Tom_2

20. Циркуляция векторного поля. Пусть a = Pi + Qj + Rk –

векторное поле и в нем L – замкнутая линия (контур). Циркуляцией векторного поля a вдоль замкнутой линии L называется линейный

	интеграл	ò		ò
	Ц =		(a, dr ) =		(4)
				Pdx + Qdy + Rdz .

LL

Вдальнейшем будем считать, что в интеграле (4) линию L

всегда обходят в положительном направлении (см. п.5.2.20).

Циркуляция векторного поля характеризует вращательную

способность поля

на линии.

Поэтому

часто

говорят,

что,

если

Ц > 0

(Ц < 0) , то линия L , расположенная в поле a , под действием

силы

a вращается в положительном (отрицательном)

направлении.

В случае, когда Ц = 0 , линия L не вращается.

Пример 3. Пусть стационарное вращательное движение

жидкости вокруг

оси

Oz

задано вектором

угловой

скорости

ω

= 0 ×

+ 0×

+ω ×

(рис.2). Найти в

пространстве,

заполненном

i

j

k

линейной

скорости

вращающейся жидкостью, векторное поле V

вдоль окружности

жидкости и вычислить циркуляцию этого поля V

l : x = Rcosϕ, y = Rsinϕ, z = c (c = const,

0 ≤ ϕ ≤ 2π )

радиуса

R

с

центром в точке C(0;0; c)

и лежащей в плоскости, перпендикулярной

оси Oz .

Решение.

Численное

значение линейной

скорости

V

(модуль), как известно из курса

физики, равно ωR , где R −

расстояние

вращающейся

точки

M (x; y; z) от

оси

вращения

(оси

Oz ).

Но

R = r sinϕ ,

ϕ

−

угол

между

вектором

r

и

осью

Oz .

Следовательно, V = ωR = ωr sinϕ ,

Рт.е. V = [ω, r ] .

направлен в сторону вращения,

и это его

Вектор скорости V

направление совпадает с

направлением

векторного произведения

[ω

, r ] (V

^ r ,V ^ ω

, векторы ω

, r ,V

образуют правую

тройку).

Следовательно, V = [ω, r ], т.е.

164

i j k

V = 0 0 ω = -ω yi +ω xj + 0 × k . x y 0

Поле линейных скоростей V вращающейся вокруг неподвижной оси жидкости, есть плоское векторное поле.

Согласно формуле (4), имеем:

2π

Ц = òω xdy -ω ydx = ω ò (R2 sin2 ϕ + R2 cos2 ϕ)dϕ = 2πωR2 = 2ωS

l

0

,

где S − площадь круга, ограниченного окружностью l . □ Рассмотренный пример показывает, что циркуляция линейной

скорости жидкости, вращающейся по окружности, пропорциональна угловой скорости вращения и площади круга, охватываемого при этом вращении. Поэтому величина Ц может служить для измерения

мощности потока жидкости, движущейся вдоль окружности l с

линейной скоростью V . Величина ЦS = 2ω удельной циркуляции

вектора линейной скорости V вдоль окружности l (или средняя мощность рассматриваемого потока) характеризует интенсивность вращательного движения жидкости и является мерой завихренности потока.

30. Ротор векторного поля. Ротором (или вихрем) векторного

поля

a = P(x, y, z)

+ Q(x, y, z)

+ R(x, y, z)

i

j

k

называется вектор

æ

¶R

- ¶Q ;

¶P

-

¶R ;

¶Q

- ¶P

ö

(5)

rot a(M ) = ç

÷ .

è

¶y

¶z

¶z

¶x

¶x

¶y

ø

Формулу (5) можно записать с помощью символического

определителя в виде

i

j

k

rot a (M ) =

∂

∂

∂

.

(6)

∂x

∂y

∂z

P

Q

R

Отметим некоторые свойства

ротора.

1)

Если c – постоянный вектор, то rot

c = 0 .

2)

rot (c × a) = c × rot a , где c = const .

3)

rot (a +

) = rot a + rot

.

b

b

4)

Если U – скалярная функция, то

165

rot(U × a) = U × rot a + [gradU,

a] .

