Tom_2

Таким образом, вычисление поверхностного интеграла первого рода по поверхности s сведено к вычислению двойного интеграла по области D − проекции поверхности s на плоскость Oxy.

Заметим, что можно записать интеграл по поверхности через двойной интеграл по её проекции на плоскость Oyz, или по проекции на плоскость Oxz.

òò

æ

2

7

ö

Пример 1.

Вычислить

I =

ç x

+

y + z ÷dσ ,

где

σ

– часть

2

è

ø

σ

плоскости

4x + 3y + 2z − 4 = 0 , расположенная

в

первом

октанте

(рис.2).

Решение.

Запишем

уравнение

плоскости

в

виде

z = 2 - 2x -

3

y .

2

¶z

¶z = -

3

Находим

= -2,

. По формуле

¶x

2

¶y

(3) получаем

7

3

æ

2

ö

9

I =

ç x

+

y

+ 2

- 2x -

y÷

1+

4 +

dxdy

2

2

4

òòè

ø

D

Рис.

2

,

где D – треугольник в плоскости Oxy, ограниченный прямыми

x = 0,

y = 0 ,

4x + 3y = 4 .

Переходя

от двойного

интеграла

к

повторному, имеем

4(1−x)

4 1 x

)

29

1

3 ò (x2 - 2x + 2y + 2)dy =

29

1

(

−

I =

òdx

òdx(x2 y - 2xy + y2 + 2y)

3

=

2

2

0

0

0

0

1

2

1 æ

13

20

10

2

æ x4

13x3

10x2

10x

ö

29

3

2

ö

29

= -

òç

x -

x

+

x -

÷

dx

= -

ç

-

+

-

÷

=

3

3

3

3

3

ç

4

9

3

3

÷

0 è

ø

è

ø

0

43

=

29

. □

54

I = òòz(x +

)dσ ,

Пример 2.

Вычислить

1- y2

где

σ

–

σ

часть цилиндрической поверхности x = 1- y2 , заключенной между плоскостями z = 0, z = 2 (рис. 3).

134

Решение. Для вычисления данного интеграла спроектируем

поверхность

σ

на

плоскость

Oyz.

В

этом

случае

формула

(3)

принимает вид

òò f (x, y, z)ds =

σ

=

òò

f (x( y, z), y, z)

1+ æ ¶x( y, z)

ö2 + æ ¶x( y, z) ö2 dydz, где

D

–

ç

¶y

÷

ç

¶z

÷

1

D1

è

ø

è

ø

проекция

поверхности

s

на

z

плоскость Oyz.

A1

B1

Так

как

для

данной

¶x

y

¶x

поверхности

= -

,

= 0 ,

¶y

1- y

2

¶z

то

получаем

A

B

y

I = òòz(

2

2

) 1+

y

2

1

x

1

1- y

+

1- y

1- y2 dydz

D1

D1

Рис. 3

. В

последней

формуле

есть

прямоугольник

ABB1A1

(рис. 3).

Расставляя

пределы

в

повторном

интеграле,

имеем

1

2

1

2

= 4y 1−1 = 8 . □

I = òò2zdydz = ò dyò2zdz = ò dyz2

D1

−1

0

−1

0

Пусть функции

(u;v) Î D′ ,

x = x(u,v), y = y(u,v),

(4)

где

x(u,v), y(u,v) непрерывны в области

D′ вместе со своими

частными производными, определяют взаимно однозначное

соответствие между множествами D и

D′ ,

и якобиан

I(u,v) ¹ 0

на

D′ .

При помощи функций (4) уравнение z = ϕ(x, y) поверхности σ

преобразуется к виду

z = ϕ (x(u,v), y(u,v)) = z(u,v)

и можно говорить,

что

поверхность

σ

определяется

векторной

функцией

r(M ) = (x(u,v); y(u,v); z(u,v)) .

