Тема 13. Евклидовы пространства.

Определение. Линейное векторное пространство V называется евклидовым, если любым двум векторам x и y из V ставится в соответствие число, называемое скалярным произведением и обозначаемое как (x,y) , причем выполняются следующие условия:

1)(x,y) = (y,x) ;

2)(x + y,z) = (x,z) + (y,z) ;

3)(λ x,y) = λ (x,y), где λ-действительное число;

4)(x,x) > 0 , если x - ненулевой вектор; (x,x) = 0 , если x - нулевой вектор.

Определим скалярное произведение векторов x = (x1, x2 ,..., xn ) и y = (y1, y2 ,..., yn ) формулой:
(x,y) = x1 y1 + x2 y2 +... + xn yn .	(12.9)
Заметим, что рассмотренное ранее скалярное произведение геометрических векторов совпадает с (12.9) при	n = 2 и

n =3 .

Пример 13.1. Найти скалярное произведение векторов x = (−3;1;0;2) и y = (2;−1;3;4) .

◄(x,y) = −3 2 +1 (−1) + 0 3 + 2 4 =1.►

Определение. Длиной (нормой) вектора x = (x1, x2 ,..., xn ) в евклидовом пространстве называется величина

x		=		=	x2	+ x2	+... + x2
			(x, x)
		1				2	n

Заметим, что в двухили трехмерном евклидовом пространстве длина вектора имеет вполне определенный геометрический смысл.

Свойства длин векторов:

1)

x

= 0 тогда и только тогда, когда x = 0;

2)

λx

=

λ

x

, где λ - действительное число;

(12.10)

3)(x, y) ≤ x y ;

4)x + y ≤ x + y .

Определение. Углом между ненулевыми векторами x и y евклидова пространства называется число ϕ , определяемое из равенства:

117

cosϕ =

(x,y)

, где 0 ≤ϕ ≤π .

(12.11)

x

y

Согласно третьему свойству длин векторов −1≤

(

x,y)

≤1, т.е. действительно −1≤ cosϕ ≤1.

x

y

Определение. Два вектора называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю. Определение. Вектор называется нормированным, если его длина равна единице.

Заметим, что для нормирования ненулевого вектора x достаточно умножить его на коэффициент 1/ x , где x - норма

исходного вектора. Пусть задан вектор x = (1;−2;2) . Его длина равна x = 12 + (−2)2 + 22 =3 . Нормированный вектор имеет вид x′= (1/3;−2/3;2/3).

Определение. Система векторов называется ортонормированной, если вектора системы нормированы и попарно ортогональны.

Теорема. Ортонормированная система векторов линейно независима.

Теорема. Во всяком n -мерном евклидовом пространстве существует ортонормированный базис.

Заметим, что ортонормированным базисом в n -мерном векторном пространстве является, например, система n единичных векторов, у которых i -я компонента равна единице, а остальные компоненты равны нулю:

e1 = (1;0;...;0), e2 = (0;1;...;0), … en = (0;0;...;1) .

НАЧАЛО ТЕМЫ

СОДЕРЖАНИЕ

118

Тема 14. Линейные преобразования.

Пусть даны два линейных пространства: V n размерности n и V m размерности m .

Определение. Если задан закон (правило), по которому каждому вектору x пространства V n ставится в соответствие

единственный вектор y		пространства V	m	, то говорят, что задан	оператор	~		n	в V	m	, и записывают
						A , действующий из V
~
y = A(x) .
Определение. Оператор называется линейным, если для					любых векторов x		и y пространства				V n и любого
действительного числа λ выполняются соотношения:
~	~	~
1) A(x + y) = A(x)		+ A(y)

2) A(λx) = λA~(x)

Вектор y = A~(x) называется образом вектора x , а сам вектор x - прообразом вектора y .

Определение. Линейный оператор, действующий из линейного пространства V n в линейное пространство V n , т.е.

отображающие n -мерное линейное пространство в себя, называют линейным преобразованием пространства V n . Далее будем рассматривать только линейные преобразования.

Пусть в линейном пространстве V n с базисом e1,e2 ,...,en задано линейное преобразование A~ . Тогда А~(e1) , А~(e2 ),…, А~(en ) – тоже векторы пространства V n . Поэтому их можно единственным способом разложить по векторам базиса:

~

) = а e

+ а

e

+... + а

e

A(e

2

n

~ 1

11

1

21

n1

A(e

) = а

e

+ а

e

+... + а

n2

e

n

(14.1)

2

12

1

22

2

~

) = а

e

+ а

e

+... + а

e

A(e

n

2n

2

nn

n

1n

1

Или в матричном виде

~	~	~	e2	... en )A,	(14.2)
(A(e1)	A(e2 ) ...	A(en )) = (e1

где

119

	а	а		а
	11	12		1n
	а21	a22		a2n		(14.3)
A =
		an2
an1				ann			~
Матрица A называется матрицей преобразования				~		- рангом преобразования
				A в базисе e1 ,e2 ,...,en , а ее rang(A)			A .

