Контрольні запитання

1. Як визначити прямокутні координати кутів квадрата координатної сітки?

2. Як визначити прямокутні координати заданої на плані точки?

3. Як визначити довжину прямої, ломаної та кривої ліній?

4. Які лінії використовують для визначення по топографічному плану дирекційних кутів?

5. Що обчислюють при розв’язанні прямої геодезичної задачі?

6. Що обчислюють при розв’язанні оберненої геодезичної задачі?

7. Як визначити позначку точки, що лежить на горизонталі?

8. Як визначити позначку точки, що розміщена між горизонталями?

9. Як провести на плані з горизонталями лінію заданого нахилу?

10. Як побудувати за допомогою топографічного плану профіль місцевості?

11. Як по плану з горизонталями визначити межі водозбірної площі?

12. Якими методами можна визначити площу ділянки по карті?

13. Наведіть порядок визначення площі ділянки механічним способом.

Література: [1 – С.39-44; 2 – С.27-28, 33-35; 3 – С. 35-41;

4 – С.82-131.]

Лабораторна робота № 3. Елементи теорії похибок вимірів

Мета роботи – вивчити основні види похибок, що виникають при вимірюваннях та методику визначення числових характеристик точності при рівноточних, нерівноточних вимірюваннях при обчисленні точності функцій виміряних величин.

Вимірювання – це процес порівнювання шуканої величини з величиною прийнятою за одиницю виміру.

Вимірювання супроводжується грубими, систематичними та випадковими похибками.

Вимірювання відбуваються за певного комплексу умов.

В геодезії до комплексу умоввідносять: об’єкт, суб’єкт, прилад, метод вимірювань, зовнішні умови.

Грубі помилки виникають внаслідок значного порушення комплексу умов та прорахунків. Їх необхідно виявити і виключити з математичної обробки.

Систематичні похибки кожен раз повторюються в результатах вимірів з однією величиною та знаком, або змінюються за певним законом (функцією). Величину їх визначають і вводять в результати вимірів.

Випадкові похибки виникають внаслідок незначного порушення комплексу умов при кожному вимірюванні, причому їх величину і знак передбачити неможливо. Вони мають такі властивості:

1. при заданому комплексі умов не перевищують відносної граничної величини (_і < _гр);

2. малі по абсолютній величині випадкові похибки зустрічаються в ряду вимірів х₁, х₂, ..., х_п частіше великих (N_min  N_max);

3. в достатньо великому ряду вимірів кількість похибок з різними знаками приблизно однакова (N_+  N_–);

4. при незмінному комплексі умов сума випадкових похибок D, розділена на їх число n наближається до нуля (компенсується) коли n  , тобто:

. (3.1)

Похибки визначають за формулами:

істинні — D_і = х_і – Х; (3.2)

імовірні — v_i = x_i – ; (3.3)

систематичні —С = -X, (3.4)

де х_і – значення виміряної величини;

Х – істинне значення;

– імовірне значення, отримане за результатами математичних обчислень.

Вимірювання можуть бути: а) прямими (безпосередніми); б) непрямими (посередненими, коли шукана величина визначається аналітично через інші виміряні величини); в) рівноточними, коли комплекс умов практично не змінюється; г) нерівноточними, коли комплекс умов порушується; д) необхідними; е) надлишковими.

Через надлишкові виміри шляхом математичних обчислень визначають:

1. імовірне, або найбільш близьке до істинного значення шуканої величини;

2. оцінку точності вимірювань.

1. Математична обробка рівноточних вимірів

Якщо шукана величина Х виміряна декілька разів х₁, х₂, ..., х_п, то ймовірне значення є середнім арифметичним _{шуканої величини Х і визначається за формулою}

. (3.5)

Похибки кожного виміру обчислюються за формулами (3.2; 3.3), а систематична похибка за формулою (3.4), коли відоме істинне значення вимірюваної величини Х.

Мірою точності служать середні квадратичні похибки а) окремого виміру:

• за формулою Гаусса

; (3.6)

• за формулою Бесселя

; (3.7)

б) середнього арифметичного

; (3.8)

в) гранична похибка обчислюється за формулою:

D_гр =  tm, (3.9)

де t = 2 – при вимірюваннях технічної точності;

t = 3 – при високоточних вимірюваннях.

В табл.3.1 наведено приклад математичної обробки рівноточних вимірювань довжини лінії місцевості.

