Тема 8. Векторы на плоскости и в пространстве.

Определение. Вектором на плоскости или в пространстве называется направленный отрезок, имеющий начальную и конечную точки.

Вектора могут обозначаться как двумя прописными буквами (означающими начало и конец вектора), так и одной строчной буквой с чертой или стрелкой сверху, или выделенными жирным шрифтом:

AB , AB , a , a , AB,a .

Начальную точку вектора можно выбирать произвольно, т.е их можно переносить параллельно самим себе. Определение. Векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых, называются коллинеарными. Определение. Два вектора называются ортогональными, если угол между ними равен π / 2.

Коллинеарность векторов обозначается с помощью символа ||, а ортогональность - . Определение. Вектор 0 , у которого начало и конец совпадают, называется нулевым. Предполагается, что нулевой вектор коллинеарен и ортогонален любому вектору.

Определение. Векторы, лежащие в одной плоскости или на параллельных плоскостях, называются компланарными. Определение. Длиной (нормой или модулем) | AB | вектора AB называется число, равное длине отрезка AB ,

изображающего вектор.

Определение. Два вектора называются равными, если они коллинеарны, одинаково направлены и равны по длине. Определение. Произведением вектора a на число λ называется вектор b = λa , длина которого равна | b |= λ a , а

направление совпадает с направлением вектора a , если λ > 0 и противоположно ему, если λ < 0 .

Определение. Противоположный вектору a называется вектор (−1) a или − a .

Определение. Суммой векторов a и b называется вектор c = a + b , начало которого совпадает с началом вектора a , а конец с концом вектора b , если b выходит из конца a (правило треугольника).

Определение. Разностью двух векторов a и b называется сумма вектора a и вектора −b , противоположного b .

В параллелограмме, построенном на векторах a = AB и b = AD , одна диагональвектор c = AC - представляет сумму

векторов a и b , а другая диагональвектор d = DB - их разность (рис.8.1).

Свойства линейных действий над векторами:

1. a + b =b + a

71

2.(a + b ) + c = a + (b + c)

3.α(a + b ) =αa +αb

4.a +0 = a

5.0 a =0

	B						C
	a				с = a +
						b
			с = a −
				b
A					D
		b

Рис.8.1. Сумма и разность векторов.

Определение. Координатами вектора называются координаты его конечной точки, при условии, что начальная точка вектора лежит в начале координат.

Координатами вектора a =OM0 на прямой Oх является одно число (a(x0 )) , на плоскости Oxy - два числа ( a(x0 ; y0 ) )(рис. 8.2.), а в пространстве Oxyz –три числа ( a = (x0 ; y0 ; z0 ) )(рис. 8.3.).

72

y			z
			z0
y0	M0
	a			M0
			a
O	x0	x	O		y0	y
			x0
			x
Рис.8.2. Координаты вектора			Рис.8.3. Координаты вектора
на плоскости Oxy.			в пространстве Oxyz.

Длину вектора можно найти по формулам, приведенным в таблице 8.1.

Таблица 8.1.

Длина вектора a

на прямой Ох

на плоскости Оху

в пространстве Охуz

a(x0 )

a(x0 , y0 )

a(x0 , y0 , z0 )

a

=

x0

a

=

x02 + y02

a

=

x02 + y02 + z02

Определение. Вектор единичной длины с направлением, совпадающим с направлением координатной оси, называется

единичным вектором или ортом этой оси.

Рассмотрим орты i , j , направленные вдоль осей Ox,Oy плоскости Oxy соответственно. Тогда вектор a =OM0 = (x0 ; y0 ) (рис.8.4) может быть представлен в виде

a =

=

+

OM0

OA

OB

(8.1)

= x0 i

+ y0 j

73

называются компонентами или составляющими вектора a = x0i + y0 j + z0k .

Используя разложение вектора по ортам координатных осей, можно получить формулы линейных действий над векторами в координатах, которые приведены в таблице 8.2.

