Раздел 2. Системы линейных уравнений.

Тема 5. Системы линейных уравнений. Нахождение единственного решения системы n линейных уравнений c n неизвестными.

Система m линейных уравнений с n переменными имеет вид:

a x

+ a x

2

+ + a

x

n

=b

11 1

12

1n

1

a21x1 + a22 x2

+ + a2n xn

=b2

,

(5.1)

a

x

+ a

m2

x

2

+

+ a

mn

x

n

=b

m1 1

m

где aij ,bi (i =1..m; j =1..n )-произвольные числа, называемые соответственно коэффициентами при переменных

xi (i =1..n) и

свободными членами уравнений.

Определение. Решением системы называется такая совокупность n чисел x1 = k1, x2 = k2 ,..., xn = kn , при подстановке

которых каждое уравнение системы обращается в верное равенство.

Определение. Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет решений.

Определение: Совместная система уравнений называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если решений больше одного.

	3x		+ 2x	2	=9
Пример 5.1. Система уравнений		1				совместная и определенная, так как имеет единственное решение
		3x1	+ x2 =3

	3x		+ 2x	2	=5			3x	+ 2x	=9
x1 = −1, x2 = 6; система уравнений		1				несовместная; система уравнений		1	2		совместная и
			+ 2x2 =3						+ 4x2 =18
	3x1						6x1

неопределенная, так как имеет более одного, а точнее, бесконечное множество решений x1 =3 − 2/3c, x2 = c . Ведем обозначения:

43

a	a
11	12
a21	a22
A =	...
...
	am2
am1

... a1n

... a2n ; X

... ....

... amn

x1

=x2 ;...xn

b1 B = b2 ,...bm

где A- матрица коэффициентов при переменных; X - матрица-столбец переменных; B - матрица-столбец свободных членов. Произведение AX существует, причем элементами полученной матрицы-столбца являются левые части (5.1). Поэтому

систему (5.1) можно записать в матричном виде

AX = B .

(5.2)

Пример 5.2. Записать в матричном виде систему линейных уравнений 3x1 +7x2 = 2 .

5x1 + 2x2 =13

 Запишем данную систему в матричном виде, поясняя предыдущие рассуждения. Для данной системы A-матрица коэффициентов при переменных; X - матрица-столбец переменных; B - матрица-столбец свободных членов имеют вид:

	3	7				x				B =	2
A =			,	X =				1	,				.
	5	2
						x2					13
Умножим A на X :	3 7			x					3 x +7 x
AX =					1	=			1			2	.
	5 2			x	2				5 x +2 x			2
									1
Элементы полученной матрицы равны элементам свободных членов системы
		3 x + 7 x							2
			1				2		=	.
		5 x + 2 x					2		13
			1

Следовательно, AX = B .

Определение. Системы уравнений называются эквивалентными, если они имеют одно и то же множество решений.

Элементарные преобразования системы линейных уравнений:

•перестановка уравнений;

•умножение обеих частей любого уравнения на любое действительное число, отличное от нуля;

44

• прибавление к обеим частям одного уравнения соответственно обеих частей другого уравнения этой системы, умноженного на любое действительное число.

Теорема. Система линейных уравнений, полученная путём элементарных преобразований над исходной системой, эквивалентна ей.

Определение. Расширенной матрицей системы уравнений (5.1) называют матрицу, которая состоит из матрицы коэффициентов при переменных системы и столбца свободных членов, разделенных чертой:

			(A | B).
Пример 5.3.		3x +7x		= 2		является матрица:
	Расширенной матрицей системы	1	2
	5x1 + 2x2 =13
		3	7		2
			2			.
		5			13

Заметим, что элементарные преобразования системы уравнений соответствуют элементарным преобразованиям строк расширенной матрицы, поэтому часто, решая систему линейных уравнений, используют расширенную матрицу.

Рассмотрим далее три метода решения систем n линейных уравнений с n неизвестными, имеющих единственное решение.

Метод обратной матрицы.

Пусть число уравнений системы (5.1) равно числу переменных, т.е. m = n . В этом случае матрица A коэффициентов

при переменных будет квадратной. Предположим также		A		≠ 0. Тогда для матрицы A существует обратная матрица	A−1 .
Умножим обе части матричного уравнения (5.2) на A−1 :
A−1 A X = A−1 B .
Поскольку A−1 A = E и E X = X , то получим:
				X = A−1 B .	(5.3)

Следовательно, зная обратную матрицу для матрицы коэффициентов при неизвестных, единственное решение можно получить по формуле (5.3).

