Тема 15. Квадратичные формы.

Определение. Квадратичной формой L(x1 , x2 ,..., xn ) от n переменных называется сумма, каждый член которой

является либо квадратом одной из переменных, либо произведением двух разных переменных, взятых с некоторым коэффициентом.

Введем следующие обозначения для коэффициентов квадратичной формы: коэффициент при xi2 обозначим через aii , а коэффициент при xi x j ,i ≠ j - через 2aij . Поскольку xi x j = x j xi , то aij = a ji . Тогда квадратичная форма примет вид:

n n

L(x1 , x2 ,..., xn ) = ∑∑aij xi x j , гдеaij = a ji .

i=1 j=1

Квадратичную форму можно записать в матричном виде:

a	a	...
11	12
a21	a22 ...
L(x1 , x2 ,..., xn ) = (x1 x2 ... xn )	... ...
...
	an2 ...
an1

или

a1n a2n

...

ann

x1 x2

... xn

L(x , x

2

,..., x

n

) = X T

AX ,

1

a

a

...

a

11

12

1n

T

a21

a22 ...

a2n

-матрица

квадратичной формы.

где X = (x1 x2 ... xn ) -матрица-столбец переменных,

A =

... ... ... ...

an2 ... ann

an1

Заметим, что в силу равенства aij = a ji , матрица квадратичной формы - симметричная.

Матрице столбцу X можно поставить в соответствие вектор x с координатами x1, x2 ,..., xn

в некотором базисе. Тогда

квадратичная форма является способом задания числовой функции векторного аргумента x .

Пример 15.1. Написать матричный вид квадратичной формы L(x , x

2

, x

3

) = x2

+ 5x

2

− 4x2 + 6x x

2

− 4x

2

x

3

.

1

1

2

3

1

130

◄Диагональные элементы матрицы квадратичной формы равны коэффициентам при квадратах переменных, значит

a11 =1, a22 =5, a33 = −4 . Другие элементы – половинам соответствующих коэффициентов квадратичной формы, значит

a12 = a21 = 6 / 2 =3, a23 = a32 = −4 / 2 = −2 , a13 = a31 = 0 / 2 = 0. Следовательно, искомая матрица имеет вид:
	1	3	0
	3	5	− 2		.►
A =
	0	− 2	− 4

~
Теорема. Пусть в евклидовом пространстве матрицы симметрического линейного оператора A и квадратичной формы
L , заданные в ортонормированном базисе, совпадают. Тогда квадратичная форма связана с оператором формулой:
~	(15.1)
L(x) = (A(x),x)

Заметим, что квадратичной форме с матрицей A можно сопоставить симметрическое линейное преобразование также с матрицей A, заданное в ортонормированном базисе.

Определение. Квадратную матрицу U называют ортогональной, если она удовлетворяет условию

U T U = E ,

где E -единичная матрица.

Свойства ортогональных матриц:

1)		U		=1;
2)	U −1 =U T ;
3)	U T U = E .
				cosϕ	−sinϕ
Ортогональной, например, является матрица						.
					cosϕ
				sinϕ

Теорема. В евклидовом пространстве матрица перехода от одного ортонормированного базиса к другому является ортогональной. Любая ортогональная матрица осуществляет переход от одного ортонормированного базиса в другой ортонормированный базис.

Теорема. Пусть линейное преобразование, переводящее вектор y в вектор x задано с помощью невырожденной матрицы T . Тогда матрицы A и A′ квадратичных форм L(x) и L(y) соответственно при линейном преобразовании векторов связаны соотношениями:

131

′

T

AT

,

A = (T

−1

)

T

′

−1

.

(15.2)

A =T

A T

Пример 15.2. Найти матрицу квадратичной формы

L(x) = x2

− 4x2

+ 6x x

2

при линейном преобразовании векторов

x1 = −y1 + 2y2 , x2 =3y1 −5y2 .

1

2

1

−1

2

◄ Матрица

линейного преобразования

векторов

имеет

вид

T =

Матрица

квадратичной

формы

.

−5

1

3

3

L(x) = x2

− 4x2

+ 6x x

. Матрицу искомой квадратичной формы находим из (15.2):

2

имеет вид A =

1

2

1

3

− 4

−1

3 1

3 −1

2

−53

91

′

=T

T

AT =

,

A

=

91

−156

2

−5 3

− 4 3

−5

а сама квадратичная форма имеет вид L(y) = −53y 2

−156y 2

+182y

y

2

.►

1

2

1

n

n

Определение. Квадратичная форма L(x1 , x2 ,..., xn ) = ∑

∑aij xi x j называется

канонической,

если ее коэффициенты aij

i=1 j=1

при i ≠ j

равны нулю:

L(x1 , x2 ,..., xn ) = a11 x12 + a22 x22 +... + ann xn2

Заметим, что матрица канонической квадратичной формы является диагональной. Теорема. Любая квадратичная форма может быть приведена к каноническому виду.

Любой квадратичной форме L можно сопоставить симметрическое линейное преобразование A~ . Тогда задачу о приведении квадратичной формы к каноническому виду можно свести к задаче о приведении к диагональной форме матрицы

преобразования A~ .

