Завдання д-2. Динамічні рівняння руху тіл

Умова завдання. Механічна система складається з вантажів 1 і 2, циліндричного однорідного котка 3 та ступінчастих шківів 4 і 5 з радіусами ступіней ,,,(масу кожного шківа вважати розподіленою по зовнішньому ободу) (рис.Д2.0 – Д2.9, табл.Д2). Якщо маса вантажу дорівнює нулю, на рисункуйого не зображати. Тіла пов'язані між собою нерозтяжними нитками, намотаними на шківи; ділянки ниток паралельні відповідним площинам.

Система рухається під дією сили . На шківи 4 та 5 діють постійні моменти опору, що дорівнюють відповіднота.

Визначити. Силу натягу нитки, що утримує вагомий вантаж.

Табл. Д2

№ умови	, кг	, кг	, кг	, кг	, кг	, Н·м	, Н·м	, Н
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9	2 6 0 0 8 4 0 0 6 0	0 0 4 2 0 0 6 4 0 2	4 2 6 4 2 4 2 6 4 6	6 0 8 0 10 0 6 0 8 0	0 8 0 10 0 6 0 8 0 10	0 0,6 0 0,3 0 0,9 0 0,6 0,3 0	0,8 0 0,4 0 0,6 0 0,8 0 0 0,4	200 180 220 240 210 190 230 200 220 210

Теоретичне обґрунтування : [5] § 100, 102, 110, 111, 115, 118, 128, 130;

[6] Розд.III. Гл.3. § 2 – 4 , Гл.4. § 2 – 4 ; [7] § 34, 42, 48, 49, 55, 56, 78, 79, 86; [8]; [9]; [14]; [12].

Методичні вказівки. Завдання Д-2 на тему “Динамічні рівняння руху тіл”. Щоб застосувати цей метод , спочатку механічну систему роз’єднують на окремі тіла, враховуючи реакції в’язей між ними. Потім для кожного вільного тіла складається динамічне рівняння руху, форма якого залежить від виду руху тіла.

Якщо тіло виконує поступальний прямолінійний рух вздовж осі , динамічне рівняння має вигляд:

, (Д2.1)

де маса тіла;проекція прискорення на вісь;проекціяой сили на вісь.

Якщо тіло обертається навколо нерухомої осі , динамічне рівняння має вигляд:

, (Д2.2)

де осьовий момент інерції;кутове прискорення тіла;момент силивідносно осі обертання.

Динамічні рівняння плоского руху тіла, коли центр мас (точка С) рухається вздовж осі , мають вигляд:

(Д2.3)

(Д2.4)

де маса тіла;проекція прискорення центру мас тіла на вісь;осьовий момент інерції тіла, відносно осі;момент сили, відносно осі.

Осьовий момент інерції диска або циліндра, маси яких розподілені по ободу радіуса(тобто момент інерції кільця), відносно центральної осідорівнює:

(Д2.5)

Осьовий момент інерції однорідного диска, циліндра або котка радіуса відносно центральної осівизначається за формулою:

(Д2.6)

Якщо задається радіус інерції тіла відносно осі, осьовий момент інерції тіла дорівнює:

(Д2.7)

Для того, щоб отримати динамічне рівняння руху механічної системи, необхідно із складених динамічних рівнянь руху тіл, з яких складається механічна система, виключити сили реакцій в’язей, бо для них має місце закон рівності дії та протидії.

Приклад Д-2

Механічна система (рис.Д2.а) складається з вантажу 1, ступінчастих шківів 2 і 3 (маса шківів рівномірно розподілена по зовнішніх ободах) та однорідного циліндричного котка 4. Тіла зв’язані між собою нерозтяжними нитками, намотаними на шківи. Горизонтальна площина гладенька, коток котиться без ковзання.

Система рухається під дією сили . При русі на шків 2 діє постійний момент сил опору. Визначити силу натягу нитки, що утримує вантаж 1.