Таким образом, каждому линейному преобразованию соответствует матрица в данном базисе. Верно и обратное: всякой матрице n -го порядка соответствует линейное преобразование n -мерного пространства с заданным базисом.

Произвольный вектор x V n относительно базиса e1,e2 ,...,en	имеет вид:
		x
			1
x = x1e1 + x2e2 +....xnen или x = (e1	e2	x2
		... en )		.
		xn

		~
Подействуем на вектор x преобразованием A , в результате получим вектор y :										~
~	~			~				~
y = A(x) = A(x1e1 + x2e2			+....xnen ) = x1 A(e1) + x2 A(e2 ) +....xn A(en )
Или в матричном виде				x					x
~	~	~	~		1					1
				x2			= (e1	e2	x2
y = A(x) = (A(e1)		A(e	2 ) ... A(en ))						... en )A		.
				xn					xn

Вектор y также может быть разложен по заданному базису e1,e2 ,...,en :

(14.4)

(14.5)

120

	y
		1
y = y1e1 + y2e2 +....ynen или y = (e1 e2	y2
	... en )		.
	yn

Разложение вектора y по базису единственно, поэтому из (14.5),(14.6) получаем:

	y				а
		1			11
	y2				а21
				=
	yn			an1

	а	а	x
	12	1n		1
	a22	a2n x2
	an2
		ann xn

(14.6)

(14.7)

Таким образом, результатом действия линейного преобразования с матрицей An×n на некоторый n -мерный вектор

является n - мерный вектор, столбец координат которого можно получить умножением матрицы преобразования на столбец координат исходного вектора.

~

3

2

1

Пример 14.1. Пусть в пространстве V

3

линейный оператор

задан матрицей

A

−1

2

1

в базисе e1 ,e2 ,e3 .

A

=

0

4

− 2

~

+ e3 .

Найти образ y = A(x) вектора x = 3e1 − 2e2

◄ По формуле (14.7) имеем

y

3

2 1

3

6

1

−1

2 1

− 2

− 6

y

2

=

=

.

0

4

− 2

1

−10

y3

Поэтому, y = 6e1 − 6e2 −10e3 .►

~

Теорема. Матрицы A и A′ линейного оператора

и новом базисе e1′,e′2 ,...,e′n связаны

A в старом базисе e1 ,e2 ,...,en

соотношением

−1

′

=T

AT ,

(14.8)

A

121

где T -матрица перехода от старого базиса к новому. Студентам предлагается доказать эту теорему самостоятельно.

			~		1	1	3
Пример 14.2.	Пусть в пространстве V	3			2	−1		в базисе e1 ,e2 ,e3 .
			линейное преобразование A задано матрицей	A =			3
					1	−1
							3

Найти матрицу преобразования в новом базисе e1′,e′2 ,e′3 , связанном со старым базисом матрицей перехода

	1	1	1
	2	−1
T =			−1
	2	3	4

◄ Найдем матрицу, обратную матрице перехода		1/ 3	1/ 3	0
T −1		10 / 3 − 2 / 3
	=			−1 .
		−8 / 3	1/ 3	1

Матрица линейного преобразования в новом базисе имеет вид

	1/ 3	1/ 3	0 1			1 3 1 1				1			5	7	9
	10/ 3 −2/ 3				2	−1		2	−1				21	11 16			.►
A′ =T −1 AT =			−1				3			−1		=
	−8/ 3 1/ 3		1		1	−1		2	3	4			−17	−9
							3								−13

Определение. Вектор x называется собственным вектором линейного преобразования	~
	A , если найдется такое число
λ , что
~	(14.9)
А(x) = λx.
~
Числоλ называется собственным числом линейного преобразования A (матрицы A), соответствующим вектору x .

Из определения следует, что среди векторов линейного пространства выделяют собственные векторы, которые под действием линейного преобразования переходят в векторы, коллинеарные самим себе.

