Тема 4. Ранг матрицы.

Определение. Минором порядка k заданной матрицы называется определитель любой квадратной матрицы k-го порядка, которая находится на пересечении произвольных k строк и k столбцов исходной матрицы.

Теперь минор связывается с набором строк и столбцов, а не с элементом определителя. В определении минора порядка k не указан вид исходной матрицы. Это значит, что оказавшееся ранее полезным понятие, обобщается на более сложные ситуации.

	4	5	2
Пример 4.1. В матрице	3	1	2		выписать миноры всех возможных порядков
	− 2	0	5

 Выпишем сначала все миноры первого порядка. Для этого выберем в данной матрице одну строку и один столбец, например, 1-ю строку и 1-ый столбец. Тогда на их пересечении окажется только один элемент a11 = 4 . Рассмотрим минор,

состоящий из этого элемента 4 = 4 . Это и будет один из миноров первого порядка данной матрицы. Укажем остальные

миноры первого порядка:
5 =5	2 = 2	3 =3	1 =1	− 2 = −2	0 = 0 .

Далее выпишем все миноры второго порядка. Для этого выберем в данной матрице две строки и два столбца, например,

1-ые и 2 -ые. Тогда на их пересечении окажутся четыре элемента. Рассмотрим минор, состоящий из них		4	5		= −11. Это
		3	1

будет один из миноров второго порядка данной матрицы. Ниже выписаны остальные миноры второго порядка:

32

4				5	2
	2	= 2				=8
3	2			1	2
4		5		4		2		= 24		5	2		= 25
			=10
− 2		0		− 2		5				0	5
3	1			3		2				1	2
			= 2					=19					=5
− 2		0		− 2		5				0	5

Минор третьего порядка в данном случае один и будет совпадать с минором самой матрицы, поскольку для его построения выбираются все строки и все столбцы (по три).

4	5	2		1	2		3 2		3 1
3	1	2	= 4			−5		+ 2		= 4 5 −5 19 + 2 2 = −71.
− 2	0	5		0	5		− 2 5		− 2 0

Определение. Рангом матрицы называется максимальный порядок отличного от нуля минора этой матрицы. Ранг матрицы A обозначается rang(A) или r(A) .

Из определения следует:

• Ранг матрицы не превосходит меньшего из ее размеров, т.е.

r(Am×n ) ≤ min(m, n) .

• Ранг матрицы равен нулю тогда и только тогда, когда все элементы матрицы равны нулю, т.е. r(A) = 0 A =O .

• Для квадратной матрицы n -го порядка ранг равен n тогда и только тогда, когда матрица невырожденная,т.е.

r(An×n ) = n A ≠ 0 .

Определение. Базисным минором матрицы называется любой отличный от нуля минор, порядок которого равен рангу данной матрицы. Строки, которые входят в базисный минор, называются базисными строками, а столбцы – базисными столбцами.

Заметим, что базисных миноров может быть несколько.

Пример 4.2. Определить ранг матрицы из примера 4.1. и указать базисный минор.

33

			4	5	2
	Максимально возможный порядок минора матрицы из примера 4.1. равен трем. Матрица		3	1	2		имеет только
			− 2	0	5

один минор третьего порядка		4	5	2		и он отличен от нуля. Поэтому ранг исходной матрицы равен трем. Указанный
		3	1	2
		− 2	0	5

	минор является базисным.		3	1	− 2	7	0
	Пример 4.3. Определить ранг матрицы								и указать базисный минор.
		А=
			1	2	0	5	2

 Данная матрица имеет 2 строки и 5 столбцов. По первому свойству ранга матрицы r(А2×5 ) ≤ min(2,5) или r ≤ 2. Рассмотрим миноры второго порядка. Поскольку в данной матрице две строки, то обе их выберем при формировании

минора. Выберем также 1-ый и 2-ой столбцы. На их пересечении будет минор		3	1		=5 . Он отличен от нуля, поэтому
		1	2

r(А) = 2 . Данный минор можно принять за базисный. Если выбирать другие столбцы, то получаться другие миноры второго

