Tom_2

потенциальном поле не зависит от пути интегрирования, то с учетом

(

5

.

6

.

4

)

B

B

BA = u(B) − u(A) .

òPdx + Qdy + Rdz = ò Pdx + Qdy + Rdz = òdu = u

L

A

A

Пример 2. Вычислить линейный интеграл по

пути от

точки

M1(–1;0;3) до точки M2(2;–1;2), если a = xi

+ yj + zk .

Решение. Проверим потенциальность векторного поля. Для

этого найдем

i

j

k

rot a =

∂

∂

∂

= (0 − 0)

− (0 − 0)

+ (0 − 0)

= 0 ,

i

j

k

∂x

∂y

∂z

x

y

z

то есть поле потенциальное. Тогда

M2

x2 + y2 + z

2

M2

1

ò xdx + ydy + zdz =

= −

.□

2

2

M1

M1

Пример 3. Найти потенциал потенциального поля a = 2xyzi + x2 zj + x2 yk .

Решение. По условию заданное поле – потенциальное. Линейный интеграл в этом поле не зависит от пути интегрирования, а, значит, подынтегральное выражение можно представить в виде дифференциала некоторой функции. Имеем

ò2xyzdx + x2 zdy + x2 ydz = òd (x2 yz)= x2 yz + C ,

L L

где L − произвольная ориентированная гладкая кривая. □

§ 5. Операторы Гамильтона и Лапласа

Основными дифференциальными операциями (действиями) над скалярным u = u(x, y, z) и векторным a = (P;Q; R) полями являются gradu , div a , rot a . Действия нахождения градиента, дивергенции и

ротора называются векторными операциями первого порядка (в них участвуют только первые производные).

Эти операции удобно записывать с помощью, так называемого,

оператора Гамильтона (оператора набла)

174

Ñ = ¶¶x i + ¶¶y j + ¶¶z k .

Оператор набла не является вектором в классическом понимании этого слова, а приобретает определенный смысл лишь в комбинации со скалярными или векторными функциями. Символическое «умножение» вектора Ñ на скаляр u или вектор a производится по правилам векторной алгебры, а «умножение»

символов ¶¶x , ¶¶y , ¶¶z на величины u, P, Q, R понимают как

вычисление соответствующей частной производной от этих величин. Применяя оператор Гамильтона, получим дифференциальные

операции первого порядка:

æ

¶

¶

¶

ö

¶u

¶u

¶u

1. Ñu =

ç

i +

j

+

k ÷

×u =

i +

j +

k = gradu , (1)

¶x

¶y

¶z

¶x

¶y

¶z

è

ø

то есть

произведение

оператора

Ñ на

скалярную функцию

u(x, y, z) дает градиент этой функции;

2.

æ

¶

¶

¶

ö

¶Q

(Ñ,a ) = ç

i +

j +

k ÷×(Pi + Qj + Rk ) = ¶P +

+ ¶R

= diva , (2)

¶x

¶y

¶z

¶y

è

ø

¶x

¶z

то есть

скалярное

произведение

оператора

Ñ

на

векторную

дает дивергенцию этой функции;

функцию a = Pi

+ Qj

+ Rk

i

j

k

3. [Ñ,

a ] =

¶

¶

¶

= rot

a ,

(3)

¶x

¶y ¶z

P

Q

R

то есть

векторное

произведение

оператора

Ñ

на

векторную

функцию a = Pi + Qj + Rk дает ротор этой функции.

Оператор Гамильтона применяется для записи некоторых других операций и для вывода различных формул в теории поля. При действиях с ним надо пользоваться правилами векторной алгебры и правилами дифференцирования. В частности, при использовании оператора Ñ нужно учитывать следующие его свойства:

а) оператор Ñ линеен; б) действие оператора Ñ на произведение двух функций

(векторных или скалярных) осуществляется аналогично правилу дифференцирования произведения двух сомножителей;

175

в) оператор Ñ действует на все функции, стоящие после него, и не действует на функции, записанные перед ним.

	Пример 1. Показать, что rot (u a) = [gradu, a] + u rot a , если u –
скалярная функция, а a – векторная.
	Решение. В символической записи, на основании формулы (3),
имеем		rot (u	a) = [Ñ, u	a].	Так как		оператор Ñ	стоит	перед
произведением			функций	u и	a , то, используя свойство действия
оператора на произведение функций, получаем
					↓		↓
			[Ñ, ua] = [Ñ, u a] +[Ñ, u a],
	где символ ¯ указывает, на какой множитель действует
о	п	е	р	а	т	о	р	Ñ	.
	В		↓		оператор	Ñ действует		только	на u,
		выражении [Ñ, u a]
поэтому				↓	↓
			[Ñ, u a] = [Ñ u, a] = [Ñu, a] .

