Тема 10. Плоскость и прямая в пространстве.

Определение. Любой вектор (не равный нулевому), перпендикулярный к данной плоскости, называется ее

нормальным вект ором или вект ором нормали плоскост и.

Пусть плоскость проходит через точку M (x0 , y0 , z0 ) перпендикулярно ненулевому вектору n(A, B,C) . Возьмем произвольную точку M (x, y, z) , лежащую в этой плоскости (рис. 10.1). Точка M принадлежит данной плоскости тогда и только тогда, когда векторы M 0M (x − x0 , y − y0 , z − z0 ) и n перпендикулярны, т.е. их скалярное произведение равно нулю

M 0M n = 0 , т.е.

A(x − x0 ) + B(y − y0 ) + C(z − z0 ) = 0 .	(10.1)
Уравнение (10.1) представляет уравнение плоскост и, перпендикулярной вект ору n(A, B,C)	и проходящей через
данную точку M (x0 , y0 , z0 ) .

n(A, B,C)

M (x, y, z)

M 0 (x0 , y0 , z0 )

Рис. 10.1. Плоскость, проходящая через точку M 0 перпендикулярно вектору n .

Раскрыв скобки в уравнении (10.1), его можно привести к виду
Ax + By + Cz + D = 0,	(10.2)
где D = −Ax0 − By0 −Cz0 , A2 + B2 + C2 > 0. Уравнение (10.2) называется общим уравнением плоскост и.
Заметим, что если плоскость задана общим уравнением (10.2), то вектор n(A, B,C)	является вектором нормали к этой

плоскости.

93

Рассмотрим различные случаи расположения плоскости в пространстве в зависимости от коэффициентов общего уравнения (10.2):

6.D = 0 – плоскость проходит через начало координат;

7.A = 0 – плоскость параллельна оси Oх;

8.A = D = 0 - плоскость содержит ось Ох;

9.A = B = 0 – плоскость параллельна плоскости Oxy.

Аналогично определяется расположение плоскости при равенстве нулю других сочетаний коэффициентов уравнения. Пример 10.1. Написать общее уравнение плоскости, проходящей через точку M (2;3;5) перпендикулярно вектору

n(4;−3;2) .

◄Для получения уравнения плоскости воспользуемся формулой (10.1):

4(x − 2) −3(y −3) + 2(z −5) = 4x −3y + 2z −9 = 0.►

M 2	(x2	, y2	, z2 )	M (x, y, z)

M1(x1, y1, z1)	M3 (x3 , y3 , z3 )

Рис.10.2. Плоскость, проходящая через три данных точки M1, M 2 , M3 .

Пусть точки, не лежащие на одной прямой, определяют некоторую плоскость. Возьмем на этой плоскости произвольную точку M (x, y, z) и составим векторы M1M 2 ,M1M3 ,M1M . Точка M (x, y, z) лежит в одной плоскости с точками

M1, M 2 и M3 тогда и только тогда, когда векторы M1M 2 ,M1M3 ,M1M компланарны, т.е. тогда и только тогда, когда смешанное произведение этих трех векторов равно нулю, т.е.

x − x1 x2 − x1 x3 − x1

y − y1 y2 − y1 y3 − y1

z − z1

z2 − z1 = 0 . (10.3) z3 − z1

94

Уравнение

(10.3)

определяет

уравнение

плоскости,

проходящей

через

три

точки

M1(x1, y1, z1) , M 2 (x2 , y2 , z2 ), M3 (x3 , y3 , z3 ) .

Пример 10.2. Написать уравнение плоскости, проходящей через точки M1(0;1;3) , M 2 (2;−1;1)и M3 (1;2;−1) .

◄Для получения уравнения плоскости воспользуемся формулой (10.3):

x − 0	y −1 z −3				x	y −1 z −3			= 0 .
2 − 0	−1 −1 1 −3		=		2	− 2	− 2
1 − 0 2 −1 −1 −3					1	1	− 4

Разложим данный определитель по первой строке:

10x + 6(y −1) + 4(z −3) = 0

Упростив полученное выражение, получим уравнение искомой плоскости:

5x + 3y + 2z −9 = 0 .►

Пример 10.3. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку M (2;1;−3) параллельно двум векторам a1(3;1;−1) и a2 (−1;2;−1) .

◄Нормальный вектор искомой плоскости найдем как векторное произведение векторов a1(3;1;−1) и a2 (−1;2;−1) :

i

j

k

n =

3

1

−1

=i

+ 4

j

+ 7k .