Применяя к двойному интегралу из (3) правило (4.6.3) замены

переменных, получим

135

òò f (x, y,ϕ(x, y))	æ	¶ϕ ö2	æ	¶ϕ ö2
	1+ ç	÷	+ ç	÷	dxdy =
D	è	¶x ø	è	¶у ø
= òò f (x(u,v), y(u,v), z(u,v))´

D′

	æ D(y, z)		ö2			æ D(z, x)
	ç		÷			ç
´		D(u,v)
	1+ ç		÷			+ ç D(u,v)			D(x, y)
	ç			D(x, y) ÷		ç
	ç				÷	ç			D(u,v)
	è			D(u,v) ø		è
откуда следует, что

òò f (x, y, z)dσ = òò f (x(u,v), y(u,v), z(u,v)) ru¢ ´
σ	D′

ö2
÷		D(x, y)
÷
		D(u,v)
÷
÷
ø

rv¢ dudv =

= òò f (x(u,v), y(u,v), z(u,v))EG - F 2 dudv,

D′

где

ru¢ ´ rv¢ 2 = EG - F 2 ,

dudv,

(5)

E =

æ ¶x

ö2

æ

¶y ö2

æ

¶z ö2

ç

÷

+

ç

÷

+ ç

÷ ,

è ¶u

ø

è

¶u ø

è

¶u ø

G =

æ ¶x

ö2

æ

¶y ö2

æ

¶z ö2

ç

÷

+ ç

÷ + ç

÷

,

è ¶v

ø

è

¶v ø

è

¶v ø

F =

¶x

×

¶x

+

¶y

×

¶y

+

¶z

×

¶z

¶v

¶v

¶u

¶v

¶u

¶u

и с помощью символа

ru′ ´ rv′

обозначено векторное

произведение векторов

ru¢

и

rv¢

.

§ 8. Односторонние и двусторонние поверхности.

Ориентация поверхности

Для определения понятия стороны поверхности σ возьмем произвольную точку M σ и зафиксируем в ней направление вектора нормали n к данной поверхности. Через точку M проведем замкнутый контур, не имеющий общих точек с границей поверхности. Будем перемещать точку M непрерывно по этому контуру так, чтобы вектор n оставался нормальным к σ (рис. 1).

136

Рис. 2

z

M

σ

y

x

Рис. 1

В исходное положение точка M вернется либо с тем же направлением нормали, либо с противоположным. Если обход по любому замкнутому контуру, лежащему на поверхности σ и не пересекающему ее границы, при возвращении в исходную точку не меняет направления нормали к поверхности, то поверхность называется двусторонней (в

противном случае – односторонней).

Примерами двусторонних поверхностей служат плоскость, сфера, эллипсоид, однополостный гиперболоид и др. Примером односторонней поверхности является лист Мёбиуса. Его можно получить, если у прямоугольника ABCD (рис. 2) склеить отрезки AB и CD, повернув при этом DC на 180°. Если у прямоугольника ABCD

			склеить	отрезки AB	и CD, то
	B	C получится		боковая	поверхность
	A	D	цилиндра. При обходе листа Мёбиуса
			по его средней линии направление
	BD		нормали к нему меняется на
	AC		противоположное.

Для двусторонней поверхности совокупность всех точек с выбранными в них направлениями нормали называется стороной

поверхности, а выбор определенной ее стороны – ориентацией поверхности. Двустороннюю поверхность называют также

ориентируемой, а одностороннюю – неориентируемой.

Если поверхность σ имеет границу Г, то определение стороны поверхности приводит к определению направления обхода по Г. Пусть σ – ориентированная (с выбранной стороной) поверхность, ограниченная контуром Г, не имеющим точек

самопересечения.		Будем	считать
положительным		то направление	обхода
контура	Г,	при	котором

поверхность остается слева по отношению к точке, совершающей обход (рис.3).

Рис. 3

137

Противоположное направление будем считать отрицательным.

