FIZIKA_kospekt_lektsy

Следовательно, в этих случаях закон сохранения механической энергии несправедлив. Однако при «исчезновении» механической энергии всегда возникает эквивалентное количество энергии другого вида. Таким образом,

энергия никогда не исчезает и не появляется вновь, она лишь превращается из одного вида в другой. В этом и заключается физическая сущность закона сохранения и превращения энергии - сущность неуничтожимости материи и ее движения.

41

ГЛАВА4. ДИНАМИКА ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО

ТЕЛА

4.1. Модель абсолютно твердого тела

Всякое реальное тело под действием приложенных к нему сил в большей или меньшей степени деформируется, то есть изменяет свои размеры и форму.

В механике вводится модель абсолютно твердого тела, которое ни при каких условиях не может деформироваться и при всех условиях расстояние между двумя точками этого тела остается постоянным.

Любое движение твердого тела можно представить как комбинацию поступательного и вращательного движений. Поступательное движение - это движение, при котором любая прямая, жестко связанная с движущимся телом,

остается параллельной своему первоначальному положению. Вращательное движение - это движение, при котором все точки тела движутся по окружностям, центры которых лежат на одной и той же прямой, называемой осью вращения.

4.2. Момент силы

Моментом силы F относительно неподвиж-

ной точки О называется физическая величина,

определяемая векторным произведением радиуса-

вектора r, проведенного из точки О в точку А приложения силы, на силу F (рис.4.1):

M rF .

Здесь M - аксиальный вектор, его направление совпадает с направлением поступательного

движения правого винта при его вращении от r к F .

Модуль момента силы
М = Fr sin ά = Fl,	(4.1)

42

где ά- угол между r и F ; r sin ά = l - кратчайшее расстояние между линией действия силы и точкой О - плечо силы(ОА').

Моментом силы относительно неподвижной оси z называется скалярная

величина Мz, равная проекции на эту ось вектора M момента силы,

определенного относительно произвольной точки О данной оси z (рис.4.2).

Значение момента Мz не зависит от выбора положения точки О на оси z.

Если ось	z	совпадает с направлением вектора M , то момент силы
представляется	в	виде вектора,	совпадающего с осью:
		Мz	= rF .

Аксиальные векторы не связаны с определенной линией действия, их можно перемещать в пространстве параллельно самим себе (свободные векторы).

Если на тело, которое может вращаться вокруг какой-либо точки,

действует одновременно несколько сил, то для сложения моментов этих сил следует воспользоваться правилом сложения моментов: результирующий момент силы равен геометрической сумме составляющих моментов сил.

4.3. Пара сил

Если на тело действует несколько сил, равнодействующая которых равна нулю, а результирующий момент относительно какой-либо оси не равен нулю,

то тело не останется в равновесии. Так будет, например, если на тело действуют две равные и противоположные силы, не лежащие на одной прямой.

Такие две силы, совместно действующие на тело, называют парой сил. Если тело закреплено на оси, то при действии на него пары сил оно начнет вращаться вокруг этой оси. При этом,

вообще говоря, со стороны оси на тело будет действовать сила. Можно показать, однако, что если ось проходит через центр масс тела, то сила со стороны оси отсутствует.

43

Момент пары сил одинаков относительно любой оси, перпендикулярной к плоскости пары. Действительно, пусть О - произвольная ось, перпендикулярная к плоскости, в которой лежит пара (рис.4.3). Суммарный момент М равен

M = F·OA + F·OB = F(OA + OB) = F·l,

где l - расстояние между силами, составляющими пару. Этот же результат получится и при любом другом положении оси. Можно показать также, что момент нескольких сил, равнодействующая которых равна нулю, будет один и тот же относительно всех осей, параллельных друг другу, и поэтому действие всех этих сил на тело можно заменить действием одной пары сил с тем же моментом.

Силы, действующие на твердое тело, могут вызвать как поступательное,

так и вращательное движение тела. Чтобы тело находилось в равновесии,

необходимо выполнение следующих условий:

-равнодействующая всех действующих на тело сил равна нулю.

-сумма всех моментов сил равна нулю.

Если силы лежат в одной плоскости, получаем следующие условия

равновесия:

Fi 0;	(4.2)
i
Mk 0.	(4.3)
k

4.4. Простые машины

Простые машины служат для того, чтобы изменять величину или направление приложенных сил при неизменной затрате работы. Эти машины не могут изменить величину работы. Если уменьшается приложенная сила, то должно увеличиться перемещение. В

силу вступает «золотое правило механики»: то, что удается выиграть в

силе, приходится проигрывать в перемещении.