−1

2

−1

Уравнение искомой плоскости будем искать в виде:

x + 4y + 7z + D = 0 .
Подставим в него координаты точки M и найдем D :
2 + 4 1 + 7 (−3) + D = 0 ,	D =15.

Поэтому уравнение искомой плоскости имеет вид:

x + 4y + 7z +15 = 0.►

Уравнение плоскости (10.2) можно представить в «отрезках»:
	x	+	y	+	z	=1,	(10.4)
	a		b		c
							95

где a = −D / A, b = −D / B, c = −D /C . Плоскость, заданная уравнением (10.4)		пересекает			оси координат			в точках (a,0,0) ,
(0,b,0) и (0,0,с).
Умножим общее уравнение плоскости (10.2) на нормирующий множитель t = ±					1		со знаком «+», если
					A2 + B2 + С2
D < 0 , и знаком «-» в противном случае. Введя обозначения:
tA = cosα, tB = cos β,	tC = cosγ,	tD = −p ,
получим нормированное уравнение плоскости:	x cosα + y cos β + z cosγ − p = 0 .							(10.5)
Здесь нормальный вектор к плоскости (10.5) единичной длины,	имеет координаты n(cosα,cos β,cosγ) ,							где α,β,γ - углы

наклона вектора n к осям Ох, Оу и Оz соответственно, а p равно расстоянию от начала координат до этой плоскости.

Используя нормированный вид уравнения плоскости (10.5) можно получить формулу для вычисления расстояния до нее от произвольной точки M 0 (x0 , y0 , z0 ) :

d = x0 cosα + y0 cos β + z0 cosγ − p .

Расстояние от точки M 0 (x0 , y0 , z0 ) до плоскости, определенной уравнением,									Ax + By +Cz + D = 0 находится по
формуле:			Ax0 + By0 +Cz0 + D
d =									(10.6)
				A2 + B2 +C2

Пример 10.4. Найти расстояние от точки M (1;−2;3) до плоскости 6x −3y + 2z − 7 = 0 .

◄Найдем требуемое расстояние d , используя формулу (10.6.):

d =		6 1 −3 (−2) + 2 3 − 7				=			11					=	11	.►
															7
			62 + (−3)2 + 22					49

Углом между плоскостями в пространстве называется угол между нормальными векторами этих плоскостей. Если

две плоскости Q1 и Q2 заданы уравнениями A1x + B1 y + C1z + D1 = 0 и A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0 , то величина угла между ними вычисляется по формуле:

96

cosϕ =			A1 A2 + B1B2 + С1С2								.
		A2	+ B2 + С2				A2	+ B2	+ С2
1			1	1			2	2	2
Из этой формулы можно получить для плоскостей Q1				и Q2	условие параллельности (ϕ = 0):

A1 = B1 = С1

A2 B2 С2

и условие перпендикулярности (ϕ =π / 2 ):

A1 A2 + B1 B2 + С1 С2 = 0 .

Пример 10.5. Найти угол между плоскостями 2x − y + 2z −5 = 0 и 3x + 4y − 7 = 0.

◄Для решения задачи воспользуемся формулой (10.7):

cosϕ =			2 3 + (−1) 4 + 2 0				=		2	,	ϕ ≈82°.►
								15
2			2 + (−1)2 + 22 32 + 42 + 02

Общее уравнение прямой в пространстве задается как линия пересечения двух плоскостей :

A1x + B1 y + C1z + D1 = 0 .A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0

(10.7)

(10.8)

Если прямая проходит через точку M 0 (x0 , y0 , z0 ) параллельно вектору a(l,m,k)(направляющему вектору), то можно

получить параметрические уравнения прямой (аналогично получены параметрические уравнения прямой на плоскости в теме 9):

x = x0 + t l
	+ t m	(10.9)
y = y0
	+ t k
z = z0

Разрешая уравнения в системе (10.9) относительно t и приравнивая полученные отношения, приходим к

каноническому уравнению прямой:
	x − x0	=	y − y0	=	z − z0	.	(10.10)
	l		m
					k

97

Пример 10.6. Написать каноническое уравнение прямой, проходящей через точку M (2;−4;0) параллельно вектору a(2;1;−3).

◄Для написания канонического уравнения прямой воспользуемся формулой (10.10):

x−2 2 = y 1+ 4 = (−z3) .►

Пример 10.7. Найти точку пересечения прямой x 2−3 = y 3+1 = −z1 с плоскостью 2x − y + 3z −1 = 0.