порядка, которые в данном случае также будут отличны от нуля. Всего в матрице А можно выделить 10 миноров второго порядка. Ниже представлены некоторые из них:

		3	− 2		= 2		3	7			=8		3	0		= 6 .
		1	0				1		5				1	2
Любой из них можно принять за базисный. 		1	0	3		7
Пример 4.4. Определить ранг матрицы		1	0	2		7			и указать базисный минор.
		3	0	5
						21

34

Данная матрица имеет 3 строки и 4 столбца. По первому свойству ранга матрицы r ≤ min(3,4) или r ≤3. Вычислим все

миноры третьего порядка:
	1	0	3		1	0	7		1	3	7		0	3	7		= 0.
	1	0	2	= 0,	1	0	7	= 0,	1	2	7	= 0,	0	2	7
	3	0	5		3	0	21		3	5	21		0	5	21

Все миноры третьего порядка равны нулю, поэтому r ≤ 2. Далее рассмотрим миноры второго порядка. Всего в данной матрице можно выделить 18 таких миноров. В данном случае всех их выписывать не нужно, достаточно найти один,

отличный из нуля. Рассмотрим минор, находящийся на пересечении 1-ой, 2-ой строк и 1-го, 3-го столбцов:		1	3		= −1.
		1	2

Следовательно, r = 2 . Данный минор можно принять за базисный. Базисными будут также миноры:

	1	2		= −1		3	7		= 7		2	7		= 7 .
	3	5				2	7				5	21

Поиск ранга матрицы большого порядка перебором миноров является трудоемкой задачей. Рассмотрим далее более эффективный метод определения ранга матрицы.

К введенным ранее трем типам элементарных преобразований матрицы добавим еще два:

4.Отбрасывание нулевой строки или столбца.

5.Транспонирование матрицы.

Теорема. Ранг матрицы не изменяется при ее элементарных преобразованиях.

	1	2	0	−1	0	3
	0	0	0	0	0	0
Пример 4.5. Определить ранг матрицы	3	6	0	2	0	1	.
	5	10	0	−1	0	5
	0	0	0	0	0	0

Отбросим из данной матрицы нулевые строчки и столбцы:

35

		1	2	0	−1	0	3
		0	0	0	0	0	0		1 2		−1 3
		3	6	0	2	0	1			3 6	2 1
									~			.
										5 10	−1 5
	5 10			0	−1	0	5
		0	0	0	0	0	0

Из второго столбца вычтем первый столбец, умноженный на два, и отбросим нулевой второй столбец:

		−2I
1		2	−1	3		1		0	−1	3		1		−1	3
	3	6	2 1			~	3	0	2 1			~	3	2 1		.
	5	10	−1	5			5	0	−1	5			5	−1	5

Рассмотрим единственный минор третьего порядка.

	1	−1	3			2 1		3	1		3	2		=11 +10 −39 = −18.
	3	2 1			=1		− (−1)			+ 3
	5	−1	5			−1 5		5	5		5	−1

Он отличен от нуля, поэтому r =3.

Определение: Матрица называется ступенчатой при условии, что для всех ее строк верно, что если в i-ой строке первый отличный от нуля элемент стоит на k-ом месте, то во всех последующих строках матрицы все элементы на первых k местах равны нулю.

Пример 4.6. Ступенчатыми являются, например, матрицы:

36

																		4	5	2
	3 5		−1 2	9					−2		7	5	3					0	0	2
							A	=		0	6	7	2			A	=	0	0	0	.
A	=	0 0	4 2	1		,									,
1							2									3
		0 0	0 0	0						0	0	4	3					0	0	0
																		0	0	0

Заметим, что любую матрицу можно привести к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований строк. Теорема (о ступенчатой матрице). Ранг ступенчатой матрицы равен количеству ее ненулевых строк.

