Розв’язування.

Розглянемо рух механічної системи, що складається з тіл 1, 2, 3, 4, з’єднаних нитками. Система має одну ступінь вільності. В’язі, накладені на систему, є ідеальними.

Для визначення прискорення вантажу 3 – використаємо загальне рівняння динаміки:

, (5.1)

де сума можливих робіт активних сил, що діють на систему;сума можливих робіт сил інерції.

Зобразимо діючі на систему активні сили і пару сил з моментом(рис.Д5.б). Задамо напрям прискорень тіл. Прикладемо сили інерції тіл 3 і 4 (), які виконують поступальний рух. Зобразимо момент сил інерції тіла 2 (), яке обертається навколо нерухомої осі. Напрямок інерційних сил і моментів - протилежно відповідним прискоренням.

Чисельно вони дорівнюють:

(5.2)

Задамо системі (рис. Д5.б) можливе переміщення та складемо загальне рівняння динаміки для системи:

(5.3)

Через те, що механічна система має один ступінь вільності, виразимо всі можливі переміщення через одне, наприклад, :

(5.4)

Підставимо величини (5.2) та (5.4) в рівняння (5.3) і отримаємо:

(5.5)

Всі прискорення, що входять до (5.5), виразимо через шукане :

(5.6)

Враховуючи, що можливі переміщення нескінченно малі, але не дорівнюють нулю ( тобто) , та враховуючи (5.6) отримаємо:

(5.7)

Приймемо , підставимо числові значення та знайдемо:

. Знак “-“ указує на те, що прискорення вантажу 3 та прискорення інших тіл системи спрямовані протилежно показаним на рис. Д5.б.

.

Відповідь:

Завдання Д-6. Рівняння Лагранжа II роду

Умова завдання. Механічна система складається із ступінчастих шківів 1 і 2 вагоюіз радіусами ступіней(масу кожного шківа вважати рівномірно розподіленою на зовнішньому ободі); вантажів 3, 4 та однорідного циліндричного котка 5 вагоювідповідно (рис. Д6.0 – Д6.9, табл. Д6). Тіла з’єднані нерозтяжними нитками, намотаними на шківи; нитки паралельні відповідним площинам. Вантажі рухаються без тертя; коток котиться без ковзання.

Система рухається під дією постійної сили ; на шківи 1 і 2 діють моменти сил опору, що дорівнюють відповідноі.

Вантажі, вага яких дорівнює нулю, на рисунку не зображати, шківи 1 і 2 завжди входять в систему. При обчисленні кутового прискорення абовважати

Визначити: параметри, зазначені у стовпці „Знайти”.

Табл.Д6

№ умови									Знайти
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9	12Р 0 10Р 0 8Р 12Р 0 10Р 12Р 0	0 10Р 0 12P 10P 0 12P 8P 0 12P	P 0 0 2P 0 2P 0 0 0 2P	0 4P 2P 0 0 0 3p 0 5P 0	3P 2P P 3P 2P P 4P 2P 4P 3P	0,2PR 0 0,3PR 0 0 0 0,2PR 0,3PR 0 0,2PR	0 0,3PR 0 0,2PR 0,3PR 0,4PR 0 0 0,2PR 0	8P 6P 4P 10P 5P 8P 6P 5P 6P 10P	a3   a3 aC5  a4  a4 aC5

Теоретичне обґрунтування : [5] § 142 – 146 ; [6] Розд.III. Гл.6. § 5 – 7 , 9;

[7] § 112, 119, 125, 128 ; [8]; [9]; [11]; [12]; [13].

Методичні вказівки. Завдання Д-6 на тему “Рівняння Лагранжа II роду”. Рівняння Лагранжа II роду мають вигляд:

, (Д6.1)

де (- кількість ступенів вільності системи);

- кінетична енергія системи;

і-та узагальнена координата;

і-та узагальнена швидкість;

узагальнена активна сила, що відповідає і–ій узагальненій координаті (при розв’язуванні конкретних задач зручно позначати через ).

Кількість рівнянь Лагранжа II роду, що складається для розв’язування задачі, повинна дорівнювати кількості ступенів вільності, тобто кількості незалежних можливих переміщень, що має система.

Узагальнена активна сила визначається за формулою:

, (Д6.2)

де - можливе зростання узагальненої координати (>0);

- сума можливих робіт активних сил, що відбувається на можливому переміщені системи за умовою, що >0;

( - кількість активних сил, що діють на систему).

Приклад Д-6

Механічна система (рис. Д6.а) складається із ступінчастого шківа 2 (маса рівномірно розподілена на зовнішньому ободі), вантажу 1 і однорідного котка 3, з’єднаних нерозтяжними нитками, намотаними на різні ступені шківа. Вага тіл відповідно дорівнює . Система рухається під дією сили; на шків діє момент опору.

Дано:

Визначити:прискорення вантажу 1 - , нехтуючи тертям.