Запишем равенство (14.9) в матричной форме:

122

AX = λX

или

(A − λE)X = 0 ,

(14.10)

где X = (x1 x2 ... xn )T -матрица-столбец из координат вектора x . Полученная однородная система всегда имеет тривиальное

решение x = 0. Для существования нетривиального решения необходимо и достаточно, чтобы определитель системы (14.10) равнялся нулю:

	A − λE		= 0 .		а11	а12		(14.11)
~								собственными числами служат корни λ	и λ
Например, для линейного преобразования A с матрицей A				=						2
								1
					а21	а22
уравнения
	а11 −λ		а12		=0.			(14.12)
	а21		а22 −λ

Уравнение (14.11) называется характеристическим уравнением, а его левая часть – характеристическим многочленом линейного преобразования, заданного матрицей A. Подстановка собственного числа в равенство (14.10) дает систему уравнений для нахождения координат соответствующего собственного вектора.

Пример 14.3. Найти собственные числа и собственные векторы линейного преобразования A~ , заданного матрицей

	5	4
A =			.
	8	9

◄ В данном примере характеристическое уравнение (14.12) имеет вид:

5 −λ

4

= (5 −λ)(9 −λ)−32 = 0 , т.е. λ2 −14λ +13 = 0.

8

9 −λ

~

=1

и λ2 =13.

Решая полученное характеристическое уравнение, определяем собственные числа преобразования A λ1

Далее находим собственный вектор x1 = (x1, x2 ) , соответствующий

λ1 =1.

Для

этого составляем матричное

уравнение

(14.10):

5 −1

4

x

0

4x

+ 4x

= 0

2

,

1

= ,

1

+8x

= 0

8

9 −1 x

2

0

8x

2

1

123

решение которого x2 = −x1. Поэтому

векторы

x1 = (c1;−c1)

для любого

с1 ≠ 0

являются собственными векторами

~

преобразования A с собственным значением λ1 =1.

Аналогично находим собственный вектор x2 = (x1

, x2 ) для λ2 =13. Соответствующее матричное уравнение имеет вид:

5 −13

4 x

=

0

,

−8x + 4x

2

= 0

.

8

1

1

9 −13 x

0

8x − 4x

2

= 0

2

1

Отсюда векторы x2 = (c2 ;2c2 ) для любого с2 ≠ 0 являются собственными векторами преобразования A~ с собственным значением λ2 =13.►

Теорема. Характеристический многочлен преобразования в V n не зависит от выбора базиса в V n .

Теорема. Собственные векторы x1 ,x2 ,...,xn преобразования, отвечающие различным значениям собственных чисел

λ1 , λ2 ,..., λn линейно независимы.

~

действующее в V

n

, имеет n

различных

собственных значений

Теорема. Пусть линейное преобразование A ,

λ1 , λ2 ,..., λn , Матрица данного линейного

оператора

имеет диагональный вид (причем

на ее диагонали

расположены

~

~

собственные числа оператора A ) тогда и только тогда, когда базис образован собственными векторами A .

− 4

7

13

Пример 14.4. Пусть в пространстве V

3

~

− 7

6

11

в некотором

линейное преобразование A задано матрицей

A =

3

−1

− 2

базисе. Найти новый базис, в котором матрица преобразования имеет диагональный вид.

◄Составим характеристическое уравнение преобразования A~ :

− 4 − λ		7	13
	− 7	6 − λ	11		= −λ3 + 7λ − 6 = −(λ −1)(λ − 2)(λ + 3).
	3	−1
			− 2 − λ
Следовательно, собственные значения			равны	λ1 =1, λ2 = 2, λ3 = −3. Полученные собственные значения различны,

поэтому в качестве базиса (в силу теоремы выше) нужно взять собственные вектора данного оператора. Решая систему

124

− 4 −1			7	13	x					−5 7				13 x					0
	− 7	6 −1		11			1									1				0
					x2				=	− 7 5				11 x2			=					,
	3		−1								3 −1									0
				− 2 −1 x3										−3 x3
находим собственный вектор x1 = (c1;−3c1;2c1), соответствующий λ1 =1.
Решая систему					x									13 x
− 4 − 2			7	13						− 6 7									0
	− 7	6 − 2		11			1							11		1					0
					x2			= − 7 4							x2				=				,
	3		−1								3 −1			− 4							0
				− 2 − 2 x3											x3
находим собственный вектор x2 = (c2 ;−c2 ;c2 ) , соответствующий λ2 = 2.
Решая систему					x									13 x
− 4 + 3			7	13						−1 7									0
	− 7	6 + 3		11			1				− 7 9					1				0
					x2				=					11 x2			=					,
	3		−1								3 −1									0
				− 2 + 3 x3										1 x3
находим собственный вектор x3 = (−c3;−2c3;c3 ) , соответствующий λ3 = −3.
Поэтому в базисе, например, x1 = (1;−3;2) , x2 = (1;−1;1), x																							~
								3 = (−1;−2;1) , матрица оператора A примет вид
							1		0		0
							0		2		0
				A′=								.
							0		0
											−3
Действительно, матрица перехода от старого базиса к новому и обратная для нее имеют вид
		1		1 −1								1		− 2 −3
			−3	−1 − 2					T −1 =				−1	3		5
	T =					,												.
			2	1	1								−1	1		2