Эти свойства легко проверить, используя формулу (6). Докажем,

например, свойство 4).

i

j

k

¶

¶

¶

æ

¶(UR)

¶(UQ) ö

æ ¶(UR)

¶(UP) ö

rot (U ×a ) =

= i

-

- j

-

+

ç

÷

ç

÷

¶x

¶y

¶z

¶y

¶z

¶x

¶z

è

ø

è

ø

UP

UQ

UR

æ ¶(UQ)

¶(UP)

ö

æ

¶U

¶R

¶U

¶Q

ö

-

= i

+U

- Q

-U

-

+k ç

¶x

¶y

÷

ç R

¶y

¶y

¶z

¶z

÷

è

ø

è

ø

æ

¶U

+U

¶R

- P

¶U

-U

¶P

ö

æ

¶U

+U

¶Q

- P

¶U

-U

¶P

ö

=

- j ç R

¶x

¶x

¶z

¶z

÷ + k

çQ

¶x

¶x

¶y

¶y

÷

è

ø

è

ø

æ

¶R

-

¶Q

ö

æ ¶R

-

¶P ö

æ

¶Q

-

¶P ö

æ

¶U

- Q

¶U

ö

-

= U ç

¶y

¶z

÷ i

-U ç

¶x

÷ j +U

ç

¶x

÷k

+ ç R

¶y

¶z

÷ i

è

ø

è

¶z ø

è

¶y ø

è

ø

s

i

j

k

æ

¶U

- P

¶U

ö

+

æ

¶U

- P

¶U ö

=U rot a +

¶U ¶U ¶U

=

- ç R

¶x

¶z

÷ j

çQ

¶x

¶y

÷k

¶x

¶y

¶z

è

ø

è

ø

P

Q

R

= U × rot a + [gradU, a]. □

Упражнение 1. Доказать свойства ротора 1)-3).

Пример 4. Найти ротор поля

a = ( y3 - 8yz - z)

+ (yz - x3 + 2x)

+ ( yx3 - 2z3)

.

i

j

k

Решение.

Данное

поле

a

определено

и

дифференцируемо

во всем пространстве. Следовательно, в каждой точке пространства

существует ротор поля, который можно определить по формуле (6)

i

j

k

rot a =

¶

¶

¶

=

¶x

¶y

¶z

y3 - 8yz - z yz - x3 + 2x yx3 - 2z3

= (x3 - y)

- (3yx2 + 8y +1)

+ (2 - 3x2 - 3y2 + 8z)

.□

i

j

k

166

Дадим физическое истолкование понятия ротора векторного поля. Найдем ротор поля линейных скоростей твердого тела,

вращающегося вокруг оси

Oz

с постоянной угловой скоростью ω

(пример 3),

т.е. ротор вектора V

= -ω yi

+ω xj .

По определению ротора,

i

j

k

¶

¶

¶

æ

¶(ωx) ö

æ

¶(-yω) ö

rot V =

= ç

0 -

÷ i

- ç

0

-

÷ j +

¶x

¶y ¶z

¶z

¶z

è

ø

è

ø

-yω

xω

0

æ

¶(xω)

¶(-yω)

ö

+ 2ω × k = 2ω

+ç

-

÷k = 0

- 0

.

¶y

è

¶x

ø

Таким образом, ротор этого поля направлен параллельно оси вращения, его модуль равен удвоенной угловой скорости вращения.

С точностью до числового множителя ротор поля скоростей V представляет собой угловую скорость вращения твердого тела. С этим связано само название «ротор» («вращатель», латынь).

40. Теорема Стокса.

Теорема 1. Циркуляция вектора a

по

кусочно-гладкому

замкнутому контуру L равна потоку вектора

rot a

через

поверхность S, ограниченную этим контуром L , т.е.

