Розв’язування.

Система має один ступінь вільності, рівновага – стійка. На систему діють тільки потенціальні сили (сили ваги і пружна сила). Виведемо систему із стану рівноваги (рис.Д7.г). Виберемо за узагальнену координату кут відхилення стержня 1 від горизонталі, вважаючи його малим.

Тобто маємо і.

Запишемо рівняння Лагранжа II роду:

(7.1)

Визначимо кінетичну енергію системи, як суму енергій тіл системи. Враховуючи, що стержень 1 обертається навколо нерухомої осі , диск 2 - навколо нерухомої осі, а тіло 1 рухається поступально, маємо наступне:

, (7.2)

де моменти інерції однорідного стержня 1 довжиною і шківа 2 (маса розподілена на ободі) відповідно дорівнюють:

, (7.3)

Виразимо швидкості, що входять в (7.2) через узагальнену швидкість :

(7.4)

Підставимо (7.3) і (7.4) в рівняння (7.2):

(7.5)

Кінетична енергія залежить тільки від узагальненої швидкості .

Отримаємо похідні, які входять в ліву частину рівняння (7.1):

(7.6)

2. Визначимо узагальнену потенціальну силу за формулою:

(7.7)

Зобразимо діючі на систему сили та. Задамо системі можливе переміщення, при якому узагальнена координатазростає, тобто>0 , та покажемо можливі переміщення кожного з тіл: для тіла 2 – поворот на кут, для вантажу 3 – переміщення. Для визначення узагальненої потенціальної сили обчислимо суму можливих робіт сил на заданому можливому переміщенні системи:

(7.8)

Можливу роботу сили ваги замінимо можливою роботою моменту сили ваги відносно точки, тобто

, бо плече сили відносно точкидорівнює.

, бо точка прикладення сили нерухома.

, бо кут між силою ідорівнює нулю.

Можливу роботу пружної сили замінимо можливою роботою моменту пружної сили відносно точки:

, бо плече сили відносно точкидорівнює.

Величина пружної сили:

,

де статична деформація пружини в положенні стійкої рівноваги системи;деформація пружини, коли систему вивели із стану рівноваги.

Враховуючі (7.4), виразимо можливе переміщення вантажу через можливе зростання узагальненої координати , а деформаціючерез узагальнену координату:

; (7.9)

Підставимо (7.8) і (7.9) в формулу (7.7) та отримаємо узагальнену потенціальну силу:

(7.10)

Коливання малі, тому можна вважати . Розкриємо дужки:

(7.11)

В положенні рівноваги (при ) узагальнена потенціальна силатобто маємо:

(7.12)

Звідси знайдемо статичну деформацію :

Таким чином, узагальнена потенціальна сила, враховуючи (7.12), остаточно буде мати вигляд:

(7.13)

3. Складемо рівняння Лагранжа IIроду. Підставимо (7.6) та (7.13) в рівняння (7.1):

(7.14)

Запишемо це рівняння у вигляді диференціального рівняння малих вільних коливань:

, тобто (7.15)

Підставимо числові значення, та знайдемо:

Звідки кругова частота (с^-1),

а період коливань

Відповідь: .

4. Література

1. Освітньо-професійна програма вищої освіти за професійним спрямуванням “Інженерна механіка”. – Київ, МОН України. - 1994 р.

2. Теоретическая механика: Методические указания и контрольные задания для студентов-заочников машиностроительных, строительных, транспортных, приборостроительных специальностей высших учебных заведений / Л.И.Котова, Р.И.Надеева, С.М.Тарг и др.; Под ред. С.М.Тарга - М.: Высш.шк., 1989.-111 с.

3. Теоретическая механика: Методические указания и контрольные задания для студентов-заочников энергетических, горных, металлургических, электроприборостроения и автоматизации , технологических специальностей, а также геологических, электротехнических, электронной техники и автоматики, химико-технологических и инженерно-экономических специальностей вузов / Под ред. С.М.Тарга. – М.: Высш. шк., 1988. – 64 с.

4. Яблонский А.А. Сборник заданий для курсовых работ по теоретической механике. – 1985.

5. Тарг С.М. Краткий курс теоретической механики: Учеб. для втузов. – М.: Высш. шк., 1986. – 416 с.

6. Добронравов В.В., Никитин Н.Н. Курс теоретической механики: Учебник для машиностроит. спец. Вузов. – М.: Высш. школа, 1983. – 575 с.

7. Яблонский А.А. Курс теоретической механики. Часть II. Динамика. Учебник для втузов. М., «Высш. школа», 1984. - 423 с.

8. Діденко Г.О Настановні лекції з теоретичної механіки (для студентів-заочників немеханічних спеціальностей ). - Маріуполь, ПДТУ, 2001.- 38 с.

9. Карпенко Т.М. Конспект лекцій з теоретичної механіки. Динаміка.- Маріуполь, ПДТУ. – 2004, (www.pstu/l_u/metod/mm/TiPM/index.html).

10. Винникова В.Г. Телевизионная лекция «Кинетическая энергия и ее изменение». Части 1 и 2. - Маріуполь, ПДТУ, 2003, (www. pstu. edu./ У допомогу студенту/ Інше/ Лабораторія учбового телебачення).

11. Діденко Г.О. Телевізійна лекція „ Динамічні рівняння механічної системи в узагальнених координатах”. – Маріуполь, ПДТУ, 2004, (www. pstu. edu./ У допомогу студенту/ Інше/ Лабораторія учбового телебачення).

12. Карпенко Т.М. Телевізійна лекція „ Динаміка механічної системи”. Частини 1 і 2. – Маріуполь, ПДТУ, 2004, (www. pstu. edu./ У допомогу студенту/ Інше/ Лабораторія учбового телебачення).

13. Карпенко Т.М. Телевізійна лекція „ Принципи механіки”. – Маріуполь, ПДТУ, 2004, (www. pstu. edu./ У допомогу студенту/ Інше/ Лабораторія учбового телебачення).

14. Карпенко Т.М. Телевізійна лекція „ Способи складання динамічних рівнянь руху практичних моделей механічної системи”. – Маріуполь, ПДТУ, 2004, (www. pstu. edu./ У допомогу студенту/ Інше/ Лабораторія учбового телебачення).