Тема 2. Определители.

Любой квадратной матрице можно поставить по определенным правилам в соответствие число, которое называется

определителем (детерминантом) матрицы. Пусть дана квадратная матрица

a	a	...	a
11	12		1n
a21	a22	...	a2n		,
A =		...	...
... ...
	an2	...
an1			ann

тогда ее определитель можно обозначить следующим образом:

a11	a12	...	a1n
a21	a22	...	a2n		,		A		, det A.
... ... ... ...
an1	an2	...	ann

Иногда для обозначения определителя произвольной матрицы используется символ ∆.

Определителем матрицы первого порядка (a11 ) назовем число

Пример 2.1. Пусть A = (5). Тогда

A

=

5

=5.

a11

= a11.

Пример 2.2. Пусть B = (− 7). Тогда

B

=

− 7

= −7 .

a

a

назовем число

Определителем матрицы второго порядка 11

12

a22

a21

a11	a12		= a	a	22	− a	a	21	.
a21	a22		11			12

Схема вычисления определителя второго порядка:

12

a11

a12

= +a11

a12 − a11

a12

a21

a22

a21

a22

a21

a22 .

Пример 2.3.

5

7

. Тогда

A

=

5

7

=

5

2 − 7

1 =10 − 7 =3.

Пусть A =

1

2

1

2

2

−3

Пример 2.4.

= 2 4 − (−3) 1 =8 + 3 =11.

1

4

a

a

a

11

12

13

Определителем матрицы третьего порядка

a21

a22

a23

назовем число

a32

a33

a31

a11	a12	a13		={a11 a22 a33 + a31 a12 a23			}−
a21	a22	a23			+ a21 a32	a13		(2.1)
a31	a32	a33
				−{a31 a22 a13 + a21 a12 a33 + a11 a32 a23}

Правило треугольников вычисления определителей третьего порядка: первое из трех слагаемых, входящих в сумму (2.1) со знаком «+», есть произведение элементов главной диагонали, второе и третьепроизведения элементов, находящихся в вершинах двух треугольников с основаниями, параллельными главной диагонали. Три следующих слагаемых, входящих в данную сумму со знаком «-», определяются аналогично, но относительно побочной диагонали.

Схема правила треугольников вычисления определителя третьего порядка:

a11	a12	a13		a11	a12	a13	a11	a12	a13
a21	a22	a23		= +a21	a22	a23	−a21	a22	a23
a31	a32	a33		a31	a32	a33	a31	a32	a33

13

Пример 2.5. Вычислить определитель		3	−4	6
		2	−3	1		.
		−3	5	1

	3	−4	6		={3 (−3) 1+(−3) (−4) 1+ 2 5 6}−
	2	−3	1
	−3	5	1

−{(−3) (−3) 6 + 2 (−4) 1 + 3 5 1}=

={−9 +12 + 60}−{54 −8 +15}= 63 − 61 = 2 . 

Правило Саррюса вычисления определителей третьего порядка: справа от определителя приписываются его первые два столбца; первые три слагаемых входящих в сумму (2.1) со знаком «+», есть произведение элементов главной диагонали и элементов на прямых, параллельных ей. Три следующих слагаемых, входящих в данную сумму со знаком «-», определяются аналогично, но относительно побочной диагонали.

Схема правила Саррюса вычисления определителя третьего порядка:

Пример 2.6. Вычислить определитель		3	−7	−2
		1	0	2		.
		−2	3	1



14

	3	−7	−2			3	−7	−2	3		−7
						1	0	2	1		0
	1	0	2		=							=
	−2	3	1			−2	3	1	−2		3
					−	−	−	+		+		+
={3 0 1+(−7) 2 (−2) +(−2) 1 3}−{(−2) 0 (−2) +3 2 3 +(−7) 1 1}=
={0 + 28 −6}−{0 +18 −7}= 22 −11 =11.												
		Определение. Минором Мij							элемента аij определителя матрицы A n-го порядка называется определитель матрицы (n-

1)-го порядка, которая получается из матрицы A вычёркиванием i-ой строки и j-го столбца.