ò (a, dr ) = òò(rot a, n)ds

(7)

L

S

или в координатной форме

ò Pdx + Qdy + Rdz =

L

æ ¶R ¶Q ö

æ ¶P ¶R ö

æ ¶Q

=

òòè ¶y

-

¶z ø

è ¶z

-

¶x

ø

è

¶x

-

ç

÷dydz + ç

÷dxdz

+ ç

S

(8)

Доказательство. Пусть S −

поверхность,

заданная

уравнением

z = f (x, y) ,

где

функции

f (x, y),

fx′(x, y), fy′(x, y) непрерывны в

замкнутой области

D − проекции

S

167

на плоскость Oxy ; L − контур, ограничивающий S , а l − его проекция на плоскость Oxy , являющаяся контуром, ограничивающим

область D . Выберем верхнюю сторону поверхности S (рис.3). Преобразуем криволинейный интеграл

ò P(x, y, z)dx = ò P(x, y, f (x, y))dx ,

L L

взятый по контуру L , в интеграл по поверхности S . Это преобразование проведем по следующей схеме: криволинейный интеграл по пространственному контуру L преобразуем сначала в криволинейный интеграл по плоскому контуру l , затем переведем его в двойной интеграл по области D и, наконец, этот последний интеграл преобразуем в интеграл по поверхности S .

Так как контур L лежит на поверхности S , то координаты его точек удовлетворяют уравнению z = f (x, y) и, поэтому, значения

функции P(x, y, z) в точках контура L равны значениям функции P(x, y, f (x, y)) в соответствующих точках контура l , являющегося

проекцией L . Проекции же соответствующих участков разбиения контуров L и l на ось Ox совпадают. Поэтому совпадают также интегральные суммы для криволинейных интегралов второго рода от функции Р по контурам L и l , а значит, равны и интегралы

ò P(x, y, z)dx = ò P(x, y, f (x, y)) dx .

L

l

Далее, применяя формулу Грина, перейдем к двойному интегралу по области D . Получаем

	P(x, y, f (x, y)) dx = -		æ	¶P	+		ö
ò		òò	ç			¶P fy¢ ÷dxdy.
			è	¶y		¶z	ø
l		D

Здесь подынтегральная функция равна частной производной по y от сложной функции, получающейся из P(x, y, z) после

подстановки f (x, y) вместо z .

Поскольку S − верхняя сторона поверхности, т.е. cosγ > 0 ( γ

−острый угол между нормалью и осью Oz ), нормаль имеет проекции

-fx′, - fy′,1. А так как направляющие косинусы нормали

пропорциональны соответствующим проекциям, то coscosγβ = - f1y′ = - fy¢.

Поэтому,

168

æ

¶P

ö

æ

¶P

¶P cos β

ö

-

òò

ç

+

¶P fy¢ ÷dxdy = -

òò

ç

-

÷dxdy.

¶y

¶y

¶z cosγ

è

¶z

ø

è

ø

D

D

Теперь, воспользовавшись формулой, выражающей поверхностный интеграл второго рода через двойной, получим

æ ¶P -òòD çè ¶y -

Итак,

ò P(x, y;

L

	¶P cos β		ö				òò	æ	¶P cosγ -		¶P cos β
			÷dxdy			= -		ç
	¶z cosγ
			ø					è	¶y		¶z
							S
	f (x, y))dx =				æ	¶P cos β -					ö
				òò	ç					¶P cosγ ÷ds.
					è	¶z				¶y	ø
				S

Аналогично доказывается при соответствующих справедливость следующих двух формул:

ò		òò	æ	¶Q	cosγ -	¶Q	ö
			è	¶x		¶z	ø
Q(x, y, z)dy =			ç				cosα ÷ds,
L		S
	R(x, y, z) dz =		æ	¶R cosα -			ö
ò		òò	ç			¶R cos β ÷ds.
			è	¶y		¶x	ø
L		S

ö

÷ ds.

ø

(9)

условиях

(10)

(11)

Складывая почленно равенства (9) − (11), получаем формулу

ò Pdx + Qdy + Rdz =

L

òòS

ææ ¶Q ¶P ö

æ ¶R ¶Q ö

æ ¶P ¶R ö

ö

=

èè ¶x

-

¶y ø

è

¶y

-

¶z ø

è ¶z

-

¶x ø

ø

çç

÷cosγ + ç

÷cosα + ç

÷cos β ÷ ds.