Здесь учтено, что u является скалярной величиной, а значит, ее можно поставить в любом месте. Однако она снабжена символом ¯, поэтому u нельзя выносить за знак оператора.

↓

Рассматривая выражение [Ñ, u a], скалярную величину u можно

вынести за знак набла и (как скаляр) за знак векторного произведения, что дает

↓

↓

[Ñ, u a] = u[Ñ, a] = u[Ñ, a] .

Таким образом, [Ñ,u

a] = [Ñu,

a] + u[Ñ,

a]

или (см.

формулы

(1), (3))

a) = [grad

u, a] + u

rot

(u

rot

a . □

Пример 2. С помощью оператора набла доказать, что

é

ù

div

= (b,

rot

a )- ( a,

rot b ).

ëa,

b û

Решение. Учитывая формулу (2) и то, что оператор Ñ обладает

свойством б), имеем

(

æ

↓

ö

æ

↓ ö

div éa, b

ù

=

Ñ, éa, b ù

= ç

Ñ,[a, b ]÷ + ç

Ñ,[a, b ]

÷ .

ë

û

ë

û)

ç

÷

ç

÷

è

ø

è

ø

Слагаемые в правой части этого равенства представляют собой смешанное произведение трех векторов Ñ, a, и b . Воспользовавшись свойством смешанного произведения, получим

176

↓

↓

↓

(Ñ,[a,

]) = -(Ñ,[

,a]) = (

,[Ñ,a]) = (

,[Ñ,a]) = (

,rot a ) ;

b

b

b

b

b

↓

↓

(Ñ,[a,b ]) = -(a,[Ñ,b ]) = -(a, ëéÑ,

ûù)= -(a,rot

) .

b

b

Таким образом,

é

ù

div ëa,b û = (b,rot a )- (a,rot b ) . □

Пример 3. Найти rot [a, c ] , где c − постоянный вектор.

Решение. Так как, по известной формуле векторной алгебры,

é

ù

↓

то, учитывая соотношение [Ñ,[a,с ]] = 0 ,

ëa,[b,с ]û = (a, c )b - (a, b ) c,

имеем:

↓

↓

↓

↓

rot[a, c ] = [Ñ,[a,с ]] = [Ñ,[a, c ]] +[Ñ,[a, c ]] = (Ñ, c )a- (Ñ, a)с.

↓

↓

а это есть производная вектора

a по

Но (Ñ, с ) a = (c ,Ñ) a ,

направлению вектора

c . Далее,

(Ñ, a) с = с (Ñ,a) = c div a.

Таким

образом,

rot [a, c ] = (c, Ñ) a - c div a. □

Упражнение 1. Используя оператор набла доказать следующие равенства:

1)div (ua) = u div a + (grad u,a);

2)rot (ua) = u rot a -[a,grad u];

3)(u grad v, rot(u grad v)) = 0 ,

где a − дифференцируемая векторная функция, u и v − дифференцируемые скалярные функции.

20. Векторные дифференциальные операции второго порядка. Оператор Лапласа. После применения оператора Гамильтона к скалярному или векторному полю получается новое поле, к которому можно снова применить этот оператор. В результате получаются дифференциальные операции второго порядка. Нетрудно убедиться, что имеется лишь пять дифференциальных операций

второго	порядка:	div grad u, rot grad u,
grad div a, div rot a,	rot rot a.

Запишем явные выражения для дифференциальных операций второго порядка, используя оператор Гамильтона:

1.

divgradu = (Ñ, Ñu) =	¶ æ		¶u ö	+
		ç	÷
	¶x è		¶x ø

¶ æ ¶u ö + ¶y çè ¶y ÷ø

¶ æ		¶u ö	=	¶2u	+	¶2u	+	¶2u		.
	ç	÷		¶x2		¶y2		¶z	2
¶z è		¶z ø

177

Правая часть этого равенства называется оператором Лапласа

	скалярной функции u и обозначается		u . Таким образом
	divgradu = Du =	¶2u	+	¶2u	+	¶2u		.	(4)
		¶x2		¶y2		¶z	2

Дифференциальное уравнение Лапласа Du = 0 играет важную роль в различных разделах математической физики. Решениями уравнения Лапласа являются, так называемые, гармонические функции.

	Оператор Лапласа	D символически					можно получить как
	скалярный квадрат оператора Ñ :
	Ñ2 =	(Ñ, Ñ) =	¶2	+	¶2	+	¶2	= D.
			¶x2		¶y2		¶z2

2. rot gradu = [Ñ, Ñu] = 0 (см. формулу (4.2)).