Дано:

m₁ = 4 кг, m₂ = 3 кг,

m₃ = 5кг, m₄ =2кг,

R₂ = 0,2м, r₂ = 0,1м,

R₃ = 0,3м, r₃ = 0,1м,

M _оп= 0,6 Нм, F = 200H.

Визначити:силу натягу нитки, що утримує вантаж 1.

Розв’язування.

Розглянемо рух незмінної механічної системи, що складається з тіл 1, 2, 3 і 4. Система рухається під дією сили . В залежності від цього покажемо напрямок прискорень всіх тіл системи.

Для того, щоб застосувати динамічні рівняння руху тіл, роз’єднаємо систему на окремі тіла та зобразимо їх вільними (рис.Д2.б,в,г,д). Зобразимо активні сили, діючі на тіла. В’язі, накладені на тіла, замінимо їх реакціями. Реакції ниток, що з’єднують тіла, покажемо вздовж ниток у напрямку від тіла (бо нитки розтягнуті). Згідно із законом рівності дії та протидії маємо:

Вибираємо системи координат для кожного тіла так, щоб проекції прискорень на обрані осі були додатними.

Розглянемо тіло 1 (рис.Д2.б). На нього діють: рушійна сила ; сила ваги; реакція площинита сила реакції нитки, що з’єднує тіла 1 і 2 (подвійні індекси треба читати як сила, діюча з боку тіла 2 на тіло 1). Вибираємо систему координаттаким чином, щоб прискореннязбігалося б за напрямом з віссю.

Розглянемо тіло 2 (рис.Д2.в). На нього діють: момент опору ; сила ваги; реакція підшипника; сили реакцій нитокта, що з’єднують тіло 2 з тілами 1 і 3. Вісь обертанняспрямуємо від нас за напрямком вектора кутового прискорення.

Розглянемо тіло 3 (рис.Д2.г). На нього діють: сила ваги ; реакція підшипника; сили реакцій нитокта, що з’єднують тіло 3 з тілами 2 і 4. Вісь обертанняспрямуємо від нас за напрямком вектора кутового прискорення.

Розглянемо тіло 4 (рис.Д2.д). На нього діють: сила ваги ; реакція площини (по якій котиться коток без ковзання) розкладається на дві складові: нормальну, перпендикулярну до площини, і силу зчеплення, яка спрямована вздовж площини; та сила реакції нитки, що з’єднує тіло 4 з тілом 3. Вибираємо систему координаттаким чином, щоб прискореннязбігалося за напрямом з віссю, вісь обертанняспрямуємо від нас за напрямком вектора кутового прискорення.

Запишемо динамічне рівняння рухукожного тіла, що входить до системи.

Для тіла 1: (2.1)

Для тіла 2: (2.2)

Для тіла 3: (2.3)

Для тіла 4: (2.4)

(2.5)

Систему рівнянь(2.4)і(2.5) замінимо одним, виключивши з них :

(2.6)

Силу реакції нитки можна знайти з рівняння (2.1). Для цього треба знати, з яким прискореннямрухається тіло 1. Прискорення будь якого тіла можна знайти з динамічного рівняння руху механічної системи, яке можна отримати з рівнянь (2.1) - (2.3) і (2.6), виключивши з них сили реакції ниток. Спочатку з’єднаємо рівняння (2.1) і (2.2).

Ураховуючи, що , помножимо рівняння (2.1) ната додамо до рівняння (2.2), отримаємо:

(2.7)

Враховуючи, що маємо з рівнянь (2.3) та (2.7):

(2.8)

Остаточно з рівнянь (2.8) та (2.6), враховуючи, що , отримаємо динамічне рівняння руху механічної системи:

(2.9)

Щоб визначити прискорення вантажу 1, виразимо всі прискорення тіл системи через :

(2.10)

Моменти інерції визначимо за формулами:

(2.11)

Підставимо (2.10) і (2.11) в (2.9) та винесемо прискорення за дужки:

(2.12)

Підставимо числові значення та знайдемо прискорення вантажу 1:

З рівняння (2.1) знайдемо силу реакції нитки, що утримує вантаж 1:

Відповідь: