Алгоритм розв’язування задач динаміки, що пов’язані із складанням динамічних рівнянь руху

1. Виділити матеріальний об'єкт, рух якого необхідно розглянути для складання динамічного рівняння руху і для визначення шуканих величин.

2. Показати об’єкт у довільний момент часу. Прикласти до об’єкту діючі на нього сили: активні і реакції в’язей, або зовнішні та внутрішні.

3. Вибрати метод розв’язування задачі. Існуючі в динаміці методи можна об’єднати в:

- метод диференціальних рівнянь руху точок;

- метод загальних теорем динаміки;

- метод принципів аналітичної механіки.

4. Вибрати систему координат, в якій найпростіше може бути розв’язана задача. При цьому осі координат бажано спрямовувати так, щоб проекції прискорення були додатними, якщо тіло здійснює обертальний рух, то додатну вісь спрямувати вздовж осі обертання по векторові кутового прискорення.

5. Скласти динамічне рівняння руху, використовуючи обраний метод.

6. Визначити з динамічного рівняння шукані величини.

7. Проаналізувати отриманий розв'язок, і записати відповідь.

Завдання д-1. Інтегрування диференціальних рівнянь руху матеріальної точки, що знаходиться під дією постійних сил

Умови завдання.

Варіанти 00 - 09. Тіло рухається з точки (рис.Д1.0) по ділянці(довжиною) похилої площини, що становить кутз горизонтом, протягомсек. Його початкова швидкість. Коефіцієнт тертя ковзання тіла по площині дорівнює.

В точці тіло із швидкістюзалишає площину і попадає зі швидкістюв точкуплощини, нахиленої під кутомдо горизонту , знаходячись у повітрісек.

Числові параметри, що задаються, приведені в стовпці «Дано» табл.Д1.0.

Визначити: параметри, зазначені в стовпці «Визначити» табл.Д1.0.

При розв’язанні задачі тіло вважати матеріальною точкою. Опір повітря не враховувати.

Табл.Д1.0.

№ вар.	Дано	Визначити
00
01		рівняння траекторії на ділянці
02
03
04
05
06
07
08
09

Варіанти 10 - 19. Лижник підходить до точки (рис.Д1.1) ділянки трампліна, що нахилена під кутомдо горизонту і має довжину, зі швидкістю. Коефіцієнт тертя ковзання лиж на ділянцідорівнює. Лижник віддорухаєтьсясек. В точцізі швидкістювін залишає трамплін і черезсек приземляється зі швидкістюв точцігори, що становить кутз горизонтом.

Числові параметри, що задаються, приведені в стовпці «Дано» табл.Д1.1.

Визначити: параметри, зазначені в стовпці «Визначити» табл.Д1.1.

При розв’язанні задачі прийняти лижника за матеріальну точку. Опір повітря не враховувати.

Табл.Д1.1.

№ вар.	Дано	Визначити
10
11
12
13
14		рівняння траекторії на ділянці
15
16
17
18
19

Варіанти 20 - 29. Маючи в точці (рис.Д1.2) швидкість, мотоцикл піднімаєтьсясек по ділянцідовжиною, що становить з горизонтом кут. При постійній на всій ділянцірушійній силімотоцикл в точцінабуває швидкостіі перелітає через рів шириною, знаходячись у повітрісек і приземляючись в точцізі швидкістю. Маса мотоцикла з мотоциклістом дорівнює.

Числові параметри, що задаються, приведені в стовпці «Дано» табл.Д1.2.

Визначити: параметри, зазначені в стовпці «Визначити» табл.Д1.2.

При розв’язанні задачі прийняти мотоцикл з мотоциклістом за матеріальну точку. Сили опору руху не враховувати.

Табл.Д1.2.

№ вар.	Дано	Визначити
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29

Варіанти 30 - 39. Камінь (рис.Д1.3) сковзає протягом сек по ділянціпохилої площини, що складає кутз горизонтом і має довжину. Його початкова швидкість. Коефіцієнт тертя ковзання каменю по площині дорівнює. Маючи в точцішвидкість, камінь черезсек вдаряється в точціоб вертикальну стіну.

Числові параметри, що задаються, приведені в стовпці «Дано» табл.Д1.3.