◄Получим параметрические уравнения прямой:

x = 2t +3 x 2−3 = y 3+1 = −z1 = t или y = 3t −1 .

z = −t

Подставив их в уравнение плоскости, найдем t :
2(2t + 3) − (3t −1) + 3(−t) −1 = 0 ,	t =3.

Найденное значение t подставляем в параметрические уравнения прямой и находим координаты точки пересечения

M (9;8;−3) .►

Уравнение прямой, проходящей через две точки M1(x1, y1, z1),

M 2 (x2 , y2 , z2 ) , имеет вид:

x − x1

=

y − y1

=

z − z1

.

(10.11)

x

2

− x

y

2

− y

z

2

− z

1

1

1

Пример 10.8. Написать каноническое уравнения прямой, проходящей через точки M1(5;−2;1) и M 2 (1;4;2) .

◄Для написания канонического уравнения прямой воспользуемся формулой (10.11):

x −5

=

y + 2

=

z −1

или

x −5

=

y + 2

=

z −1

.►

− 4

1

1 −5 4 + 2 2 −1

6

Пусть даны две прямые L1 и L2 с направляющими векторами a1(l1,m1,k1)

и a2 (l2 ,m2 ,k2 ) . Тогда угол ϕ между этими

прямыми можно найти из соотношения:

98

cosϕ =

l1l2 + m1m2 + k1k2

.

(10.12)

l2 + m2

+ k 2

l2 + m2

+ k 2

1

1

1

2

2

2

Из этой формулы можно получить для прямых L1

и L2

условие параллельности (ϕ = 0):

l1

=

m1

=

k1

и условие перпендикулярности (ϕ =π / 2 ):

l2

m2

k2

l1 l2 + m1 m2 + k1 k2 = 0.

Пример 10.9. Найти угол между прямыми

x − 2

=

y +1

=

z −5

и

x − 6

=

y +1

=

z −5

.

2

− 2

6

1

3

− 2

◄В качестве направляющего вектора первой прямой может быть вектор a1(2;−2;1), а второй прямой a2 (6;3;−2) . Для

определения угла между ними воспользуемся формулой (10.12):

cosϕ =			2 6 + (−2) 3 +1 (−2)				=	4	,	ϕ ≈80°.►
								21
2			2 + (−2)2 +12 62 + 32 + (−2)2
Пример 10.10. Написать каноническое уравнение прямой, если она задана общим уравнением
										x − 2y + 3z −1 = 0
											.
										3x + 2y − z + 5 = 0

◄ Вычислим направляющий вектор данной

прямой, как векторное произведений нормальных векторов плоскостей

x −2y +3z −1 = 0 , 3x + 2y − z + 5 = 0.

i

j

k

a =

1

− 2

3

= −4i

+10 j +8k .

3

2

−1

Найдем какую-нибудь точку, лежащую на прямой. Положим

0 − 2y + 3z −1 = 0
		,
	5 = 0
3 0 + 2y − z +

x = 0, а y и z найдем из системы:

y = −3.5.

z = −2

99

Итак, искомая прямая проходит через точку (0;−3.5;−2) параллельно вектору a(−4;10;8) , поэтому ее каноническое уравнение имеет вид:

−x4 = y +103.5 = z +8 2 .►

Определение. Совокупность всех плоскостей, проходящих через одну и ту же прямую, называется пучком

плоскостей.
A x + B y + C z + D				= 0		, имеет вид:
Уравнение пучка плоскостей, проходящих через прямую 1	1	1	1
A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0
α(A1x + B1 y + C1z + D1) + β(A2 x + B2 y + C2 z + D2 ) =					0.		(10.13)

где α и β –действительные числа, α2 + β 2 > 0 .

Определение. Совокупность всех плоскостей, проходящих через данную точку называется связкой плоскостей с

центром в этой точке.
Уравнение связки плоскостей с центром M 0 (x0 , y0 , z0 ) имеет вид:
A(x − x0 ) + B(y − y0 ) + C(z − z0 ) = 0 .	(10.14)
Пример 10.11. Написать уравнение плоскости, проходящей через прямую	пересечения плоскостей
4x −3y −5z + 2 = 0, x + 2y + z −5 = 0 перпендикулярно плоскости 3x − y + z −5 = 0 .

◄Уравнение плоскости, проходящей через прямую пересечения данных плоскостей будет искать в виде (10.13):

α(4x −3y −5z + 2) + β(x + 2y + z −5) = 0 .

x(4α + β) + y(−3α + 2β) + z(−5α + β) + 2α −5β = 0.

