u

¶u

W

¶u

¶x

¶y

¶z

¶v

¶v

¶v

(4)

где

P(u, v) = P(x(u, v), y(u, v), z(u, v)),

Q(u, v) = Q(x(u, v), y(u, v), z(u, v)), R(u, v) = R(x(u, v), y(u, v), z(u, v)).

Так как поток векторного поля определяется поверхностным интегралом, способы вычисления потока сводятся к известным способам вычисления поверхностных интегралов. В некоторых случаях удобнее использовать цилиндрические и сферические координаты.

Пример 1. Вычислить поток векторного поля a = xi + yj - zk через поверхность S, представляющую собой расположенный в

первом	октанте кусок		плоскости x + y + z = 2 , вырезанный из	нее
плоскостями x = 0		и	y = x (рис. 1а)). За положительную сторону S
принять	верхнюю	ее	сторону (так, что внешняя нормаль n	к

поверхности S образует с направлением оси Oz острый угол).

152

	а)	z			б)	2
		2
						y + z = 2
		r
			+			D1
						2
			2
					y
	1		–
x	2		в)	z	г)	y
				2		2
						x + y = 2
		2x + z = 2				D3
			D2			y=x
							2
		x	1			1
							x

Рис. 1

Решение. При указанном выборе положительной стороны S внешняя нормаль n к ней образует с направлениями всех координатных осей острые углы, в силу чего все направляющие косинусы нормали будут положительными, а значит, при указанной ориентации, все элементы dydz, dxdz, dxdy координатных плоскостей

тоже будут положительны.

Тогда, на основании формулы (2), искомый поток определяется как сумма трех поверхностных интегралов второго рода

П = òòxdydz + òò ydxdz − òòzdxdy.

S S S

Сводя эти поверхностные интегралы к двойным соответственно по областям D1, D2, D3, лежащим в координатных плоскостях Oyz, Oxz, Oxy, (рис. 1б), 1в), 1г)) будем иметь

П = òò(2 − y − z)dydz + òò(2 − x − z)dxdz − òò(2 − x − y)dxdy =

D1	D2	D3
2 2−y	1 2−2x	1 2−x

= òdy ò (2 − y − z)dz + òdx ò (2 − x − z)dz − òdx ò (2 − x − y)dy =

0 0 0 0 0 x

153