§ 9. Поверхностный интеграл второго рода

10. Определение и свойства поверхностного интеграла второго рода. Пусть в пространственной декартовой системе координат задана гладкая ориентированная поверхность σ и на ней

функция R(M ) = R(x, y, z) точки M. Зафиксируем направление

вектора нормали в точках поверхности. Если вектор нормали составляет острый угол с осью Oz, то говорят, что выбрана верхняя сторона поверхности σ , если тупой – то нижняя сторона поверхности.

Разобьем поверхность σ кусочно гладкими кривыми на части

σi , не имеющие общих внутренних точек. Обозначим через				Si
проекцию части σi	на плоскость Oxy.		Выберем на каждой части	Si
точку Mi (xi ; yi ; zi )	и составим сумму
åR(Mi )DSi = åR(xi , yi , zi )DSi ,				(1)
	i	i
где DSi – площадь части		Si ,	взятая со знаком плюс, если

выбрана верхняя сторона поверхности σ , и со знаком минус, если выбрана нижняя сторона поверхности σ . Сумма (1) называется

интегральной суммой для функции R(M ) = R(x, y, z) . Если

интегральная сумма (1) при стремлении к нулю максимального из диаметров частей σi имеет конечный предел I, то этот предел называется поверхностным интегралом второго рода от функции

R(M ) = R(x, y, z) по выбранной стороне поверхности σ и

обозначается

òòR(M )dxdy = òòR(x, y, z)dxdy .

σσ

Отметим, что поверхностный интеграл второго рода зависит от выбора стороны поверхности. При изменении ориентации вектора нормали на противоположное поверхностный интеграл второго рода меняет знак на противоположный. Кроме этого, поверхностный интеграл второго рода обладает свойствами, аналогичными свойствам поверхностного интеграла первого рода.

Аналогично определяется поверхностный интеграл второго рода

от функции P(x, y, z)	éQ(x, y, z)ù		по ориентируемой поверхности σ
	ë	û

по переменным y, z [z, x] :

138

òòP(x, y, z)dydz

σ

é

êêòòQ( ë σ

ù

x, y, z)dzdxú .

ú

û

Сумму	òòR(x, y, z)dxdy + òòP(x, y, z)dydz + òòQ(x, y, z)dzdx
	σ	σ	σ

называют поверхностным интегралом второго рода общего вида и

обозначают

òòR(x, y, z) dxdy + P(x, y, z)dydz + Q(x, y, z)dzdx .

σ

20. Вычисление поверхностного интеграла второго рода.

Пусть функция R(x, y, z) непрерывна во всех точках гладкой поверхности σ , заданной уравнением z = z(x, y) , и область D –

проекция поверхности σ на плоскость Oxy.

Выберем ту сторону поверхности σ , где ее вектор нормали

образует с осью Oz острый угол.		Тогда DSi > 0 для всех i.	Так как
zi = z(xi , yi ) , то интегральная сумма (1) примет вид
åR(Mi )DSi	= åR(xi , yi , z(xi , yi ))DSi .		(2)
i	i
Правая часть равенства (2)		представляет собой интегральную

сумму непрерывной на области D функции R(x, y, z(x, y)) . Заметим, что если максимальный из диаметров частей σi устремить к нулю, то максимальный из диаметров частей Si тоже будет стремиться к нулю. Переходя в равенстве (2) к пределу при стремлении к нулю максимального из диаметров частей σi , получаем формулу

òòR(x, y, z)dxdy = òòR(x, y, z(x, y))dxdy ,		(3)
σ	D
которая выражает поверхностный интеграл второго рода по
переменным x, y	через двойной. Если выбрать нижнюю	сторону

данной поверхности σ , то перед интегралом в правой части (3)

следует поставить знак минус.
Аналогично устанавливается справедливость формул
òòP(x, y, z)dydz = òòP(x( y, z), y, z)dydz ,		(4)
σ	D1

139

òòQ(x, y, z)dzdx = òòQ(x, y(x, z), z)dzdx ,		(5)
σ	D2

где D1 и D2 – проекции поверхности σ на плоскости Oyz и Oxz,

соответственно.