Данная плоскость перпендикулярна плоскости 3x − y + z −5 = 0 , следовательно, ортогональны также вектора нормали n1(4α + β;−3α + 2β;−5α + β) и n2 (3;−1;1) этих плоскостей. Приравняем к нулю скалярное произведение нормальных

векторов n1 n2 = 0:

(4α + β) 3 + (−3α + 2β) (−1) + (−5α + β) 1 = 0

10α + 2β = 0 β = −5α .

Подставляя значение β = −5α в общее уравнение плоскости, записанное выше, получим: x(−α) + y(−13α) + z(−10α) + 27α = 0 .

100

Заметим, что α и β одновременно не могут быть равны нулю, причем β = −5α , поэтому α ≠ 0 . Разделим предыдущее выражение на −α и получим уравнение искомой плоскости:

x+13y +10z − 27 = 0 .►

Втеме 9 рассматривалось взаимное расположение двух прямых на плоскости с точки зрения линейной алгебры. Аналогично можно рассмотреть взаимное расположение двух плоскостей, плоскости и прямой, или двух прямых в пространстве.

Рассмотрим взаимное расположение двух плоскостей в пространстве, заданных с помощью общих уравнений

A1x + B1 y + C1z + D1 = 0 и A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0 соответственно, и зависящее от решения системы

A x + B y + C z + D = 0
		1	1	1		1		.			(10.15)
							= 0
A2 x + B2 y + C2 z + D2
Введем обозначения:		A	B	C					D
A =		1	1		1		B =		1		.
		A	B	C		,		D
					2
		2	2						2

Если

r(A) = r(A | B) =1,

т.е.

A1

B1

C1

D1

, то

плоскости

совпадают.

=

= C

=

A

B

D

A1

B1

C1

D1

2

2

2

2

=

= C

≠

, то плоскости параллельны.

В

остальных

случаях

r(A) = 2 , т.е.

A

B

2

D

2

2

2

пересекаются.

Пример 10.12. Исследовать взаимное расположение следующих пар плоскостей:

а)

3x − 2y + z −3 = 0 ,

6x − 4y + 2z − 6 = 0;

Если				r(A) =1, r(A | B) = 2 , т.е.
A1	≠		B1	или	B1	≠	С1		, плоскости
A			B		B
							С	2
2			2		2

б)	3x − 2y + z −3 = 0 ,	6x − 4y + 2z −5 = 0 ;
в)	3x − 2y + z −3 = 0 ,	6x − 4y − 2z − 6 = 0.
◄ а)	Отношения коэффициентов удовлетворяют соотношению:
		3	=	− 2	=	1	=	−3	,
		6		− 4		2		− 6

поэтому рассматриваемые плоскости совпадают.

б) Здесь отношения коэффициентов удовлетворяют соотношению

101

63 = −− 24 = 12 ≠ −−53 ,

поэтому рассматриваемые плоскости параллельны.

в) В этом случае отношения коэффициентов при у и z различны −− 24 ≠ −12 , поэтому рассматриваемые плоскости

пересекаются.►

Рассмотрим взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве, заданных с помощью общих уравнений

A x + B y + C z + D				= 0	и	A3 x + B3 y + C3 z + D3 = 0	соответственно, и зависящее от решения системы
1	1	1	1
A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0
						A x + B y + C z + D = 0
						1	1	1	1
						A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0 .				(10.16)
						A x + B y + C			z + D = 0
						3	3	3	3

Введем обозначения:	A	B	C				D
	1	1		1			1
A = A		B	C		,	B = D		.
	2	2	C	2			2
	A	B		3		D
	3	3					3

Если	r(A) =3(		A		≠ 0), то прямая	и	плоскость пересекаются. Если r(A) = 2, r(A | B) =3, то		прямая и плоскость
параллельны.	Если r(A) = 2, r(A | B) = 2 ,					то	все три плоскости проходят через заданную	прямую,	т.е. прямая лежит в
плоскости.
Всякая плоскость Ax + By + Cz + D = 0 делит пространство на два полупространства.								В одном из них для всех точек
верно Ax + By + Cz + D > 0 , а для другого						Ax + By + Cz + D < 0 . Первое называется положительным полупространством,
а второе – отрицательным полупространством относительно плоскости Ax + By + Cz + D = 0.

НАЧАЛО ТЕМЫ

СОДЕРЖАНИЕ

102