Пример 15.3. Квадратичную форму L(x) = −5x12 −8x22 + 4x1 x2 привести к каноническому виду.

◄Введем симметричный оператор A~ , матрицу которого примем равной матрице квадратичной формы

−5		2
A =			.
	2	−8

Составим характеристическое уравнение

132

−5 − λ

2

= λ2

+13λ + 36 = 0

2

−8 − λ

Собственные значения равны λ1 = −4,

λ2 = −9 . Соответствующие собственные векторы x1′ = (2c1;c1) и x′2 = (c2 ;−2c2 ).

Заметим,

что

данные векторы

ортогональны:

(x1′, x′2 ) = 2c1c2

+ c1 (−2c2 ) = 0 .

Ортонормированными являются векторы

x1′ = (2 /

5;1/

5) , x′2 = (1/ 5;−2 /

5) . В данном базисе исходная квадратичная форма имеет канонический вид

′

′2

′2

L(x ) = −4x1

−9x2

Выполним проверочные действия. Действительно,

2

2

′

′2

′2

2

1

1

2

L(x ) = −4x

−9x

= −4

x

+

x

− 9

x

−

x

=

1

2

5

1

5

2

5 1

5

2

= −5x2

−8x2

+ 4x

x

2

.►

1

2

1

Заметим, что при изменении базиса матрицы симметричного линейного преобразования ( A′=T −1 AT , см. 14.8) и квадратичной формы ( A′=T T AT , см 15.2) преобразуются по разным законам. Заметим, что если матрица T осуществляет

переход от ортонормированного базиса к ортонормированному, то T -ортогональная матрица (T −1 =T T ), так что в данном случае законы преобразования совпадают.

Канонический вид квадратичной формы не является однозначно определенным. Например, в примере 15.3 возможен следующий способ решения, путем выделения полного квадрата при переменной x2 .

L(x) = −5x2		−8x2			+ 4x x		2	=
	1			2	1
= −5x2		1	x2	− 2x x			+ 4x2			+	1	x2	= −4.5x2	− 2(0.5x	− 2x		)2 .
	− 2	4									2
1			1		1	2		2				1	1	1		2

В этом случае базис уже не будет являться ортонормированным. Но канонические квадратичные формы, полученные разными способами, будут обладать некоторыми общими свойствами.

Теорема (закон инерции квадратичных форм). Число положительных, отрицательных и нулевых коэффициентов при квадратах переменных канонической квадратичной формы не зависит от способа приведения квадратичной формы к этому виду.

Теорема. Ранг матрицы квадратичной формы равен числу отличных от нуля коэффициентов канонической квадратичной формы и не изменяется при линейных преобразованиях.

133

Определение. Квадратичная форма называется положительно (отрицательно) определенной, если при всех значениях переменных, из которых хотя бы одно отлично от нуля,

L(x1 , x2 ,..., xn ) > 0 (L(x1 , x2 ,..., xn ) < 0)

Положительно определённые и отрицательно определённые формы называются знакоопределёнными. В противном случае квадратичные формы являются знакопеременными.

Теорема. Для того чтобы квадратичная форма была положительно (отрицательно) определенной, необходимо и достаточно, чтобы все собственные числа матрицы квадратичной формы были положительными (отрицательными).

	Определение. Главным минором ∆k порядка k	(1≤ k ≤ n) квадратной матрицы An×n = (aij ) называется определитель
			a11	a12	...	a1k
	∆k	=	a21	a22	...	a2k	.
			... ... ... ...
			ak1	ak 2	...	akk

Теорема (критерий Сильвестра). Для того чтобы квадратичная форма была положительно (отрицательно)

определенной, необходимо и достаточно, чтобы все ее главные миноры были положительны																(чередовали знаки, начиная с
отрицательного).						L = 9x2 +5x2 +12x2
Пример 15.4. Доказать, что квадратичная форма											− 4x x	2	−10x x	3	+ 2x		2	x	3	является положительно
определенной.								1	2	3	1		1
◄ Способ №1. Матрица квадратичной формы имеет вид							9	− 2	−5
			A =				− 2	5	1
										.
							−5	1	12
Составим характеристическое уравнение для данной матрицы
	9 − λ	− 2	−5					λ3 − 26λ2 +183λ −378 = 0.
	− 2	5 − λ	1		= 0
	−5	1	12 − λ
																				134

Решая уравнение, находим λ1 = 6, λ2 =10 + 37, λ3 =10 − 37 . Все корни характеристического уравнения положительны,

следовательно, на основании теоремы исходная квадратичная форма является положительно определенной. Способ №2. Найдем главные миноры матрицы квадратичной формы:

					9	− 2				9	− 2	−5		=378 > 0 .
∆1 =		9		=9 > 0, ∆2 =				= 41 > 0,		− 2	5	1
					− 2	5				−5	1	12

Все главные миноры положительны. Следовательно, данная квадратичная форма является положительно определенной ►

НАЧАЛО ТЕМЫ

СОДЕРЖАНИЕ

135