45

3x1 +5x2 =1

Пример 5.4. Решить систему линейных уравнений 8x1 +13x2 = 3 методом обратной матрицы.

Данная система имеет 2 уравнения и 2 переменные. Для исходной системы уравнений:

	3	5	x			1
A =		,	X = 1	,	B =	.
	8
		13	x2			3
Матрица коэффициентов при переменных			невырожденная,		поскольку			A		=		3	5		=39 − 40 = −1 ≠ 0 . Поэтому
												8	13

существует обратная матрица, которая может быть найдена одним из способов, рассмотренных в теме 3 (студентам предлагается найти обратную матрицу самостоятельно):

Пример 5.5. Решить систему линейных уравнений 2x + y + z = 3 методом обратной матрицы.

x + y +2z =1

А−1

−13

5

=

.

8

−3

−1

−13

5

1

−13 +15

2

Далее по формуле (5.3) имеем: X = А

В =

=

=

.

8

−3

3

8 −9

−1

Следовательно, исходная система имеет решение:

x1 = 2,

x2 = −1.

x − y + z = −2



Данная система имеет 3 уравнения и 3 переменные. Для исходной системы уравнений:

46

1		−1 1				x		− 2
A =	2	1	1		,	X = y		, B =	3	.
	1	1	2						1
						z
										1				−1	1
Матрица коэффициентов при переменных		невырожденная,						поскольку			A		= 2	1	1 =5 ≠ 0 . Поэтому существует

1 1 2

обратная матрица, которая может быть найдена одним из способов, рассмотренных в теме 3 (студентам предлагается найти обратную матрицу самостоятельно):

1

3 − 2

1/5

3/5 − 2/5

A−1 =

1

−3

1

1

=

−3/5 1/5

1/5

.

5

1

− 2 3

1/5

− 2/5 3/5

Далее по формуле (5.3) имеем:

1/5

3/5

− 2/5

− 2

1

Х = А−1

В =

−3/5 1/5

1/5

3

=

2

.

1/5

− 2/5

3/5

1

−1

Заметим, что последнее действие можно сделать следующим образом:

			1	3	− 2			− 2					5			1
X = A−1 B =	1										1
			−3 1		1			3		=			10		=	2	.
	5										5
			1	− 2	3			1					−5
																−1

Следовательно, исходная система имеет решение:

47

x =1,	y = 2,	z = −1.
Метод Крамера.
Теорема (Крамера). Пусть у квадратной	матрицы коэффициентов при переменных в системе из n линейных

уравнений с n переменными определитель ∆ = A ≠ 0 . Пусть ∆j -определитель матрицы, получаемой из матрицы A заменой

j -го столбца столбцом свободных членов. Тогда система имеет единственное решение, имеющее вид

x j =

∆ j

( j =1..n ).

(5.4)

∆

Способ решения системы линейных уравнений, основанный на формулах Крамера (5.4), получил название метода или

правила Крамера. Заметим, что получить данные формулы можно из равенств (5.3).

x − 2x

2

= −3

1

методом Крамера.

Пример 5.6. Решить систему линейных уравнений

+ x2

= 5

3x1



Данная система имеет 2 уравнения и 2 переменных. Найдем определитель матрицы коэффициентов

при переменных

A:

1

− 2

∆ =

A

=

= 7 .

3

1

Этот определитель не равен нулю, поэтому по теореме Крамера данная система имеет единственное решение. Вычислим определители матриц ∆1,∆2 , полученных из матрицы A заменой соответственно первого и второго столбцов

столбцом свободных членов:

∆1 =		−3 − 2			= 7 ,	∆2	=		1	−3		=14 .
		5	1						3	5

Решение находим по формулам Крамера (5.4):

x =	∆1	=	7	=1,	x		=	∆2	=	14	= 2.
1	∆		7			2		∆		7

48

2x + y − z = 0

3y + 4z = −6 методом Крамера.

Пример 5.7. Решить систему линейных уравнений

x + z =1



Данная система имеет 3 линейных уравнения и 3 переменные. Найдем определитель матрицы коэффициентов при

переменных A:

2

1

−1

∆ =

A

=

0

3

4

=13.

1

0

1

Этот определитель не равен нулю, поэтому по теореме Крамера данная система имеет единственное решение.

