Завдання д-4. Принцип д’Аламбера

Умова завдання. Вертикальний вал (рис. Д4.0 – Д4.9, табл. Д4), що обертається з постійною кутовою швидкістю, закріплений підп’ятником в точціта циліндричним підшипником в точці, що вказана в табл. Д4 в стовпці 2До вала жорстко прикріплені невагомий стержень 1 довжиноюз вантажем масоюна кінці та однорідний стержень 2 довжиною, що має масу; обидва стержня знаходяться в одній площині. Точки кріплення стержнів до вала та величини кутівівказані в таблиці.

Визначити. Реакції підп’ятника та підшипника, нехтуючи вагою вала.

Табл.Д4

Номер умови	Пiдшипник в точцi	Закрiплення				Номер умови	Пiдшипник точцi	Закрiплення			
		стержня 1 в точцi	стержня 2 в точцi					стержня 1 в точцi	стержня 2 в точцi
0	B	D	K	30	45	5	D	K	B	30	45
1	D	B	E	45	60	6	E	B	K	45	30
2	E	D	B	60	75	7	K	E	B	60	75
3	K	D	E	75	30	8	D	E	K	75	60
4	B	E	D	90	60	9	E	K	D	90	45

Теоретичне обґрунтування : [5] § 133 – 135 ; [6] Розд.III. Гл.5. § 1 ;

[7] § 106 - 111 ; [8]; [9]; [12]; [13].

Методичні вказівки. Завдання Д-4 на тему “Принцип Д’Аламбера для механічної системи». Введемо поняття сил інерції точки. Сила інерції зумовлена прискореним рухом матеріальної точки, дорівнює добуткові маси точки на її прискорення і спрямована протилежно вектору прискорення. Тобто

(Д4.1)

Згідно до основного закону динаміки точки:

, (Д4.2)

де - рівнодійна активних сил,- рівнодійна сил реакцій в’язей.

З (Д4.2) маємо:

Або з урахуванням (Д4.1):

(Д4.3)

Вираз (Д4.3) є рівнянням умовної рівноваги точки, тобто рівноваги з урахуванням умовно прикладеної сили . Таким чином , принципД’Аламбера полягає в тому, що в кожний момент часу геометрична сума активних сил, сил реакцій в’язей, що діють на рухому матеріальну точку, та умовно прикладеної до точки сили інерції дорівнюють нулю.

Приклад Д-4

З невагомим валом ,що обертається з постійною кутовою швидкістю , жорстко скріплений стержень довжиноюі масою, що має на кінці вантажмасою(рис. Д4.а).

Дано:

Визначити:реакції підп’ятника та підшипника.

Розв’язування.

Розглянемо рух механічної системи, що складається з вала , стержнята вантажу.Для визначення невідомих реакцій застосуємо принцип Д’Аламбера. Проведемо осі , що обертаються разом з валом, таким чином, щоб стержень знаходився в площині, та зобразимо діючі на систему зовнішні сили: сили ваги, складовіреакції підп’ятника і реакціюпідшипника (рис.Д4.б).

За принципом Д’Аламбера прикладемо сили інерції елементів стержня та вантажу, вважаючи його матеріальною точкою. Враховуючи, що вал обертається рівномірно , елементи стержня мають тільки нормальні прискорення, спрямовані до осі обертання, чисельно:

,

де відстань елемента від осі.

Тоді сили інерції будуть спрямовані від осі обертання і чисельно:

,

де маса елемента.

Оскільки всі пропорційні, то епюра цих паралельних сил є трикутник і їх можна замінити рівнодійною, лінія дії якої проходить через центр ваги цього трикутника, тобто на відстанівід вершини, де(, тобто) .

Але, як звісно, рівнодійна будь якої системи дорівнює її головному вектору, а чисельно головний вектор сил інерції стержня:

,

де прискорення центра мас стержня.

Як і будь-який елемент стержня, центр його мас має тільки нормальне прискорення:

Таким чином отримаємо:

Аналогічно, сила інерції вантажу спрямована від осі обертання, а чисельно:

.