Рычагом называется твердое тело, вращающееся вокруг некоторой оси.

У одноплечного рычага ось расположена на одном из концов и силы,

44

действующие на него, антипараллельны. У двуплечного рычага ось расположена между точками приложения сил и силы параллельны (рис.4.4).

Если F1 - сила, уравновешивающая нагрузку, F2 - нагрузка, l1 - плечо силы,

равное расстоянию по перпендикуляру от точки опоры до линии действия силы

F1, l2 - плечо нагрузки, равное расстоянию по перпендикуляру от точки опоры до линии действия нагрузки F2, то, согласно правилу рычага,

F1 l1 = F2 l2 . (4.4)

Неподвижный блок действует аналогично равноплечному рычагу (рис.4.5). Моменты сил,

действующие с обеих сторон блока, одинаковы,

соответственно одинаковы и силы, создающие эти моменты. У неподвижного блока сила равна нагрузке

F1 = F2 ,

то есть неподвижный блок изменяет только направление действия силы.

Подвижный блок действует аналогично одноплечному рычагу.

Относительно центра вращения О действуют моменты сил, которые при равновесии должны быть равны:

F1 2r = F2 r.

Отсюда

F1 = F2/2 ,

то есть сила равна половине нагрузки. Подвижный блок изменяет только величину силы.

4.5. Момент инерции

При изучении вращения твердого тела пользуются понятием момента инерции. Моментом инерции системы (тела) относительно оси вращения называется физическая величина, равная сумме произведений масс n

материальных точек системы на квадраты их расстояний до рассматриваемой оси:

45

i 1

(4.5)

В случае непрерывного распределения масс эта сумма сводится к интегралу

I r2dm, (4.6)

где интегрирование производится по всему объему тела. Величина r в этом случае есть функция положения точки с координатами х, у, z.

В качестве примера найдем момент инерции однородного сплошного цилиндра высотой h и

радиусом R относительно его геометрической оси

(рис.4.6). Разобьем цилиндр на отдельные полые концентрические цилиндры бесконечно малой толщины dr с внутренним радиусом r и внешним r + dr.

Момент инерции каждого полого цилиндра dI = r2 dm (так как dr << r, то считаем, что расстояние всех точек цилиндра от оси равно r), где dm - масса всего элементарного цилиндра; его объем 2πrh dr. Если ρ - плотность материала, то dm = ρ·2πrh dr и dI = 2π ρhπr3dr . Тогда момент инерции сплошного цилиндра

I miri2 .

n

R

I dI 2 h r3dr 1 hR4 ,

2

0

но так как πR2 h - объем цилиндра, то его масса m = πR2 hρ, а момент инерции

I1 mR2 .

2

Если известен момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр масс, то момент инерции относительно любой другой параллельной оси определяется теоремой Штейнера: момент инерции тела I относительно

любой оси вращения О равен	моменту его инерции IC относительно
параллельной оси, проходящей через центр масс С тела,
сложенному с произведением массы m тела на квадрат
расстояния a2 между осями:
I = IC + ma2.	(4.7)
	46

Приведем значения моментов инерции (табл.1) для некоторых тел (тела

считаются однородными, m - масса тела).

			Таблица 1
	Тело	Положение оси вращения	Момент
			инерции
	Полый тонкостенный	Ось симметрии	mR2
	цилиндр радиусом R
	Сплошной цилиндр или диск	То же	1/2mR2
	радиусом R
	Прямой тонкий стержень	Ось перпендикулярна	1/12 ml2
		стержню и проходит через
	длиной l	его середину
	Прямой тонкий стержень	Ось перпендикулярна	1/3 ml2
		стержню и проходит через
	длиной l	его конец
	Шар радиусом R	Ось проходит через центр	2/5 mR2
		шара

4.6. Кинетическая энергия вращения

Рассмотрим абсолютно твердое тело, вращающееся около неподвижной оси z, проходящей через него

(рис.4.8). Мысленно разобьем это тело на маленькие объемы с элементарными массами m1, m2, ..., тn,

находящиеся на расстоянии r1, r2 , ..., rn от оси вращения.

При вращении твердого тела относительно неподвижной

оси отдельные его элементарные объемы массами mi опишут окружности различных радиусов ri, и имеют различные линейные скорости i. Но так как мы рассматриваем абсолютно твердое тело, то угловая скорость вращения этих объемов одинакова:

ω = υ1/ r1 = υ2/ r2 = … = υn/ rn .