Вычислим определители матриц ∆1,∆2 ,∆3 , полученных из матрицы

A заменой соответственно первого, второго, третьего

столбцов столбцом свободных членов:

2 1 0

0 1 −1

=13,

2 0 −1

= −26 ,

= 0.

∆1 =

− 6 3 4

∆2 =

0 − 6 4

∆3 =

0 3 − 6

1

0

1

1

1

1

1

0

1

Решение находим по формулам Крамера (5.4):

∆3

x =

∆1

=13 =1,

y = ∆2 =

− 26

= −2,

z =

=

0

= 0 .

∆

13

∆

13

∆

13

Метод Гаусса.

Классическим методом решения системы линейных уравнений является метод Гаусса. Он заключается в последовательном исключении переменных.

Алгоритм решения систем линейных уравнений методом Гаусса подразделяется на два этапа.

На первом этапе осуществляется так называемый прямой ход, когда путём элементарных преобразований над строками систему приводят к ступенчатой или треугольной форме, либо устанавливают, что система несовместна.

На втором этапе последовательно, начиная с последних по номеру переменных, находятся все остальные переменные.

49

При практическом решении системы линейных уравнений методом Гаусса удобнее приводить к ступенчатому виду не саму систему уравнений, а расширенную матрицу этой системы, выполняя элементарные преобразования над ее строками. При этом в расширенной матрице на месте матрицы коэффициентов при переменных нужно получить единичную матрицу, тогда на месте свободных членов получиться столбец решений.

x − 2y + 3z =1

Пример 5.8. Решить систему линейных уравнений 2x + y − 4z = 2 методом Гаусса.

3x − 4y +8z = 6

		1		− 2	3		1
	Составим расширенную матрицу системы:		2	1	− 4		2
								.
			3	− 4	8		6

Реализуем прямой ход метода Гаусса. Исключим переменную x из второго и третьего уравнения. Это означает, что в расширенной матрице нужно получить нули на местах (2,1) и (3,1). Для этого из второго уравнения вычтем две первых

строки, а из третьего - три первых строки:
1		− 2 3			1						1			− 2	3				1
	2	1	− 4		2							0		5	−10				0
									− 2I ~
	3	− 4 8			6				−3I			0		2	−1
																			3
Умножим элементы второй строки на	1	:
	5
1		− 2	3				1				1 − 2				3		1
	0	5 −10					0						0 1		− 2		0
										1/5 ~
	0	2	−1				3						0 2		−1		3

50

Исключим переменную y из третьего уравнения. Это означает, что в расширенной матрице нужно получить нуль на

месте (3,2). Для этого из третьего уравнения вычтем две вторых строки:
1		− 2 3					1			1 − 2			3				1
	0	1	− 2		0						0 1		− 2				0
										~								.
	0	2	−1		3				− 2I		0 0		3				3
Умножим элементы третьей строки на 1		:
	3
1		− 2 3					1			1		− 2	3		1
	0	1	− 2				0				0	1	− 2			0
										~								.
	0	0	3				3		1/3		0	0	1			1

На данном этапе прямой ход метода Гаусса выполнен: матрица коэффициентов при переменных приведена к

	x − 2y + 3z =1
треугольному виду. Полученной расширенной матрице соответствует система уравнений:		y − 2z = 0.
		z =1

Выполним обратный ход метода Гаусса. Из последнего уравнения следует, что z =1. Подстановка найденного значения z в первое и второе уравнение будет соответствовать появлению нулей на местах (1,3) и (2,3) в расширенной матрице. Получим на этих местах нули с помощью элементарных преобразований:

1		− 2	3		1		−3III 1		− 2	0		− 2
	0	1	− 2		0			0	1	0		2
							+ 2III ~						.
	0 0		1		1			0	0	1		1

51

Из второго уравнения следует, что	y = 2.		Аналогично,				подстановка						значения y = 2 в первое уравнение будет
соответствовать появлению нуля на месте (1,2) в расширенной матрице. Прибавим к первой строке две вторых строки:
1		− 2	0		− 2 + 2II		1 0			0		2
	0	1	0		2			0	1 0			2
							~						.
	0	0	1		1			0	0	1		1

На месте матрицы коэффициентов при переменных получилась единичная матрица. На данном этапе расширенной

	x		= 2
матрице соответствует система уравнений:		y	= 2,
			z =1

в которой фактически указаны решения исходной системы. Заметим, что столбец решений находится на месте свободных членов последней расширенной матрицы.

НАЧАЛО ТЕМЫ

СОДЕРЖАНИЕ

52