Определение. Алгебраическим дополнением Aij элемента аij определителя матрицы называется его минор, взятый со знаком (−1)i+ j :

																															A = (−1)i+ j M	ij	.
																															ij
Пример 2.7. Найти все миноры и алгебраические дополнения определителя																																			3		− 7		.
																																			4		−11
 M	11	=						−11										= −11	A = (−1)1+1	M		11			= M		11		= −11
																			11
M	12	=					4						= 4						A = (−1)1+2		M		12			= −M			12		= −4
																			12
M	21	=								− 7						= −7			A = (−1)2+1		M		21			= −M			21		= 7
																			21
M	22	=								3				=3					A = (−1)2+2		M			22		= M		22		=3 
																			22
Пример 2.8. Найти все миноры и алгебраические дополнения определителя																																				3	− 4			6		.
																																				2	−3			1
																																				−3	5			1

 M	11	=		−3	1		= −3 −5 = −8	A = (−1)1+1	M	11	= M	11	= −8
				5	1			11

15

M12 =

2

1

= 2 + 3 =5

−3

1

2 −3

=10 −9 =1

M13 =

−3

5

M 21 =

− 4 6

= −4 −30 = −34

5

1

M 22 =

3 6

=3 +18 = 21

−3

1

M 23 =

3 − 4

=15 −12 =3

−3

5

M31 =

− 4 6

= −4 +18 =14

−3

1

M32 =

3 6

=3 −12 = −9

2

1

M33 =

3 − 4

= −9 +8 = −1

2

−3

A12 = (−1)1+2 M12 = −M12 = −5

A13 = (−1)1+3 M13 = M13 =1

A21 = (−1)2+1 M 21 = −M 21 =34

A22 = (−1)2+2 M 22 = M 22 = 21

A23 = (−1)2+3 M 23 = −M 23 = −3

A31 = (−1)3+1 M31 = M31 =14

A32 = (−1)3+2 M32 = −M32 =9

A33 = (−1)3+3 M33 = M33 = −1 

Теорема (Лапласа). Определитель квадратной матрицы равен сумме произведений элементов любой строки или столбца на их алгебраические дополнения:

∆ = ai1Ai1 + ai2 Ai2 +... + ain Ain

(разложение по элементам i-ой строки; i=1..n)

∆ = a1 j A1 j + a2 j A2 j +... + anj Anj

(разложение по элементам j-го столбца; j=1..n).

16

Пример 2.9. Найти определитель		−3	2	−1		, используя теорему Лапласа.
		− 4	5	− 2
		7	4	1

 Раскладывая данный определитель по элементам первой строки, получаем:

	−3	2			−1				= −3 A11 + 2 A12 −1 A13 =
	− 4 5				− 2
	7	4			1
= −3 (−1)1+1 M11 + 2 (−1)1+2 M12 −1 (−1)1+3 M13 = −3 M11 − 2 M12 − M13 =
= −3				5	− 2				− 2		− 4	− 2		−		− 4	5		= −3 13 − 2 10 − (−51) = −8 . 
				4	1						7	1				7	4
																				3	0	7	1
			Пример 2.10. Вычислить определитель																	−1	−5	2	− 4	.
																				1	2	3	5
																				4	0	9	1

Вычислим данный определитель разложением по элементам второго столбца:

∆= 0 A12 + (−5) A22 + 2 A32 + 0 A42 = −5A22 + 2A32 = −5M 22 − 2M32

Выбор второго столбца для разложения определителя не случаен. Поскольку он содержит два нуля, то вместо четырех, нужно вычислить только два минора.

M 22 =		3	7	1		M32 =		3	7	1
		1	3	5	= 4			−1 2		− 4	= −8
		4	9	1				4	9	1

∆ = −5M 22 − 2M32 = −5 4 − 2 (−8) = −4

17

Вычислить миноры M 22 и M32 можно по правилу треугольников, по правилу Саррюса или по теореме Лапласа.

Студентам рекомендуется их вычислить самостоятельно.  Следствие (из теоремы Лапласа). Определитель квадратной матрицы равен сумме произведений элементов любой

строки или столбца, взятых с учетом знака (со знаком «+», если сумма нижних индексов элемента четная, и со знаком «-» в противном случае), на их миноры.

Знак элемента, который нужно учитывать при разложении, принято указывать справа над элементом.

Пример 2.11. Найти определитель		−3	2	−1		, используя следствие из теоремы Лапласа.
		− 4	5	− 2
		7	4	1

 Вычислим данный определитель также разложением по элементам первой строки:

	−3+		2− −1+					= −3 M11 − 2 M12 − M13 =
	− 4 5			− 2
	7	4		1
= −3			5	− 2		− 2				− 4	− 2		−		− 4	5		= −3 13 − 2 10 − (−51) = −8 .
			4	1						7	1				7	4

Вычислим данный определитель разложением по элементам второго столбца:

−3

2−

−1

− 4

5+

− 2

= −2 M12 + 5 M 22 − 4 M32 =

7

4−

1

= −2

− 4 − 2

+ 5

−3 −1

− 4

−3

−1

= −2

10

+ 5 4 − 4 2 = −8.