Пример 4.7. По теореме о ступенчатой матрице ранги матриц из примера 4.6. равны:

	r(A1) = 2 ,				r(A2 ) =3, r(A3 ) = 2 .
			2	3	5
			3	7	8
Пример 4.8.	Определить ранг матрицы A =		1	− 6	1
						.
			7	− 2	15

Приведем исходную матрицу с помощью элементарных преобразований к ступенчатому виду:

2		3	5		1		− 6	1			1		− 6	1
	3	7	8			3	7	8		−3I		0	25	5		1/5
																	~
	1	− 6	1	I ↔ III ~		2	3	5		− 2I	~	0	15 3			1/3
	7	− 2	15			7	− 2	15		− 7I		0	40	8		1/8

37

1		− 6	1		1		− 6 1
	0	5				0	5	1
			1
	0	5		− II	~	0	0	0	.
			1
	0	5		− II		0	0	0
			1

Полученная ступенчатая матрица имеет две ненулевых строки, следовательно, r(A) = 2 .

			3	−1	3	2	5
			5	−3	2	3	4
Пример 4.9.	Определить ранг матрицы B =		1	−3	−5	0	− 7
								.
			7	−5	1	4	1

Приведем исходную матрицу с помощью элементарных преобразований к ступенчатому виду:

	3 −1 3 2		5					1		−3	−5	0	− 7
		5 −3 2 3	4						5	−3	2	3		4		−	5I
		1 −3 −5 0	−7			III			3	−1	3	2		5		−	3I ~
				I ↔			~
		7 −5 1 4	1						7	−5	1	4		1		−	7I
	1 −3 −5 0 − 7					1			−3	−5 0		− 7					1 −3		−5 0	−7		1		−3	−5 0	−7
		0 12 27 3 39			1/3		0	4		9 1		13						0 4	9 1	13			0	4	9 1	13
		0 8 18 2 26			1/ 2	~											~				III ↔ IV ~						.
						0		4		9 1		13 − II					0 0		0 0	0		0		0	0 0	−1
		0 16 36 4 50			1/ 2
							0	8 18 2				25		− 2II				0 0	0 0	−1			0	0	0 0	0

Полученная ступенчатая матрица имеет три ненулевых строки, следовательно, r(B) =3.

38

Определение. Линейной комбинацией матриц С1,С2,...,Сk называется матрица вида

λ1С1 + λ2С2 +... + λk Сk ,

где λ1,λ2 ,...,λk -действительные числа, называемые коэффициентами линейной комбинации.

Пример 4.10. Найти матрицу-строку, которая является линейной комбинацией заданных матриц-строк A1,A2,A3,A4 с заданными числовыми коэффициентами k1,k2 ,k3 ,k4 , если:

k1 = 2,		k2 = −3,	k3 = 0,			k4 =5,
A1 = (1	4	0 − 2),	A2	= (−3	2	1	5),
A3 = (5	6	−3 7),	A4	= (− 2	0	3	4).

◄Умножим сначала матрицы-строки A1,A2,A3,A4 на коэффициенты k1,k2 ,k3 ,k4 соответственно:

k1 A1 = 2 (1	4	0 − 2) = (2			8	0	− 4),
k2 A2 = −3 (−3		2	1	5) = (9	− 6		−3	−15),
k3 A3 = 0 (5	6	−3		7) = (0	0	0	0),
k4 A4 =5 (− 2		0	3	4) = (−10		0	15	20).
Далее найдем требуемую линейную комбинацию:
k1 A1 + k2 A2 + k3 A3 + k4 A4 =
= (2 8 0 − 4) + (9 − 6 −3 −15) + (0 0 0 0) + (−10				0 15	20) =

= (1 2 12 1).►

Определение. Линейная комбинация называется тривиальной, если все ее коэффициенты равны нулю, и называется нетривиальной в противном случае.

Определение. Система матриц называется линейно независимой, если любая нетривиальная линейная комбинация этих матриц отлична от нулевой матрицы.

Определение. Система матриц называется линейно зависимой, если существует нетривиальная линейная комбинация этих матриц, равная нулевой матрице.

Теорема. Система матриц линейно зависима тогда и только тогда, когда хотя бы одна из матриц является линейной комбинацией остальных.

Пример 4.11. Выяснить, являются ли матрицы-столбцы линейно зависимыми.

