2.4 Розв’язання прямої геодезичної задачі

Якщо відомі координати точки А (Х_А, Y_A), дирекційний кут лінії АБ (α_А-Б ) та її довжина d_АБ , то координати кінцевої точки Б обчислюються за формулою

. (2.4)

Рис.2.2 Схема прямої та оберненої геодезичної задачі

Приклад. Точка А має координати X = 6066275,0м, Y = 4312398 м. Дирекційний кут α_А-Б = 48^о15, довжина лінії Д_А-Б = 308,65 м. Визначити прямокутні координати точки Б (Х_Б = ?, Y_Б = ?).

Розв’язання: За формулою (2.4) маємо

Х_Б = Х_А + d_АБ cosα = 6066275 + 308,65 cos48^o15 = 6066534,9м

Y_Б = Y_А + d_АБ sinα = 4312396 +308,65× sin48^o15 = 4312626,27м.

Завдання 11. Визначити аналітично координати точки Б, якщо відомо координати точки А (Х_А, Y_A), дирекційний кут лінії α_А-Б та довжина лінії d_АБ.

Координати Х_А, Y_A вибирають із завдання 8, d_АБ – із завдання 9, α_А-Б – завдання 10.

Порівняти обчислені координати точки Б (Х_Б, Y_Б) з визначеними графічно координатами цієї точки в завданні 8.

2.5. Розв’язання оберненої геодезичної задачі

Якщо відомо координати кінцевих точок Х_А, Y_A та Х_Б, Y_Б лінії АБ (рис.2.2), то румб r_АБ та довжина лінії d_АБ обчислюються аналітично за формулами:

; (2.5)

, (2.6)

де х = Х_Б - Х_А; у = Y_Б - Y_А – прирости координат.

Приклад. Задані координати кінцевих точок лінії АБ (Х_А = 100.00, Y_A = 210.00; X_Б = 153.20, Y_Б = 125.22). Визначити дирекцій ний кут α_А-Б та довжину лінії d_АБ.

Розв’язання: За формулою (2.5) обчислюємо дирекційний кут

= 57,8915 = 57^о53,5.

Оскільки маємо прирости координат х = +53.20 і у = -84.78, то за рис.1.3 дирекційний кут знаходиться в ІV четверті. Тоді згідно формули (1.7) та рис.1.3 дирекційний кут обчислюється за формулою

α_АБ = 360^о – r = 360^о - 57^о53,5 = 302^о06,5.

Довжину лінії d_АБ обчислюємо за формулою (2.6)

= 100,09 м.

Завдання 12. По визначених графічно координатах точок А і Б (Х_А, Y_A; Х_Б, Y_Б) в завданні 8 аналітично обчислити дирекційний кут α_А-Б та довжину лінії d_АБ.

Отримані значення порівняти з виміряними графічно α_А-Б та d_АБ в завданнях 9 та 10.

6. Визначення висот точок по горизонталях

Коли точка лежить на горизонталі її висота дорівнює позначці горизонталі (розділ 5) і визначається за формулою (1.10).

Коли шукана точка знаходиться між горизонталями (рис.2.3) її висоту визначають в такій послідовності:

Рис.2.3. Визначення висоти точки, розташованої поміж горизонталями

1. визначають висоти двох суміжних горизонталей (Н_А, Н_В);

2. по перпендикуляру до них проводять лінію АВ, і вимірюють довжину закладання d;

3. вимірюють відстані l та р;

4. висоту (позначку) точки С обчислюють за формулою

, (2.7)

або , (2.8)

де h – висота перерізу рельєфу між суміжними горизонталями.

Приклад. Згідно рис.2.3 Н_А = 120м, Н_В = 125 м, h = 5м. Нехай на карті d = 34 мм, l = 24 мм, р = 10 мм, тоді за формулами (2.7; 2.8) маємо

,

або .

Завдання 13.

1. Визначити висоти (значення позначок) для точок А, Б, В і Г вказаних на топографічній карті (рис.1.10).

2. Визначити величину стрімкості схилу рельєфу місцевості між суміжними горизонталями вздовж лінії АБ (див.розділ 1.5).

Стрімкість схилу рельєфу місцевості можна визначити аналітично (формула 1.11) або графічно за допомогою графіка закладень, приведеного внизу рамки карти (рис.1.10).

3. Визначити нахил ліній місцевості АБ та ВГ. Позначки точок Н_А, Н_Б, Н_В та Н_Г взяти з завдання 13, а довжини ліній з завдання 9.