Таблиця 3.1

№ виміру	хі (м)	vi (cм)		Обчислення
1	258,21	+6	36	[x] = 1032,60
2	258,10	-5	25	= 258,15
3	258,13	-2	4	[v] = 0 [v^2] = 66
4	258,16	+1	1	= 4,7см
				г =  2  4,7 = ± 9,4 см

Оскільки v_i < D_гр, то вимірювання виконані правильно без грубих похибок.

Для лінійних вимірювань визначають відносну похибку, яка теж є мірою їх точності за формулою

. (3.10)

В нашому прикладі: .

Завдання 18. Виконати математичну обробку виміряної рулеткою лінії місцевості при сталому комплексі умов (рівноточні вимірювання). Результати вимірів взяти із табл. 3.1, збільшивши їх на п метрів, де п – номер студента за списком групи. Додатково від першого виміру відняти п см, а до другого виміру додати п см. Наприклад, п = 21, тоді х₁ = 258,21 + + 21 м – 21 см = 279,00 м; х₂ = 258,10 +21 м + 21 см = 279,31 м.

2. Математична обробка нерівноточних вимірів

При значній зміні комплексу умов при вимірюванні величини Х отримують нерівноточні результати. Кожен результат вимірювання можна характеризувати середньою квадратичною похибкою m_i, довжиною L_i, кількістю вимірів N_i або кількістю вимірів однієї і тієї ж величини n_i.

За спеціальну міру відносної точності вимірювань беруть коефіцієнт або вагу р_і, яка обчислюється за формулою

;;або. (3.11)

Величину коефіцієнта с вибирають такою, щоб значення ваг р_і були близькими до одиниці.

Імовірним або найближчим значенням до шуканої величини Х буде загальне середнє арифметичне _{, яке обчислюється за формулою}

. (3.12)

Мірою точності буде:

а) середня квадратична похибка одиниці ваги

• за формулою Гаусса

; (3.13)

• за формулою Бесселя

(3.14)

б) середня квадратична похибка загального середнього арифметичного

; (3.15)

в) середні квадратичні похибки окремих вимірів обчислюються за формулою

. (3.16)

У табл. 3.2 наведено математичну обробку нерівноточних вимірів при визначенні висоти точки А з чотирьох різних напрямків (ходів).

Таблиця 3.2

Номер ходу	НА (см)	L км		DН = Ні – Но (см)	рDН	v см	pv	[pv^2]
1	184,46	5,0	1,0	+1	+1	-2	-2	4,0
2	184,32	8,0	0,6	-13	-7,8	-16	-9,6	153,6
3	184,56	3,0	1,7	+11	+18,7	+8	+13,6	108,8
4	184,45	6,0	0,8	0	0	-3	-2,4	4,6
H0 =	184,45		4,1		+11,9		-0,4	271,0

,

де Н₀ – довільно взята висота точки близька за значенням до виміряних.

Відповідно обчислимо:

; .

Середня квадратична похибка визначення висоти точки А першого ходу складе

і т.д.

Завдання 19. Виконати математичну обробку вимірювання висоти точки А по чотирьох ходах. Виміряні дані взяти з табл.3.2. Змінити довжину ходу №3 на величину L_км = n (n – номер студента за списком групи).

3. Оцінка точності функцій виміряних величин

Досить часто визначувана величина у є функцією інших безпосередньо виміряних величин х₁, х₂, ..., х_п

у = f(х₁, х₂, ..., х_п). (3.17)

Якщо відомі середні квадратичні похибки виміряних величин то мірою точності функціїу буде середня квадратична похибка

, (3.18)

де – часткові похідні по наближеним значенням аргументів х_і.

Приклад. При визначенні площі прямокутної ділянки виміряні сторони а = 120,52 м та b = 144,85 м з середніми квадратичними похибками m_a = 2 cм; m_b = 3см. Визначити середню квадратичну похибку визначення площі ділянки m_S = ?

Розвязання. Площа ділянки обчислюється за формулою

S = ab.

За формулою (3.18) отримаємо

.

Тоді

= 4,6 м².

Завдання 20. 1. Обчислити площу ділянки квадратної форми зі стороною а = 100 + п, п м при m_a = 2 см.

2. Обчислити площу ділянки у формі прямокутного трикутника з катетами довжиною а = 10 + п, п м; m_a = 0,02 м, b = 200 + п, п м; m_b = 0,04 м.