Это означает, что поле градиента есть поле безвихревое. 3.

grad div a = Ñ(Ñ,a) = ¶¶x (div a) × i + ¶¶y (div a) × j + ¶¶z (div a) × k =

æ

¶2P

¶2Q

¶

2R ö

æ

¶2P

¶2Q

¶2R ö

æ

¶2P

¶2Q

¶2R

=

ç

2

+

+

÷

× i + ç

+

2

+

÷× j + ç

+

+

2

ç

¶x

÷

ç

¶x¶y

¶y

÷

ç

¶x¶z ¶y¶z

¶z

è

¶y¶x ¶z¶x ø

è

¶y¶z ø

è

4.

div rot a = (Ñ,[Ñ, a]) =

=

¶

æ

¶R

-

¶Q ö

+

¶ æ ¶P

-

¶R ö

+

¶ æ

¶Q

-

¶P ö

=

ç

÷

ç

÷

ç

÷

¶x

¶y

¶z

¶x

è

¶z ø

¶y è

¶x ø

¶z è

¶y ø

ö

÷× k .

÷

ø

= ¶2R - ¶2Q + ¶2P - ¶2R + ¶2Q - ¶2P º 0. ¶x¶y ¶x¶z ¶y¶z ¶y¶x ¶z¶x ¶z¶y

Это означает, что поле вихря является соленоидальным полем. 5. rot rot a = [Ñ,[Ñ,a]] = Ñ(Ñ,a) - (Ñ,Ñ)a = grad div a - Da, (5)

где Da = DP i + DQ j + DR k − векторная величина, полученная

в результате применения оператора Лапласа к вектору a. Упражнение 2. Доказать формулу (5) с помощью перехода к

координатам: a = Pi + Qj + Rk .

§6. Дифференциальные операции векторного анализа

вкриволинейных координатах

178

10. Криволинейные ортогональные координаты в пространстве. Прямоугольная декартова система координат в пространстве и на плоскости чаще всего применяется при решении различных задач физики и техники. Тем не менее, многие из этих задач проще решаются в других ортогональных пространственных системах координат

(криволинейных), из которых наиболее употребительны

цилиндрическая и сферическая системы координат.

Будем трактовать переменные x, y, z как прямоугольные

декартовы координаты точек пространства R3 . Свяжем систему координат Oxyz с системой криволинейных координат U1U2U3 .

Пусть между прямоугольными координатами x, y, z и криволинейными u1, u2 , u3 установлено соответствие

x = x(u1, u2 , u3 ), y = y(u1, u2 , u3 ), z = z(u1, u2 , u3 ) ,	(1)
u1 = u1(x, y, z), u2 = u2 (x, y, z), u3 = u3 (x, y, z) .	(2)

При этом предполагается, что функции x, y, z непрерывны вместе со своими частными производными до второго порядка включительно, и разным тройкам чисел ( u1; u2; u3 ) из области

изменения	этих переменных	отвечают различные тройки	чисел
( x; y; z ) из	соответствующей	области. При этих условиях	каждой

тройке чисел ( u1; u2; u3 ) будет отвечать в пространстве точка M с координатами ( x; y; z ), причем это соответствие будет и взаимно однозначным, ибо, обратно, каждой точке M (x; y; z) пространства будет отвечать определенная тройка чисел ( u1; u2; u3 ).

В силу сказанного, переменные ( u1; u2; u3 ) можно принять в

качестве координат точек пространства, причем, если, по крайней мере, одно из уравнений (1) нелинейно, то эти переменные называются криволинейными координатами.

Уравнения u1 = const, u2 = const, u3 = const представляют собой

уравнения координатных поверхностей криволинейной системы в прямоугольной системе координат. Каждая пара координатных поверхностей, проходящих через фиксированную точку, образует в пересечении координатную линию; всего имеем три системы координатных линий (рис.1).

179

Вдоль каждой координатной линии изменяется только одна из трех координат u1, u2 , u3.

Параметрические уравнения координатных линий получаются из уравнений (1), если в них зафиксировать какие-нибудь две из трех криволинейных

координат u1, u2 , u3 .

Ограничимся простейшим случаем криволинейной ортогональной системы координат, т.е. такой, которая характеризуется тем условием, что любые две координатные линии, проходящие через данную точку M пространства,

Рис. 1 пересекаются в ней под прямым углом (рис.1, здесь e1, e2 , e3 − орты, касательные, соответственно, к координатным линиям u1, u2 , u3 в

данной точке M ).