Визначити: параметри, зазначені в стовпці «Визначити» табл.Д1.3.

При розв’язанні задачі прийняти камінь за матеріальну точку. Опір повітря не враховувати.

Табл.Д1.3.

№ вар.	Дано	Визначити
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39

Варіанти 40 - 49. Тіло (рис.Д1.4) рухається з точки по ділянці(довжиною) похилої площини, що складає кутз горизонтом. Його початкова швидкість. Коефіцієнт тертя ковзання дорівнює. Черезсек тіло в точцізі швидкістюзалишає похилу площину і падає на горизонтальну площину в точкузі швидкістю. При цьому тіло перебуває в повітрісек.

Числові параметри, що задаються, приведені в стовпці «Дано» табл.Д1.4.

Визначити: параметри, зазначені в стовпці «Визначити» табл.Д1.4.

При розв’язанні задачі прийняти тіло за матеріальну точку. Опір повітря не враховувати.

Табл.Д1.4.

№ вар.	Дано	Визначити
40
41		рівняння траекторії на ділянці
42
43
44
45
46		рівняння траекторії на ділянці
47
48
49

Варіанти 50 - 59. Маючи в точці (рис.Д1.5) швидкість, тіло рухається по горизонтальній ділянцідовжиноюпротягомсек. Коефіцієнт тертя ковзання тіла по площині дорівнює. В точцізі швидкістютіло залишає площину і попадає в точкузі швидкістю, знаходячись у повітрісек.

Числові параметри, що задаються, приведені в стовпці «Дано» табл.Д1.5.

Визначити: параметри, зазначені в стовпці «Визначити» табл.Д1.5.

При розв’язанні задачі прийняти тіло за матеріальну точку. Опір повітря не враховувати.

Табл.Д1.5.

№ вар.	Дано	Визначити
50
51
52
53
54
55		рівняння траекторії на ділянці
56
57
58
59

Варіанти 60 - 69. Маючи в точці (рис.Д1.6) швидкість, автомобіль з каскадером піднімаютьсясек по ділянцітрампліна довжиною, що становить з горизонтом кут. При постійній на всій ділянцірушійній силіавтомобіль в точцінабуває швидкості, покидає трамплін і перелітає через перешкоду, приземляючись в точціна відстанівід трампліна. В момент подолання перешкоди (на відстанівід трампліна) автомобіль знаходиться на висотівід поверхні землі і перебуває в повітрісек. Висота трампліна4 м. Маса автомобіля з каскадером дорівнює.

Числові параметри, що задаються, приведені в стовпці «Дано» табл.Д1.6.

Визначити: параметри, зазначені в стовпці «Визначити» табл.Д1.6.

При розв’язанні задачі прийняти автомобіль з каскадером за матеріальну точку. Сили опору руху не враховувати.

Табл.Д1.6.

№ вар.	Дано	Визначити
60		рівняння траекторії на ділянці
61
62
63		рівняння траекторії на ділянці
64
65		рівняння траекторії на ділянці
66
67
68
69

Варіанти 70 - 79. Тіло (рис.Д1.7) рухається з точки по ділянці(довжиною) похилої площини, що складає кутз горизонтом. Його початкова швидкість. Коефіцієнт тертя ковзання дорівнює. Черезсек тіло в точцізі швидкістюзалишає похилу площину і падає на горизонтальну площину на висотів точкузі швидкістю. При цьому тіло знаходиться в повітрісек , а точкавіддалена від точкина відстані.

Числові параметри, що задаються, приведені в стовпці «Дано» табл.Д1.7.

Визначити: параметри, зазначені в стовпці «Визначити» табл.Д1.7.

При розв’язанні задачі прийняти тіло за матеріальну точку. Опір повітря не враховувати.

Табл.Д1.7.

№ вар.	Дано	Визначити
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79

Варіанти 80 - 89. Артилерійський снаряд стартує () із точки(рис.Д1.8) стволагармати. Ствол нахилений під кутомдо вертикалі і має довжину. Віддоснаряд рухаєтьсясек під дією постійної силитиску порохових газів. В точцізі швидкістювін залишає ствол і черезсек польоту попадає зі швидкістюв точку, що знаходиться на відстанівід гармати. Точкагармати знаходиться на висотівід поверхні Землі. При русі по траєкторії снаряд досягає максимальної висотиза часвід моменту вильоту з гармати.