7

1

7 1

− 4

− 2

Из данного примера видно, что результат, полученный разложением по первой строке и по второму столбцу, один и тот же. В этом и заключается суть теоремы Лапласа.

18

	3	1	− 2	1
Пример 2.12. Вычислить определитель	−1	2	0	1		.
	5	− 7	1	− 2
	−3	4	−3	1

 Вычислим данный определитель разложением по элементам третьего столбца:

3	1	− 2+	1		−1	2	1		3	1	1			3	1	1
−1	2	0−	1
				= −2	5 − 7 − 2			+1	−1	2	1		+ 3	−1 2		1	=
5	− 7	1+	− 2
					−3	4	1		−3	4	1			5	− 7	− 2
−3	4	−3−	1

= −2 0 +1 (−6) + 3 9 = 21.

Вычислить три минора третьего порядка можно по правилу треугольников, по правилу Саррюса или по теореме Лапласа. Студентам рекомендуется их вычислить самостоятельно. 

Свойства определителей:

1.Если какая-либо строка (столбец) матрицы состоит из одних нулей, то ее определитель равен нулю.

2.Если все элементы какой-либо строки (столбца) определителя умножить на произвольное число, то весь определитель умножится на это число.

3.При транспонировании квадратной матрицы ее определитель не изменяется.

4.Если две строки (два столбца) определителя поменять местами, то определитель сменит знак на противоположный.

5.Если определитель содержит две одинаковые строки (два столбца), то определитель равен нулю.

6.Если элементы двух строк (двух столбцов) определителя пропорциональны, то определитель равен нулю.

7.Если в определителе каждый элемент какой-либо строки (столбца) есть сумма двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей, в которых эта строка (столбец) заменена слагаемыми.

8.Если ко всем элементам любой строки (столбца) определителя прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на произвольное число, то определитель не изменится.

19

Пример 2.13. Вычислить определитель		1	4	1
		−5	− 20	3	, используя его свойства.
		4	5	− 2

 Воспользуемся свойством №8: прибавим к элементам второй строки соответствующие элементы первой строки, умноженные на пять:

1	4	1		+ 5I =		1	4	1		.
−5 − 20 3						0	0	8
4	5	− 2				4	5	− 2

Раскладывая полученный определитель по элементам второй строки, получаем:

		1	4	1			1	4
		0	0	8−	= −8				= −8 (−11) =88.
		4	5	− 2			4	5
			5	2	0	4
Пример 2.14. Вычислить определитель			−7	7	14	−14		, используя его свойства.
			5	7	8	2

4 3 2 1

Воспользуемся свойством №2: вынесем общий множитель элементов второй строки 7 за знак определителя:

	5	2	0	4		5	2	0	4
∆ =	− 7	7	14 −14		= 7	−1	1	2	− 2
	5	7	8	2		5	7	8	2
	4	3	2	1		4	3	2	1

Снова воспользуемся свойством №2: вынесем общий множитель элементов третьего столбца 2 за знак определителя:

20

	5	2	0	4		5	2	0	4
∆ = 7	−1	1	2	− 2	= 7 2	−1	1	1	− 2
	5	7	8	2		5	7	4	2
	4	3	2	1		4	3	1	1

Воспользуемся свойством №8: вычтем из элементов четвертой строки соответствующие элементы второй строки и из элементов третьей строки соответствующие элементы второй строки, умноженные на четыре:

	5	2	0	4			5	2	0	4
∆ =14	−1	1	1	− 2	− 4II	=14	−1 1		1	− 2
	5	7	4	2			9	3	0	10
	4	3	1	1	− II		5	2	0	3

Раскладывая полученный определитель по элементам третьего столбца, получаем:

	5	2	0	4		5	2	4
∆ =14	−1 1		1−	− 2	=14 (−1)
						9 3		10
	9	3	0	10		5	2	3
	5	2	0	3

Воспользуемся свойством №8: вычтем из элементов первой строки соответствующие элементы третьей строки и затем выполним разложение по элементам первой строки:

		5	2	4		− III			0	1+		9	3
								0
∆ =14 (−1)		9	3	10			= −14	9	3	10	= −14			= −14 3 = −42. 
		5	2	3				5	2	3		5	2

НАЧАЛО ТЕМЫ

СОДЕРЖАНИЕ

21