Таблица 8.2

y

B y0

M0

1

a = x0i

+ y0 j

j

0

A x0

x

i

1

Рис.8.4. Разложение вектора по ортам координатных осей.

Аналогично, в пространстве Oxyz вектор a =OM0 = (x0 ; y0 ; z0 ) может быть представлен в виде

OM0

(8.2)

= x0 i

+ y0 j + z0 k ,

где i , j,k -орты, направленные вдоль осей Ox,Oy,Oz соответственно.

Формулы (8.1) и (8.2) называются разложением вектора по ортам координатных осей. Векторы x0i , y0 j, z0k

Линейные действия над векторами в координатах

на прямой Ох

на плоскости Оху

в пространстве Охуz

a = (x1 ),

= (x2 )

a = (x1, y1 ),

= (x2 , y2 )

a = (x1, y1, z1 ),

= (x2 , y2 , z2 )

b

b

b

λ a = (λx1 )

λa = (λx1,λy1 )

λa = (λx1,λy1,λz1 )

a ±

= (x1 + x2 )

a ±

= (x1 + x2 , y1 + y2 )

a ±

= (x1 ± x2 , y1 ± y2 , z1 ± z2 )

b

b

b

Пусть даны две точки A и B . Рассмотрим три вектора

,

,

, где т.О-начало координат. Тогда,

=

−

.

AB

OA

OB

AB

OB

OA

Координаты векторов

,

совпадают с координатами точек

A и B соответственно. Поэтому, координаты вектора

и

OA

OB

AB

соответственно его длину, можно найти по формулам, приведенным в таблице 8.3.

74

Таблица 8.3.

Координаты и длина вектора

AB

на прямой Ох

на плоскости Оху

в пространстве Охуz

(xB − xA )

(xB − xA , yB − yA )

(xB − xA , yB − yA , zB − zA )

AB

AB

AB

xB − xA

=

AB

=

AB

=

(xB − xA )2 +(yB − yA )2

AB

(xB − xA )2 + (yB − yA )2 +(zB − zA )2

Определение. Скалярным произведением двух векторов

a

и

называется число, обозначаемое как (a,

) или a

,

b

b

b

равное произведению длин этих векторов на косинус угла ϕ между ними, т.е. a b = a b cosϕ .

Теорема. Необходимым и достаточным условием ортогональности двух векторов является равенство нулю их скалярного произведения, т.е.

a b = 0 a b .

Теорема. Два ненулевых вектора a и b составляют острый (тупой) угол тогда и только тогда, когда их скалярное произведение положительно (отрицательно).

Свойства скалярного произведения:

1.a b =b a

2.(λ a ) b = λ (a b )

3.a (b + с)= a b + a c

4.a 2 = a 2

Пример 8.1.

π

Найти длину вектора с

= 2a −5b, если

a

=3,

b

= 4,

угол между векторами

a

и b

равен

ϕ =

3 .

◄Используя свойства скалярного произведения, получаем:

c

=

=

4a 2 − 2 2a 5

+ 25

2

=

=

(2a −5

) (2a −5

)

c c

b

b

b

b

=

36 − 20 3 4

1

+ 400 =

= 2

.►

316

79

2

2

2

2

2

2

2

= 4

a

− 20 a b + 25

b

=

4a

− 2

2a 5b +

25b

=

4

a

− 20 a b + 25

b

=

75

Теорема (выражение скалярного произведения через координаты). Скалярное произведение векторов a = (ax ,ay ,az ) и

= (bx ,by ,bz ) равно сумме произведений их одноименных координат:

b

a

= ax bx + ay by + az bz .

(8.3)

b

Следствие. Косинус угла ϕ между векторами a = (ax ,ay ,az ) и

= (bx ,by ,bz )

равен

b

cosϕ =

ax bx + ay by + az bz

(8.4)

ax2 + a2y

+ az2

bx2 +by2 +bz2

Следствие. Два вектора a = (ax ,ay ,az ) и

= (bx ,by ,bz )

ортогональны тогда и только тогда, когда сумма произведений

b

их одноименных координат равна нулю, т.е.

a b ax bx + ay by + az bz = 0 .