Из (1) получаем координаты вектора, касательного к данной

координатной линии uk , k =1, 2, 3,

проходящей через данную точку

M , в

виде

¶x

,

¶y

,

¶z

, k =1, 2, 3,

а

потому

условие

¶uk

¶uk

¶uk

ортогональности

рассматриваемой

криволинейной

координатной

системы будет иметь вид:

¶x

¶x

+

¶y

¶y

+

¶z

¶z

= 0 (k ¹ j).

(3)

¶uk ¶u j

¶uk ¶u j

¶uk ¶u j

Дифференциал длины дуги в криволинейных координатах

будет равен

ö2 +

dl2 = (dx2 + dy2 + dz

2 ) = æ

¶x

du +

¶x

du

+

¶x

du

¶u

¶u

ç

1

¶u

2

2

3

÷

è

1

3

ø

æ

¶y

¶y

¶y

ö2

æ

¶z

¶z

¶z

ö2

+ç

du1 +

du2

+

du3

÷ + ç

du1

+

du2

+

du3

÷ ,

¶u

¶u

2

¶u

3

¶u

¶u

2

¶u

è

1

ø

è

1

3

ø

откуда, раскрывая скобки и учитывая условие ортогональности

(3), получаем

dl2 = H 2du2 + H 2du2

+ H 2du2 ,

(4)

1

1

2

2

3

3

где

180

	æ	ö2		æ	ö2		æ	ö2
Hk2	= ç	¶x	÷	+ ç	¶y	÷	+ ç	¶z	÷ , k =1, 2,3.	(5)
	è	¶uk ø		è	¶uk ø		è	¶uk ø
Коэффициенты Hk				называются координатными параметрами

Ламе.

Так как на каждой координатной линии uk изменяется только

одна из трех криволинейных координат, то из (4), учитывая (5), получаем дифференциалы дуг координатных линий в виде:

			dlk = Hk duk ,	k =1, 2, 3,		(6)
			в силу чего дифференциал объема
		в	ортогональных		криволинейных
		координатах будет равен
			dV = dl1 dl2 dl3 = H1H2H3du1du2du3
					.	(7)
			Пример 1. Найти дифференциал
		объема в цилиндрической				системе
		координат.
			Решение. Положение точки M
		в	пространстве	в	этой	системе
	Рис. 2	координат задается ее аппликатой z и
полярными координатами (ρ;ϕ)			проекции N точки M на плоскость

Oxy (рис. 2). Уравнения (1), выражающие декартовы прямоугольные координаты через криволинейные координаты, в этом случае будут:

x = ρ cosϕ, y = ρ sinϕ, z = z.

(8)

Вычислим

параметры Ламе для

цилиндрической системы

координат

æ

ö2

æ

¶y

ö2

æ

ö2

Hρ =

ç

¶x

÷

+

ç

÷

+

ç

¶z

÷

=

cos2 ϕ + sin2 ϕ =1,

¶ρ

è

¶ρ ø

è

ø

è

¶ρ ø

æ

¶x ö2

æ

¶y

ö2

æ

¶z

ö2

Hϕ =

+

+

=

ρ2 sin2 ϕ + ρ2 cos2 ϕ = ρ,

ç

÷

ç

÷

ç

÷

¶ϕ

¶ϕ

è

¶ϕ ø

è

ø

è

ø

Hz =

æ

¶x ö2

æ ¶y ö2

æ

¶z ö2

ç ÷ + ç ÷

+ ç ÷ = 1 =1.

è

¶z ø

è ¶z ø

è

¶z ø

На основании (6) получаем дифференциал длин дуг

координатных

линий

цилиндрической системы

координат:

181

dlρ = d ρ, dlϕ = ρdϕ,

dlz

= dz , и, в силу (7), находим дифференциал

объема в этой системе координат в виде: dV = ρd ρdϕdz . □

Пример 2. Найти

дифференциал

объема

в

сферической

системе

координат.

Р е ше н и е .

В э т о й с и с т е м е

координат положение точки M

о п р е д е л я е т с я :

1) длиной ρ радиус-вектора

OM

этой точки;

θ ,

2)

углом

образованным

Рис. 3

вектором OM с осью Oz ;

3) углом ϕ , образованным полуплоскостью, выходящей из оси

Oz и п р о х о д я щ е й ч е р е з т о ч к у

M ,

с плоскостью Oxy (рис. 3). Уравнения (1) в этом случае принимают

в

и

д

x = ρ sinθ cosϕ, y = ρ sinθ sinϕ,

z = ρ cosθ .

