Раздел 3. Элементы аналитической геометрии.

Тема 7. Метод координат.

Определение. Координатной осью называется прямая линия с указанными на ней направлением, началом отсчета и выбранной масштабной единицей.

Определение. Системой координат называется способ задания положения точек.

Рассмотрим совокупность одной (на прямой), двух (на плоскости), трех (в пространстве) или более пересекающихся

координатных осей в одной точке−начале координат. Если в качестве координатных осей берутся прямые, перпендикулярные друг другу, то говорят, что задана прямоугольная или ортогональная система координат. Прямоугольная система координат, в которой единицы измерения по всем осям равны друг другу, называется

ортонормированной или декартовой системой координат. Далее будем рассматривать только декартовую систему координат (существуют также сферическая, цилиндричекая, полярная и др. системы координат).

На плоскости вводятся две координатных оси: ось Ox или ось абсцисс и ось Oy или ось ординат. В пространстве вводятся три координатных оси: ось Ox или ось абсцисс, ось Oy или ось ординат, ось Oz или ось аппликат.

Определение. Координатой точки М на прямой называется расстояние от начала координат О до этой точки, взятое

со знаком «+», если направление отрезка ОМ совпадает с направлением оси, и со знаком «−» в противном случае. Определение. Координатами точки в декартовой системе координат называется упорядоченный набор координат

проекций этой точки на координатные оси. Таким образом, точка на прямой имеет одну координату M0 (x0 ) (рис.7.1), на плоскости – две координаты M 0 (x0 , y0 ) (рис.7.2), в пространстве – три координаты M (x0 , y0 , z0 ) (рис.7.3).

66

y

M0

y0

M0

1

O 1

x0

x

O

1

x0

х

Рис. 7.1. Координаты точки

Рис. 7.2. Координаты точки

на прямой.

на плоскости.

z

z0

M0

1

1

O 1

y0

y

x0

х

Рис. 7.3. Координаты точки в пространстве.

Пусть здесь и далее нижний индекс у координаты точки совпадает с обозначением самой точки (если не оговорено иначе). Так, например, xA -абсцисса точки A.

67

В таблице 7.1 приведены формулы вычисления расстояния между точками A и B .

Таблица 7.1.

Расстояние d между точками A и B .

на прямой Ох					на плоскости Оху			в пространстве Охуz
d =		xB − xA					d =
					d =	(xB − xA )2 + (yB − yA )2		(xB − xA )2 + (yB − yA )2 + (zB − zA )2

Пример 7.1. Построить на координатной плоскости отрезок с концами A(-3;2) B(1;-1) и найти его длину.

◄Отрезок AB представлен на рис. 7.4. Найдем его длину по формуле из таблицы 7.1.:

	y
	4
	3
A	2
	1
-4 -3 -2 -1-10 1 2 3 4			х
	-2	B
	-3
	-4

Рис. 7.4. Рисунок к примеру 7.1.

d = (1 − (−3))2 + (−1 − 2)2 = 42 + 32 =5.►

Определение. Любая третья точка С на прямой, проходящей через точки А и В, д елит отрезок AB в некотором

отношении λ, если λ = ± CBAC , причем выбирается знак «+», если точка С находится внутри отрезка AB, и знак «−» в

противном случае.

68

В частном случае λ =1 точка С является серединой отрезка AB . Формулы для нахождения координат точки С, делящей отрезок АВ в отношении λ, приведены в таблице 7.2.

Пример 7.2. Найти координаты точки С, которая находится вне отрезка АВ и расположена от точки A(−4;3) в два раза дальше, чем от точки B(1;5) .

◄Из условия задачи следует, что C делит отрезок AB в отрицательном отношении λ = −2 ( BАСС = 2 ). По формулам,

приведенным в таблице 7.2, имеем:

xC

=

xA +λxB

=

−4 −2 1

= 6 ,

yC =

yA +λyB

=

3 −2 5

= 7 .

1+λ

1−2

1+λ

1−2

Следовательно, C(6;7) .►

Пример 7.3. Найти координаты точки С, которая является серединой отрезка с концами A(−1;3;5) и B(3;−3;−1) .

◄По формулам, приведенным в таблице 7.2, имеем:

xC =

xA + xB

=

−1+3

=1,

yC =

yA + yB

=

3 −3

= 0,

zC =

zA + zB

=

5 −1

= 2 .

2

Следовательно, C(1;0;2).►

2

2

2

2

2

Таблица 7.2.

Координаты точки С деления отрезка АВ в отношении λ

на прямой Ох

на плоскости Оху

в пространстве Охуz

xA +λxB

xC

=

xA +λxB

xC

=

1+λ

xC

=

xA +λxB

1+λ

yC

=

yA +λyB

yA +λyB

1+λ

yC

=

1+λ

zA +λzB

1+λ

zC

=

1+λ

Координаты точки С - середины отрезка АВ

на прямой Ох

на плоскости Оху

в пространстве Охуz

69

xA + xB

xC

=

xA + xB

xC

=

2

xA + xB

yA + yB

xC

=

2

yC

=

yA + yB

2

yC

=

2

zA + zB

2

zC

=

2

Теорема. Площадь треугольника с вершинами A(xA , yA ), B(xB , yB ), C(xC , yC )

вычисляется по формуле

1

1

1

1

S =

∆

,

где

∆ =

xA

xB

xC

.

(7.1)

2

yA

yB

yC

Пример 7.4. Найти площадь треугольника с вершинами A(−2;3) , B(4;−5) , C(−3;1).

◄ По формуле 7.1 имеем:
	1	1	1		1	1	1			1					1
∆ =	xA	xB	xC	=	− 2 4		−3	= −20	S =			∆		=			− 20		=10 .►
	yA	yB	yC		3	−5	1			2					2

НАЧАЛО ТЕМЫ

СОДЕРЖАНИЕ

70