(4.8)

Кинетическую энергию Wвр вращающегося тела найдем как сумму кинетических энергий его элементарных объемов:

47

		m х	2		m		х	2	2					m х			2
W		1 1				2									n	n
вр	2					2									2
или
						n			mх				2
		Wвр									i		i	.
											2
Используя выражение (4.5), получим						i 1
		n	m 2				2				2 n				2				I	2
Wвр				i		ri								miri					z		,
			2																	2
		i 1										2 i 1

где Iz - момент инерции тела относительно оси z. Таким образом, кинетическая энергия вращающегося тела

Wвр = Izω2/2.

(4.9)

Из сравнения формулы (4.6) с выражением для кинетической энергии тела,

движущегося поступательно (Wк = mυ2/2), следует, что момент инерции вращательного движения - мера инертности тела. Формула (4.9) справедлива для тела, вращающегося вокруг неподвижной оси.

В случае плоского движения тела, например цилиндра, скатывающегося с наклонной плоскости без скольжения, энергия движения складывается из

энергии поступательного движения и энергии вращения:
W = mυc2/2	+ Icω2/2,	(4.10)
где m - масса катящегося тела; υc -	скорость центра масс тела; Ic - момент
инерции тела относительно оси, проходящей через его центр масс; ω -		угловая
скорость тела.

4.7. Уравнение динамики вращательного движения твердого тела

Найдем выражение для работы при вращении тела (рис.4.9). Пусть сила

F приложена в точке В, находящейся от оси вращения на расстоянии ά - угол между направлением силы и радиусом-вектором r. Так как тело абсолютно твердое, то работа этой силы равна работе, затраченной на поворот всего тела.

48

При повороте тела на бесконечно малый угол dφ точка приложения В проходит путь ds = rdφ, и работа равна произведению проекции силы на направление смещения на величину смещения:

δA = F sinά rdφ .

Учитывая (4.1), можем записать δA = Mz dφ,

где Fr sinά = Fl = Mz - момент силы относительно оси z. Таким образом, работа при вращении тела равна произведению момента действующей силы на угол поворота.

Работа при вращении тела идет на увеличение его кинетической энергии:

		δA = dWк ,
но
		dWк = d(Iz ω2/2) = Iz ω dω
поэтому
		Mz dφ = Iz ω dω
или			d				d
		Mz				Iz		.
				dt
	d						dt
Учитывая, что		, получим
	dt			d
		Mz Iz				Iz .			(4.11)
				dt

Уравнение (4.11) представляет собой уравнение динамики вращательного

движения твердого тела относительно неподвижной оси.

Можно показать, что если ось вращения совпадает с главной осью

инерции, проходящей через центр масс, то имеет место векторное равенство

M I ,

(4.12)

где I - главный момент инерции тела (момент инерции относительно главной оси).

4.8. Момент импульса и закон его сохранения

При сравнении законов вращательного и поступательного движений просматривается аналогия между ними, только во вращательном движении вместо силы «выступает» ее момент, роль массы играет момент инерции. Какая

49

же величина будет аналогом импульса тела? Ею является момент импульса тела относительно оси.

Моментом импульса (количества движения) материальной точки А

относительно неподвижной точки О называется физическая величина,

определяемая векторным произведением:

			L r p r m ,	(4.13)
где r - радиус-вектор, проведенный из точки О
в точку A;	p m — импульс материальной
точки (рис.4.10); L - псевдовектор, его
направление	совпадает	с	направлением
поступательного движения правого винта при
его вращении от r к		p.	Модуль вектора
момента импульса
		L = rp sinά = mvr sinά = pl,

где ά - угол между векторами r и p, l - плечо вектора p относительно точки О.

Моментом импульса относительно неподвижной оси z называется скалярная величина Lz, равная проекции на эту ось вектора момента импульса,

определенного относительно произвольной точки О данной оси. Значение

момента импульса Lz не зависит от положения точки О на оси z.

При вращении абсолютно твердого тела вокруг неподвижной оси z

каждая отдельная точка тела движется по окружности постоянного радиуса ri с

некоторой скоростью i .

Скорость i и импульс mi i перпендикулярны этому радиусу, т. е. радиус является плечом вектора mi i . Поэтому можем записать, что момент импульса

отдельной частицы
Liz = mυiri,	(4.14)
и направлен по оси в сторону, определяемую правилом правого винта.

50