Числові параметри, що задаються, приведені в стовпці «Дано» табл.Д1.8.

Визначити: параметри, зазначені в стовпці «Визначити» табл.Д1.8.

При розв’язанні задачі прийняти снаряд за матеріальну точку. Опір повітря не враховувати. Поверхню Землі вважати плоскою.

Табл.Д1.8.

№ вар.	Дано	Визначити
80
81
82
83
84		рівняння траекторії на ділянці
85
86
87
88
89

Варіанти 90 - 99. Маючи в точці (рис.Д1.9) швидкість, мотоцикл з мотоциклістом піднімаютьсясек по ділянцітрампліна довжиною, що складає з горизонтом кут. При постійній на всій ділянцірушійній силімотоцикл в точцінабуває швидкості, залишає трамплін і перелітає через перешкоду, приземляючись в точціна відстанівід трампліна. В момент подолання перешкоди (на відстанівід трампліна) мотоцикл знаходиться вище перешкоди на(м), а час польоту в цю мить складаєсек. Висота трампліна3 м. Висота перешкоди 4 м. Маса автомобіля з каскадером дорівнює.

Числові параметри, що задаються, приведені в стовпці «Дано» табл.Д1.9.

Визначити: параметри, зазначені в стовпці «Визначити» табл.Д1.9.

При розв’язанні задачі прийняти мотоцикл з мотоциклістом за матеріальну точку. Сили опору руху не враховувати.

Табл.Д1.9.

№ вар.	Дано	Визначити
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99

Теоретичне обґрунтування : [5] § 79, 80, 82; [6] Розд.III. Гл.1. § 4 -7; [7] § 5 -7; [8]; [9].

Методичні вказівки. Завдання Д-1 на тему “Динаміка матеріальної точки” і полягає у визначенні закону руху точки шляхом інтегрування диференціальних рівнянь руху.

У загальному випадку рух точки під дією однієї або кількох сил може бути визначений за допомогою основного закону динаміки, який пов’язує діючі на точку сили, масу точки та її прискорення. У векторній формі цей зв’язок має вигляд:

(Д1.1)

де -маса точки;

- прискорення точки;

- векторна сума сил, що діють на точку.

Якщо спроектувати (Д1.1) на осі прямокутної системи координат будемо мати:

(Д1.2)

Ураховуючи, що ,,отримаємо проекції швидкості точки у будь-який момент часу:

, (Д1.3)

де - константи інтегрування, які визначаються з початкових умов.

Повний вектор швидкості є геометричною сумою його проекцій, а величина може бути визначена за формулою:

Якщо треба отримати координати точки як функції часу, слід зробити заміну,,. Тоді маємо наступне:

, (Д1.4)

де - константи інтегрування, які визначаються з початкових умов.

Таким чином, при відомих силах, що діють на точку, і її масі, рух точки і її положення в кожну мить можуть бути визначеними за формулами (Д1.2) - (Д1.4).

Якщо рух точки відбувається в площині, достатньо користуватися двома координатними осями. Якщо рух точки є прямолінійним – обмежуються однією чи двома осями.

В запропонованому завданні рух точки спостерігається в площині на двох ділянках – прямолінійній і криволінійній. Для складання диференціальних рівнянь руху точки на кожній з ділянок необхідно враховувати напрямок осей координат (задані на рисунку) і сили, що діють на точку в довільний момент часу. Треба також врахувати, що точка є спільною для двох ділянок, тобто швидкістьє кінцевою для першої ділянки і початковою для другої. Константи інтегрування знаходять з початкових умов для кожної з ділянок. Отримані розв’язки диференціальних рівнянь дозволяють знайти шукані величини.

Якщо при розв’язанні задачі виникає проблема недостачі вихідних даних, то необхідно отримати в загальному вигляді швидкості і координати точки на обох ділянках, а потім розв’язати систему алгебраїчних рівнянь відносно усіх невідомих, що входять в ці рівняння.