С помощью формулы (5.3.4), связывающей поверхностные интегралы, последнюю формулу, которую называют формулой Стокса, можно переписать в виде (8). □

Формула Стокса (8) позволяет вычислять криволинейные интегралы по замкнутым контурам с помощью поверхностных интегралов.

Пример		5.	Вычислить,
используя		формулу	Стокса,
интеграл	I = ò x2 y3dx + dy + zdz,
		L
где контур		L −	окружность
x2 + y2 = R2 ,		z = 0 ,	взяв в

качестве поверхности S полусферу z = +R2 - x2 - y2 .

Р

169

Решение. Поверхность интегрирования изображена на рис.4. По формуле Стокса (8) получим

I = òò(0 - 0)dydz + (0 - 0)dxdz + (0 - 3x2 y2 )dxdy =

S

= -3òòx2 y2dxdy = -3òòx2 y2dxdy .

			S		D
	Переходя к полярным координатам, будем иметь
									2π				R
		I = -3òòr5 sin2 ϕ cos2 ϕdrdϕ = -3 ò sin2 ϕ cos2 ϕdϕ òr5dr =
				D					0			0				2π
		3	2π	1		1		1	2π			R6							π R6
	= -		R6 ò		sin2 2ϕdϕ = -		R6 ×		ò (1- cos4ϕ)dϕ = -						ϕ			= -		.
		6		4		8		2				16							8
			0						0							0
							□
																		вдоль
	Пример 6. Найти циркуляцию вектора a = yi										- 2zj + xk

эллипса, образованного сечением гиперболоида 2x2 - y2 + z2 = R2 плоскостью y = x , в положительном направлении относительно орта i .

Решение.							Применим	теорему	Стокса.	Имеем
rot a = 2		-		-		. За	поверхность	S , ограниченную контуром L ,
	i		j		k

примем часть секущей плоскости, лежащей внутри эллипса.

Единичный

вектор

1

нормали,

направленный в заданную сторону, имеет вид n =

(

-

) . Поэтому

i

j

2

(rot a, n) =

3

и òò(rot a, n) ds =

3

π ab . Но, так как эллипс имеет

2

2

S

полуоси a = R

и b = R , то òò(rot a, n) ds = 3π R2 . □

2

S

50. Независимость линейного интеграла от пути

интегрирования. Пусть замкнутый контур L ограничивает

односвязную область. Тогда имеет место

интеграл ò(a,dr )

Теорема

2. Для того, чтобы линейный

L

в векторном поле a не зависел от пути интегрирования необходимо и достаточно, чтобы rota = 0 .

170

Доказательство. Необходимость. Пусть линейный интеграл ò(a,dr ) не зависит от пути интегрирования, тогда этот интеграл по

L

замкнутому контуру равен нулю, то есть ò (a, dr ) = 0 . В таком случае,

L

используя формулу Стокса, имеем

ò	òò	æ ¶R	-	¶Q ö	æ ¶P
		è ¶y		¶z ø	è ¶z
(a, dr ) =		ç		÷dydz + ç
L	S				.

Отсюда

-	¶R ö	æ	¶Q	-	¶P ö
	÷dxdz + ç		¶x		÷dxdy = 0
	¶x ø	è			¶y ø

¶R

- ¶Q

= 0,

¶P

- ¶R = 0,

¶Q -

¶P

= 0,

(12)

¶y

¶y

¶z

¶x

¶x

¶y

то есть условия (12) являются необходимыми условиями

независимости

интеграла

от

пути

интегрирования, что

значит

rota = 0 .

rota = 0 .

Достаточность. Пусть

Тогда,

согласно

формуле

Стокса, имеем

ò Pdx + Qdy + Pdz = 0 ,

(13)

L

то есть, рассмотренный интеграл не зависит от пути

интегрирования. □

Подынтегральная функция в интеграле из (13) является полным

дифференциалом некоторой функции,

то есть

du = Pdx + Qdy + Rdz ,

отсюда ¶u = P,

¶u

= Q,

¶u

= R , значит,

a = Pi

+ Qj + Rk = grad u .