Для вычисления поверхностного интеграла общего вида используются те же формулы (3)–(5), если поверхность σ однозначно

			проектируется		на	все	три
z			координатные плоскости. В более
			сложных	случаях		поверхность
			интегрирования		разбивается на
1			части, обладающие			указанными
			свойствами, а интеграл – на сумму
			интегралов по этим частям.
0	1	y	Пример 1.			Вычислить
			интеграл òò	(4xy + 3z2 )dxdy , где σ −
x 1			σ	сторона		поверхности
			верхняя
	Рис. 1		z = 1- x2 ,	заключенной			между

плоскостями y = 0, y =1 (рис. 1).

Решение. Проекцией D данной поверхности на плоскость Oxy является прямоугольник {(x, y) -1£ x £1, 0 £ y £1} . По формуле (3) находим

æ

2

ö

1- x2 )

òò(4xy + 3z2 )dxdy = òòç 4xy + 3(

÷dxdy

=

σ

D è

ø

= ò1 dxò1 (4xy + 3 - 3x2 )dy = ò1 dx(2xy2 + 3y - 3x2 y)

1

=

−1

0

−1

0

= ò1 (2x + 3 - 3x2 )dx = (x2 + 3x - x3 )

1−1 = 4 . □

Пример 2.

−1

I = òòzdxdy + xdydz + dzdx , где σ –

Вычислить

σ

верхняя сторона

плоскости

2x − 3y + 4z = 6 ,

лежащей в

четвертом

октанте.

Решение. На рис.2 изображена заданная часть плоскости. Знак скалярного произведения векторов совпадает со знаком косинуса угла между этими векторами. Вычислив скалярные произведения вектора

n = (2;−3;4) на каждый из направляющих векторов i = (1;0;0),

140

j = (0;1;0), k = (0;0;1), получаем, что вектор нормали n ,

соответствующий указанной стороне поверхности, образует с осью Oy тупой угол, а с осями Ox, Oz – острые. Следовательно, формулы (3),

(5) нужно использовать в записанной форме, а в формуле (4) правую часть взять со знаком минус. Получаем

z

n

3/2

D2

0

–2

y

D

3

x

Рис. 2

æ 3

-

1

x

+

3

ö

æ

3

+

3

ö

I = òòç

2

4

y ÷dxdy - òòç

2

y - 2z ÷dydz + òòdzdx ,

D

è 2

ø

D

è

ø

D

1

2

где D, D1, D2 есть проекции поверхности интегрирования на плоскости Oxy, Oyz, Oxz соответственно. Видно, что

D = {(x; y) x ³ 0, y £ 0, 2x - 3y £ 6} , D1 = {(x; y) y £ 0, z ³ 0, - 3y + 4z £ 6} ,

D2 = {(x; y) x ³ 0, z ³ 0, x + 2z £ 3} .

Теперь имеем

141

3

2

x−2

0

3

y+

3

3

−

x

+

3

3

æ 3 1

3 ö

4

2 æ

3

ö

2 2

ò

ò

ò

ò

ò

è 2

2

4

ø

è

2

ø

ò

I =

0

dx

0

ç

-

x

+

y

÷dy -

−2

dy

0

ç

3 +

y

-

2z

÷dz +

0

dx

0

dz =

2

3

3

x

3

3

æ

3

1

3

2

ö

3 x−2

0

æ

3

2

ö

4 y+

2

3

−2+ 2

=

ò

dx

ç

y

-

xy +

y

÷

-

ò

dy

ç

3z

+

yz - z

÷

+

ò

dxz

=

2

2

8

2

è

ø

è

ø

0

0

−2

0

0

0

3

æ

1

2

3

ö

0 æ

9

2

9

9

ö

3

æ

x

3 ö

=

ò

ç

-

x

+ x -

÷dx -

ò

ç

y

+

y +

÷dy +

ò

ç

-

+

÷dx =

6

2

16

2

4

2

2

è

ø

è

ø

è

ø

0

−2

0

æ

1

3

1

2

3

ö

3

æ

3

3

9

2

9

ö

0

æ

1

2

3

ö

3

3

=

ç-

x

+

x

-

x÷

- ç

y

+

y

+

y

÷

+

ç

-

x

+

x

÷

= 3

.