В силу (14.8)

125

			1 − 2			−3 − 4	7	13 1	1	−1	1	0	0
	′	−1
			AT =	−1	3	5 − 7	6	11 −3	−1 − 2		= 0 2		0 .
	A =T
				−1	1		−1		1			0
						2 3		− 2 2		1	0		−3

Как видим, получили ту же самую диагональную матрицу, на главной диагонали которой находятся собственные значения матрицы A.►

Определение. Линейное преобразование A~ в евклидовом пространстве V n называется симметрическим, если для любых векторов x и y из V n выполняется равенство

(A~(x), y) = (x, A~(y)) .

Заметим, что символ симметрического оператора при скалярном умножении можно переносить с одного множителя на другой.

Теорема. Для того, чтобы линейное преобразование было симметрическим, необходимо и достаточно, чтобы его матрица в ортонормированном базисе была симметрична.

Теорема. Собственные векторы симметрического линейного преобразования, соответствующие различным собственным числам, взаимно ортогональны.

Теорема. Характеристическое уравнение симметрического преобразования имеет только действительные корни. Теорема. В евклидовом пространстве для симметрического преобразования существует ортонормированный базис,

состоящий из собственных векторов этого преобразования, в котором матрица преобразования диагональная, а по диагонали стоят собственные числа.

Пример 14.5. Пусть в пространстве V						3	симметрическое	линейное	преобразование	~
										A задано матрицей
− 6		2	0
	2	−3	0		в некотором базисе. Найти		ортонормированный	базис, в	котором матрица	преобразования имеет
A =
	0	0	4

диагональный вид, и соответствующую матрицу перехода.

◄ Составим характеристическое уравнение симметрического преобразования A~ :

126

− 6 − λ	2	0		= (4 − λ){(6 + λ)(3 + λ) − 4} = (4 − λ)(λ2 + 9λ +14)
2	−3 − λ	0
0	0	4 − λ

Собственными числами являются λ1 = 4, λ2 = −7, λ3 = −2.

Собственный вектор x1 = (x1, x2 , x3 ) , соответствующий собственному числу λ1 = 4 определяется из матричного

уравнения:
−10		2	0 x				0
	2	− 7	0	1			0		,
				x2		=
	0	0	0				0
				x3
которое соответствует линейной системе
	−10x1 + 2x2 = 0
		2x1 − 7x2 = 0 .
		0 = 0

Следовательно, x1 = (0;0;c1) .

Собственный вектор x2 = (x1, x2 , x3 ) , соответствующий собственному числу λ2 = −7 определяется из матричного уравнения:

1		2		0 x						0
	2	4				1				0		,
				0 x2				=
	0	0								0
			11 x3
которое соответствует линейной системе
		x		+ 2x		= 0
			1		2
		2x1 + 4x2 = 0.
			11x3 = 0

127

Следовательно, x2 = (−2c2 ;c2 ;0) .

Собственный вектор x3 = (x1, x2 , x3 ) , соответствующий собственному числу λ3 = −2 определяется из матричного уравнения:

− 4		2	0 x					0
	2	−1	0		1			0		,
				x2			=
	0	0	6					0
				x3
которое соответствует линейной системе
	− 4x		+	2x		=	0
		1			2
		2x1 − x2			= 0 .
		6x3 = 0

Следовательно, x3 = (c3;2c3;0)T .

Пусть c1 = c2 = с3 =1. Тогда получаем попарно ортогональные собственные векторы

		0				− 2				1
x1		0		x2		1		x3		2
	=				=				=		.
		1				0				0

которые образуют ортогональный базис. Нормируем базисные векторы, разделив каждую координату на длину вектора. Получим ортонормированный базис

		0				− 2/							1/
								5						5
x′1				x′2							x′3
		0				1/	5						2/	5
	=				=							=					.
		1				0							0

В данном базисе матрица преобразования примет диагональный вид

128

	4	0	0
	0	− 7	0		,
A′=
	0	0	− 2

а матрицей перехода является матрица, построенная на ортонормированных собственных векторах:

	0	− 2/ 5				1/ 5
T =	0	1/	5			2/		5		.
	1	0				0

НАЧАЛО ТЕМЫ

СОДЕРЖАНИЕ

129