Всі діючі на систему сили і сили інерції знаходяться в одній площині , тому і реакції підп’ятникаі підшипникатакож знаходяться в цій площині, що було враховано при їх зображенні.

За принципом Д’Аламбера, прикладені активні сили, сили реакції та сили інерції складають зрівноважену систему сил. Таким чином, для отриманої плоскої системи сил , складемо три рівняння умовної рівноваги:

(4.1)

(4.2)

(4.3)

Підставимо числові значення, та знайдемо невідомі реакції. Через те, що , приймаючи, з рівняння (4.2) знайдемо:

.

З рівняння (4.3) знайдемо :

Підставимо отримане в рівняння (4.1) і знайдемо:

.

Відповідь:

. Знаки вказують на те, що сили таспрямовані протилежно показаним на рис. Д4.б

Завдання Д-5. Загальне рівняння динаміки

Умова завдання. Механічна система складається з однорідних ступінчастих шківів 1 і 2, обмотаних нерозтяжними нитками, вантажів 3 – 6, прикріплених до цих ниток, та невагомого блока (рис. Д5.0 – Д5.9, табл. Д5). Система рухається у вертикальній площині під дією сил ваги та пари сил з моментом , прикладеної до одного з шківів. Радіуси ступенів шківа 1 дорівнюють:, а шківа 2 –; радіуси інерції відносно осей обертання дорівнюють відповіднота. Вага тілзадана в табл. Д5. Вантажі, вага яких дорівнює нулю, на рисунку не зображати, шківи 1 і 2 зображати завжди.

Визначити. Прискорення вантажу, що має найбільшу вагу, нехтуючи тертям.

Табл. Д5

№ умови		,	,	,	,	,
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9	10 0 20 0 30 0 40 10 0 30	0 40 30 20 0 10 0 20 40 0	20 0 40 10 20 30 0 0 10 40	30 10 0 30 0 40 20 40 0 20	40 20 10 0 40 20 30 0 30 10	0 30 0 40 10 0 10 30 20 0	10 12 16 18 12 16 10 18 12 16

Теоретичне обґрунтування : [5] § 137 – 141; [6] Розд.III. Гл.6. § 1 – 3 , 8;

[7] § 112, 117, 118 ; [8]; [9]; [12]; [13] .

Методичні вказівки. Завдання Д-5 на тему «Загальне рівняння динаміки». Для систем з геометричними, стаціонарними ідеальними в’язями означене рівняння має вигляд:

, (Д5.1)

де сума можливих робіт активних сил, що діють на систему;сума можливих робіт сил інерції.

(У наведених вище сумах під можливою роботою розуміється робота сил на якомусь можливому переміщенні системи).

Сили інерції точок, з яких складаються тверді тіла, можна звести до головного вектора та головного моменту сил інерції відносно вибраного центру зведення (в динаміці за центр зведення беруть точку - центр мас тіла). Для тіл, що виконують поступальний, обертальний або плоский рухи головний вектор і головний момент сил інерції визначаються за правилами.

Для тіла, що виконує поступальний рух:

- головний вектор , головний момент, (Д5.2)

де маса тіла,прискорення центру мас тіла.

Головний вектор сил інерції та прискорення центру мас спрямовані протилежно.

Для тіла, що виконує обертальний рух навколо нерухомої центральної осі:

- головний вектор , головний момент, (Д5.3)

де осьовий момент інерції, кутове прискорення тіла.

Головний момент сил інерції та кутове прискорення спрямовані протилежно.

Для тіла, що виконує плоский рух:

- головний вектор , головний момент, (Д5.4)

Головний вектор і головний момент сил інерції спрямовані протилежно відповідним прискоренням.

Приклад Д-5

Механічна система (рис. Д5.а) складається із з’єднаних нерозтяжними нитками блока 1 радіуса і ступінчастого шківа 2 (радіуси ступінейі, радіус інерції відносно осі обертання), а також вантажів 3 і 4, прикріплених до цих ниток. Система рухається у вертикальній площині під дією сил ваги та пари сил з моментом, прикладеної до блока 1.

Дано:

Визначити:прискорення вантажу 3, нехтуючи тертям.