(9)

Подсчитаем параметры Ламе:

æ

¶x

ö2

æ

¶y

ö2

æ

¶z

ö2

Hρ =

sin2

θ cos2 ϕ + sin2 θ sin2 ϕ + cos2 θ =1,

ç

÷

+ ç

÷

+ ç

÷ =

¶ρ

¶ρ

¶ρ

è

ø

è

ø

è

ø

æ

¶x

ö2 +

æ

¶y ö2

+æ

¶z ö2

H

=

=

ρ2 cos2 θ cos2 ϕ + ρ2 cos2 θ sin2 ϕ + ρ2 sin2 θ = ρ,

ç

ç

÷

÷

θ

÷

ç

¶θ

(10)

è ¶θ ø

è

¶θ ø

è

ø

æ

¶x

ö2

æ

¶y

ö2

æ

¶z

ö2

Hϕ

ρ2 sin2 θ sin2 ϕ + ρ2 sin2 θ cos2 ϕ = ρ sinθ.

=

ç

÷

+ ç

÷

+ ç

÷

=

¶ϕ

¶ϕ

è

ø

è

¶ϕ ø

è

ø

Следовательно, дифференциалы длин дуг координатных линий

сферической

системы

координат

будут:

dlρ = d ρ, dlθ

= ρdθ ,

dl

= ρ sinθdϕ , а дифференциал объема dV = ρ2 sinθ d ρdθ dϕ. □

ϕ

20.

Градиент

в

ортогональных

криволинейных

координатах.

Вычислим

градиент

скалярной

функции

f = f (u1,u2 ,u3 ) .

Начнем

с

рассмотрения

частного

случая,

когда

f = uk , k =1, 2, 3.

Поверхностями

уровня

в

таком скалярном

поле

будут служить координатные поверхности uk

= const , а потому вектор

182

grad uk , направленный по нормали к поверхности уровня, будет

параллелен соответствующему орту ek .

В силу (4), производная функция uk

в направлении орта

ek

будет равна

¶uk

=

¶uk

=

1

.

С

другой

стороны,

известно, что

¶e

H

¶l

k

k

k

производная функции

f

f = f (u1,u2 ,u3 )

по некоторому направлению

равна проекции

grad

на это направление. Из этого следует, что

координаты

grad f

в

базисе e1, e2 , e3 равны производным по

направлениям этих векторов. Таким образом,

¶uk

= (grad u

k

,e ) .

¶lk

k

Сравнивая друг с другом два последних выражения, находим

grad (u

k

,e ) =

1

,

k =1, 2, 3.

(11)

k

Hk

f = f (u1,u2 ,u3 ) .

Обратимся

теперь

к

вычислению

градиента

Применяя определение градиента и правило дифференцирования

сложной функции, получаем:

grad

f (u , u

, u

) =

¶f

+

¶f

+ ¶f

= æ

¶f

¶u1

+

¶f

¶u2 +

¶f

¶u3

ö

+

k

2

i

j

i

¶x

¶y

¶u

1

3

¶z

ç

¶u ¶x

2

¶x

¶u ¶x

÷

è

1

3

ø

æ

¶f

¶u1

¶f

¶u2 +

¶f

¶u3

ö

æ

¶f

¶u1

¶f

¶u2

¶f

¶u3

ö

+

ç

+

÷ j

+

ç

+

+

÷k

=

¶u ¶z

¶u

è

¶u ¶y

¶u

2

¶y

¶u ¶y

ø

è

2

¶z

¶u ¶z

ø

1

3

1

3

¶f

æ

¶u1

¶u1

¶u1

ö

¶f

æ

¶u2

¶u2

¶u2

ö

=

ç

¶x

i

+

¶y

j

+

¶z

k ÷

+

ç

¶x i +

j + ¶z

k ÷

+

¶u

¶u

2

¶y

1

è

ø

è

ø

+

¶f

æ ¶u3

+

¶u3

+

¶u3

ö

=

¶f

grad u +

¶f

grad u

+

¶f

grad u .

i

j

k

¶u

÷

¶u

¶u

2

ç

¶x

¶y

¶z

1

2

¶u

3

3

è

ø

1

3

Используя формулу (11), получаем окончательное выражение для градиента скалярного поля в криволинейных ортогональных координатах в виде:

	3	¶f	3	1		¶f
	grad f = å		grad uk = å				ek .	(12)
		¶uk
	k=1		k=1 Hk ¶uk

В цилиндрической системе координат e1 = eρ , e2 = eϕ , e3 = ez . Из равенств (12), учитывая, что Hρ =1, Hϕ = ρ, Hz =1 (см. пример 1), получаем

183