39

		1				2				3
		3				1				−1
В1 =		1		В2 =		1		В3 =		1
			,				,				.
						2				1
		3

◄Рассмотрим линейную комбинацию матриц B1, B2 , B3 с произвольными коэффициентами λ1,λ2 ,λ3 :

		1				2				3				0
		3				1				−1				0
λ1B1 + λ2 B2 + λ3B3 = 0 или λ1		1		+ λ2		1		+ λ3		1		=		0
															.
						2				1				0
		3

Последнее соотношение запишем в виде равенства двух матриц-столбцов:

	λ + 2λ		2			+ 3λ				0
	1						3
	3λ	+ λ					− λ			0
	1	+ λ		2			3		=	0
	λ					+ λ
	1		2				3			0
	3λ	+ 2λ			2		+ λ
	1						3
Данное равенство выполняется, например,	при λ1 =1,λ2 = −2,λ3 =1, т.е. существует нетривиальная линейная

комбинация этих матриц-столбцов, равная нулевой матрице. Следовательно, исследуемая система матриц является линейно зависимой.►

Рассмотрим произвольную матрицу:	a	a	...	a
	11	12		1n
		a22	...
Am×n =	a21			a2n
	...	...	...	.... .
		am2	...
	am1			amn

40

Выделим в матрице A cтроки и столбцы, которые также можно рассматривать, как матрицы-строки и матрицыстолбцы:

A1 = (a11	a12	... a1n ),
A2 = (a21	a22	...	a2n ),
	...
Am = (am1	am2	...	amn ),

a		a
11		12
a21		a22
B1 =	,	B2 =	,..., Bn
...		...
am1		am2

a
1m
a2m		(4.1)
=	.
...
amm

Тогда рассматривая линейную зависимость и линейную независимость матриц (4.1) можно говорить и о линейной зависимости и линейной независимости строк (столбцов) исходной матрицы A.

Пример 4.12. Показать линейную независимость столбцов единичной матрицы 3-го порядка.

◄ Рассмотрим матрицы-столбцы, компонентами которых являются элементы столбцов единичной матрицы третьего порядка:

				1					0										0
		B =		0	,	B	=		1			,			B	=			0	.
		1				2									3
				0					0										1
Составим матричное равенство:
											1								0				0			0
λ В + λ	В + λ В = 0 или							λ			0				+ λ			1			+ λ		0		=	0	.
1 1	2 2	3 3						1									2				3
											0								0				1			0
где λ1,λ2 ,λ3 -некоторые действительные числа.
Последнее соотношение запишем в виде равенства двух матриц-столбцов:
						λ				0
						1
						λ2		=		0					,
						λ				0
						3

41

т.е. λ1 = 0,λ2 = 0,λ3 = 0 . Следовательно, только тривиальная комбинация столбцов единичной матрицы третьего порядка

равна нулевой матрице-столбцу, поэтому исходная система столбцов линейно независимая.► Аналогично можно показать линейную независимость строк или столбцов единичной матрицы любого порядка.

Теорема (основная теорема о ранге матрицы). Ранг матрицы равен числу ее линейно независимых строк и столбцов. Задача определения числа независимых строк (столбцов) матрицы сводится к вычислению ее ранга.

Пример 4.13. Показать линейную зависимость матриц-столбцов в примере 4.11. с помощью основной теоремы о ранге матрицы.

1 В1 = 3 ,13

◄Составим из B1, B2 , B3 матрицу и найдем ее ранг:

	1	2	3					1	2
	3	1	−1		−3I			0	−5
	1	1	1		− I	~		0	−1
	3	2	1		−3I			0	− 4

				2								3
				1								−1
В2 =				1								1
					,				В3 =				.
				2								1
3									1		2	3					1 2		3
−10		(−15 )								0	1	2						0 1	2
− 2			(−1)					~		0	1	2				~		0 0	0
														− II
					1
−8		(−					)			0	1	2			− II			0 0	0
						4

Ранг данной матрицы равен двум, поэтому ее столбцы являются линейно зависимыми. По основной теореме о ранге матрице заключаем, что два столбца из трех являются линейно независимыми. Для данной системы любая из пар матрицстолбцов является линейно независимой, поскольку ранг матриц, составленной из них также будет равен двум.►

НАЧАЛО ТЕМЫ

СОДЕРЖАНИЕ

42