Пример 8.2. Найти скалярное произведение векторов a = 2i − j + 7k и b = −6i + 3 j + k .

◄По формуле (8.3) имеем a b = 2 (−6) + (−1) 3 + 7 1 = −8 .►

Пример 8.3. Доказать, что векторы a = (4;−2;1), b = (2;3;−2) ортогональны.

◄ Найдем скалярное произведение векторов a и b по формуле (8.3):

a b = 4 2 + (−2) 3 +1 (−2) = 0 .

Следовательно, векторы a и b перпендикулярны.►

Определение. Упорядоченная тройка некомпланарных векторов a,b,c называется правой, если после приведения этих

векторов к общему началу c конца третьего вектора c кратчайший поворот от a к b виден совершающимся против часовой стрелки. В противном случае данная тройка векторов называется левой.

На рисунке 8.5. тройка векторов a,b,c-правая, а на рисунке 8.6. a,b,c-левая.

76

c

c

a

b b

a

Рис. 8.5. Пример правой тройки

Рис. 8.6. Пример левой тройки

векторов

a

,

b

,

c

.

векторов

a

,

b

,

c

.

Рассмотрим две группы троек векторов

ab c, b ca, cab , b ac, acb , cb a .

Из определения следует, что внутри каждой группы тройки векторов имеют одинаковую ориентацию, причем тройки векторов первой и второй группы имеют противоположные ориентации.

Определение. Векторным произведением вектора a на вектор b называется вектор c , обозначаемый как c = a ×b или c =[a,b ]и удовлетворяющий следующим трем условиям:

1) вектор c ортогонален к каждому из векторов a и b ;

2) длина вектора с равна произведению длин векторов a и b на синус угла ϕ между ними, т.е.

c= [a,b ]= a b sinϕ ;

3)вектор с направлен так, что тройка векторов a,b,c является правой.

Теорема. Необходимым и достаточным условием коллинеарности двух векторов является равенство нулю их векторного произведения.

77

Свойства векторного произведения:

1.a ×b = −(b ×a) ;

2.λ (a ×b ) = (λ a) ×b = a ×(λ b ) ;

3.(a + b ) ×c = a ×c + b ×c ;

Теорема. Векторное произведение вектора a = (ax ,ay ,az ) на вектор b = (bx ,by ,bz ) удовлетворяет следующему равенству:

i

j

k

a ×

=

ax

ay

az

.

(8.5)

b

bx

by

bz

Следствие. Если два вектора a = (ax ,ay ,az ),

= (bx ,by ,bz )коллинеарны, то их координаты пропорциональны, т.е

b

a

x =

ay

=

a

z .

by

bx

bz

Пример 8.4. Найти векторное произведение векторов a = 4i

−5 j + k

и b =3i

+ 7k .

◄Воспользуемся формулой (8.5):

a ×			i	j	k
		=	4	−5	1		.
	b
			3	0	7

Вычислим данный определитель разложением по первой строке:

			i				j		k						−5	1				4	1				4	−5
a ×		=	4			−5			1
	b																												− 25		+15k .►
												=i			0	7	−	j		3	7	+ k			3	0	= −35i			j
			3			0			7

78

Теорема. Площадь параллелограмма

, построенного на приведенных к общему началу векторах

a

и

равна длине,

b

а площадь треугольника S∆ – половине длины векторного произведения a ×

,т.е.

b

=

a ×

,

S∆ = 1

a ×

.

(8.6)

b

b

2

Пример 8.5. Найти площадь треугольника с вершинами A(1;2;0), B(3;2;1), C(-2;1;2).

◄Найдем координаты векторов AB и AC :

AB = (3 −1;2 − 2;1 − 0) = (2;0;1) .