¶x

¶y

¶z

§4. Потенциальное поле

Из всего многообразия векторных полей, отличающихся наиболее простой структурой и особенно часто встречающихся в приложениях, особенными являются соленоидальное, потенциальное и гармоническое векторные поля. Детальное рассмотрение потенциального поля имеет смысл потому, что произвольное векторное поле (достаточно быстро исчезающее на бесконечности) можно трактовать как результат наложения друг на друга потенциального и соленоидального полей.

171

10. Потенциальное векторное поле. Векторное поле a(M ) ,

заданное в области V, называется потенциальным (безвихревым или градиентным), если в области V существует такая скалярная функция

u(M), что во всех точках этой области выполняется условие
a(M ) = grad u (M ) .	(1)

Для силовых полей функция a(M ) называется силовой

функцией, а функция u(M) называется потенциальной функцией или потенциалом векторного поля.

Примером потенциального поля является электрическое поле напряженности точечного заряда.

Если векторное поле a потенциально в области V, то для его задания достаточно одной скалярной функции – потенциала этого

поля,		так как		из	формулы (1) следует, что в этом случае
P =	∂u	, Q =	∂u	, R =	∂u	. Отсюда Pdx + Qdy + Rdz = du .
	∂x		∂y		∂z

Таким	образом,	если	векторное	поле	a	потенциально,
выражение	Pdx + Qdy + Rdz		является	полным		дифференциалом
потенциала этого поля.
20.	Критерий	потенциальности			поля.		Критерий

потенциальности векторного поля формулируется в следующей теореме.

Теорема 1. Для того, чтобы непрерывно дифференцируемое векторное поле a в односвязной области V было потенциальным, необходимо и достаточно, чтобы во всех точках этой области

выполнялось условие

rota = 0 .	(2)
Доказательство. Необходимость. Пусть поле a	является
потенциальным, а u – его потенциал, то есть a = grad u . Тогда

172

			i				j
rot a = rot gradu =		¶			¶
		¶x				¶y
		¶u				¶u
		¶x				¶y

k

¶

¶z ¶u ¶z

æ	¶2u		¶2u ö
= ç		-		÷ i		-
ç	¶z¶y		÷
è			¶y¶z ø

æ

¶2u

¶2u ö

æ

¶2u

¶2u ö

-ç

-

÷ j + ç

-

÷k

= 0,

ç

÷

ç

¶x¶y

÷

è

¶x¶z ¶z¶x ø

è

¶y¶x ø

в силу независимости смешанных производных от порядка

дифференцирования.

a(M ) = 0 ,

Достаточность.

Пусть rot

тогда

поверхностный

интеграл в формуле Стокса (3.8) равен нулю, а также криволинейный

интеграл	ò Pdx + Qdy + Rdz = 0 ,		то есть он	не	зависит	от		пути
	L						¶u
интегрирования. Следовательно,			Pdx + Qdy + Rdz = du . Тогда					= P ,
							¶x
¶u = Q ,	¶u = R , и	Pdx + Qdy + Rdz = ¶u dx +		¶u dy + ¶u dz .
						Отсюда
¶y	¶z		¶x	¶y	¶z

a = grad u , а значит, поле a потенциальное. □

Свойство потенциальности играет большую роль не только для силовых полей различной природы. Так, например, потенциальность гидродинамического поля скорости несжимаемой жидкости позволяет при изучении плоских потоков применять аппарат теории функций комплексного переменного и другие хорошо разработанные

математические методы.

Пример

1.

Установить потенциальность векторного поля

a(M ) = 2xyzi

+ x2 zj

+ x2 yk

.

Решение. Имеем

i

j

k

rot a =

¶

¶

¶

= (x2 - x2 )

- (2xy - 2xy)

+ (2xz - 2xz)

= 0

i

j

k

¶x

¶y

¶z

2xyz

x2 z

x2 y

,

то есть заданное поле потенциально. □ Замечание 1. Линейный интеграл в потенциальном поле равен

разности значений потенциала в конечной B и начальной A точках пути интегрирования. В самом деле, так как линейный интеграл в

173