□

è

18

2

2

ø

0

è16

4

4

ø

−2

è

4

2

ø

0

4

Связь между интегралами первого и второго родов определяется

соотношениями

òòR(x, y, z)dxdy = òòR(x, y, z)cosγ dσ ,

(6)

σ

σ

òòQ(x, y, z)dzdx = òòQ(x, y, z)cos β dσ ,

(7)

σ

σ

òòP(x, y, z)dydz = òòP(x, y, z)cosαdσ ,

(8)

σ

σ

где

cosα, cos β, cosγ

–

направляющие

косинусы

нормали

ориентированной поверхности σ в произвольной ее точке.

Суммируя (6), (7) и (8), получаем формулу, выражающую

поверхностный интеграл второго рода общего вида по выбранной

стороне поверхности через поверхностный интеграл первого рода:

òòPdydz + Qdzdx + Rdxdy = òò(P cosα + Qcos β + Rcosγ )dσ .

(9)

σ

σ

Если выбрать другую сторону поверхности, то направляющие

косинусы нормали

cosα, cos β, cosγ

изменят знак, и, следовательно,

поверхностный интеграл второго рода изменит знак.

Пример 3. Вычислить

òòxz2 cosγ ds , где σ – внешняя сторона

σ

сферы

x2 + y2 + z2 = R2 , расположенной над плоскостью Oxy,

а γ

–

острый угол между нормалью к поверхности σ и осью Oz.

Решение. По формуле (6) получим

142

D(u,v)

òòxz2 cosγ dσ = òòxz2dxdy .

σσ

Проекцией D данной поверхности на плоскость Oxy является к р у г x2 + y2 £ R2 . П о ф о р м у л е ( 3 ) и м е е м

òòxz2dxdy = òòx(R2 - x2 - y2 )dxdy . Переходя в двойном интеграле к

σD

	п о л я р н ы м к о о р д и н а т а м ,										н а х о д и м
				2π				R			(1- ρ2 )d ρ =
	òò x(R2 - x2 - y2 )dxdy = ò cosϕdϕ ò ρ2
	D			0					0
	2π	æ	1	ρ3		1	ρ5	ö		R
	= ò
		cosϕdϕ ç			-			÷		= 0. □
			3			5
	0	è						ø		0

Если	гладкая	поверхность σ задана	своим векторным
представлением		r (M ) = (x(u,v); y(u,v); z(u,v)),	(u;v) Î D¢ ,	где
функции	x(u,v), y(u,v), z(u,v) дифференцируемы		в области	D′ , то

верхнюю сторону поверхности обычно ориентируют с помощью

´

вектора n =

ru¢

rv¢

. Тогда косинусы

углов вектора n

с

осями

ru¢ ´ rv¢

Ox, Oy, Oz выражаются равенствами

cosα =

1

D(y, z)

, cos β =

1

D(z, x)

, cosγ =

1

D(x, y)

ru¢ ´ rv¢

ru¢ ´ rv¢

D(u,v)

ru¢ ´ rv¢

D(u,v)

D(u,v)

.

Используя формулы (9), (7.5), получаем выражение поверхностного интеграла через двойной

òòP(x, y, z)dydz + Q(x, y, z)dzdx + R(x, y, z)dxdy =

σ

= òò(P1 (u,v) + Q1 (u,v) + R1 (u,v))dudv ,

D′

где

P1(u,v) = P(x(u,v), y(u,v), z(u,v)) D(y, z) ,

D(u,v)

Q1(u,v) = Q(x(u,v), y(u,v), z(u,v)) D(z, x) ,

D(u,v)

R1(u,v) = R(x(u,v), y(u,v), z(u,v)) D(x, y) .

143