AC = (−2 −1;1 − 2;2 − 0) = (−3;−1;2)

Найдем их векторное произведение:

i

j

k

0

1

2

1

2

0

×

=

2

0

1

− 7

.

AB

AC

− 2k

=i

−1

2

−

j

−3

2

+ k

−3

−1

=i

j

−3

−1

2

По формуле (8.6) имеем:

1

1

= 1

3

S∆ =

×

=

12

+ (−7)2 + (−2)2

=

.►

AB

AC

54

6

2

2

2

2

Определение. Смешанным произведением трех векторов

a

,

,

и

c

называется число, обозначаемое a

c и равное

b

b

скалярному произведению вектора a ×

на вектор

c

, т.е.

b

a

c = (a ×

) c

b

b

Свойства смешанного произведения:

1. (a ×b ) c = a (b ×c)

2. ab c =b ca = cab = −acb = −b ac = −cb a

Теорема. Смешанное произведение векторов a = (ax ,ay ,az ),		= (bx ,by ,bz )	и с = (сx ,сy ,сz ) удовлетворяет
	b
следующему равенству:

79

		ax	ay	az
a		с = bx	by	bz .	(8.7)
	b

cx cy cz

Пример 8.6. Найти смешанное произведение векторов a = (1;3;−2) b = (2;1;3) и с = (1;1;4).

◄По формуле 8.7 имеем

			1	3	− 2
a		с =	2	1	3	= −16.►
	b
			1	1	4

Теорема. Смешанное произведение a

c равно объему параллелепипеда V ,

построенного на приведенных к общему

b

началу векторах

a

,

и

c

, взятому со знаком плюс, если тройка векторов a,

, c

правая, и со знаком минус, если тройка

b

b

a,

, c левая, т.е.

b

+ a

c,

если a

c − правая тройка векторов;

b

b

V =

если ab c − леваятройка векторов.

− ab c,

Следствие.

Смешанное произведение a

c

положительно, если тройка векторов a

c правая и отрицательно, если

b

b

тройка векторов ab c левая.

Следствие. Необходимым и достаточным условием компланарности трех векторов является равенство нулю их смешанного произведения.

Следствие. Объем треугольной пирамиды, построенной на векторах a ,b и c равно:

V	=	1		a		c			(8.8)
					b
пир		6
Пример 8.7. Найти объём треугольной пирамиды с вершинами A(1;2;1),	B(2;5;3),								C(2;1;2), D(3;4;-2).

◄ Найдем координаты векторов AB , AC и AD (рис 8.6):

80

a =

= (2 −1;5 − 2;3 −1) = (1;3;2),

A

AB

a

b = AC = (2 −1;1 − 2;2 −1) = (1;−1;1),

B

c = AD = (3 −1;4 − 2;−2 −1) = (2;2;−3).

b

Вычислим смешанное произведение векторов ab c :

с

1

3

2

D

a

с =

1

−1

1

= 24

b

C

2

2

−3

Рис 8.7. Рисунок к

По формуле (8.8) имеем:

примеру 8.7.

Vпир = 16 24 = 4.►

Пример 8.8. Доказать, что точки A(3;-4;2),B(7;4;1),C(6;-2;3),D(1;0;-1) лежат в одной плоскости.

◄Найдем координаты векторов AB , AC и AD : a = AB = (7 −3;4 − (−4);1 − 2) = (4;8;−1),

b= AC = (6 −3;−2 − (−4);3 − 2) = (3;2;1),

c= AD = (1 −3;0 − (−4);−1 − 2) = (−2;4;−3).

Далее вычислим смешанное произведение этих векторов:

				4	8	−1
a		с =		3	2	1		= 0 .
	b
				− 2	4	−3

Оно равно нулю, следовательно, векторы AB , AC и AD компланарны и точки A,B,C,D лежат в одной плоскости.►

НАЧАЛО ТЕМЫ

СОДЕРЖАНИЕ

81