- •Міністерство освіти та науки України
- •Передмова
- •Вибір варіанту, рекомендації до виконання і вимоги до оформлення робіт
- •3. Динаміка Основні поняття
- •Алгоритм розв’язування задач динаміки, що пов’язані із складанням динамічних рівнянь руху
- •Завдання д-1. Інтегрування диференціальних рівнянь руху матеріальної точки, що знаходиться під дією постійних сил
- •Приклад д-1
- •Розв'язування.
- •Завдання д-2. Динамічні рівняння руху тіл
- •Завдання д-3. Теорема про зміну кінетичної енергії
- •Завдання д-4. Принцип д’Аламбера
- •Згідно до основного закону динаміки точки:
- •Розв’язування.
- •Розв’язування.
- •Розв’язування.
- •Розв’язування.
- •4. Література
- •П р и м і т к и
Приклад д-1
На рис.Д1.а зображена схема ділянки для навантаження і вивезення скрапу (технологічна обрізь металопрокату) в цеху гарячої прокатки заготовок.
Кусні обрізі з бункера-нагромаджувача подаються конвеєрним транспортером на плоский похилий навантажувальний лоток . Кут нахилу лотка до горизонту -. Швидкість кусня в точцілотка дорівнюєі співпадає з величиною швидкості руху транспортерної стрічки конвеєра. Довжина лоткадорівнює. Коефіцієнт тертя ковзання кусня по лотку -. Після сковзання по ділянці, кусень в точцінабуває швидкості, після чого відривається від лотка і під дією сили ваги падає у вагонетку. Місце падіння – точкадна вагонетки, що знаходиться нижче лотка на відстані.
Визначити
Яку швидкість необхідно надати стрічці транспортера, щоб місцем падіння куснів обрізі була середина вагонетки (розмір , рис.Д1.а)?
Як залежить дальність польоту шматків від їхньої маси?
Яку швидкість здобуває кусень обрізі в момент відриву від лотка ?
Дано:
Визначити:
- ?
- ?
- ?
Розв'язування.
Для дослідження руху кусень обрізі заміняємо матеріальною точкою масою . Рух точки від початку лоткадо місця падінняумовно розіб'ємо на дві ділянки: прямолінійну -і криволінійну -. Сили, що діють на точку на кожній з ділянок, постійні за величиною і напрямком.
Розглянемо рух матеріальної точки на ділянці . Система координат з початком у точціпоказана на рис.Д1.а. Зобразимо точку на ділянців довільний момент часу (рис.Д1.б). Зобразимо сили, що діють на точку в цей момент часу. Цими силами є: вертикальна за напрямком сила ваги; нормальна реакція похилої площиниі сила тертя ковзання, спрямована уздовж площини лотка проти руху.
Запишемо динамічні рівняння руху точки в проекціях на обрані осі координат. Проекції сил, що співпадають з осями за напрямком, вважаємо додатними, а протилежні – від’ємними.
Якщо координата , маємо.
Тоді із (1.2) , що дозволяє обчислити силу тертя ковзання.
Тепер, якщо підставити значення в (1.1), отримаємо:
;
Перетворимо (1.3) в диференціальне рівняння шляхом заміни .
Інтегруючи (1.4) при будемо мати:
Константу визначимо з початкової умови:.
Тоді :
Для моменту часу маємо, тобто
Аналогічно інтегруємо рівняння (1.6), враховуючи, що , а. Одержимо:
Константу визначимо з початкової умови:.
Тоді:
Для моменту часу маємо, тобто
Розглянемо рух матеріальної точки на ділянці криволінійного руху . Система координат з початком в точціпоказана на рис. Д1.а. Зобразимо точку на ділянці в довільний момент часу (рис. Д1.в). Зобразимо сили, що діють на точку в цей момент часу. На точку діє тільки одна сила - вертикальна сила ваги (опором повітря нехтуємо). Запишемо динамічні рівняння руху точки в проекціях на осі координат:
Перетворимо рівняння (1.11) у диференціальне і розв’яжемо його.
Використовуючи початкову умову , знаходимо.
Тоді
Перетворимо (1.13) у диференціальне рівняння і розв’яжемо його.
.
З початкової умови: маємо, а
Підставляючи в (1.14) , знайдемо координатуточки падіння:
Перетворимо рівняння (1.12) у диференціальне і розв’яжемо його.
З початкової умови: маємо
Тоді
Перетворимо рівняння (1.16) у диференціальне і розв’яжемо його:
З початкової умови маємо: . Тому, а
Підставляючи в (1.17) , знайдемо координатуточки падіння:
Розглянемо систему рівнянь (1.7), (1.10), (1.15) і (1.18). Чотири рівняння містять чотири невідомих параметри: і, тобто система має розв’язок. Після підстановки відомих величин маємо наступне:
Виконавши обчислення, отримаємо:
; ;;.
Частину із знайдених величин потрібно визначити за умовою задачі.
Аналіз рівняння (1.15) дозволяє відповісти ще на одне з питань умови - дальність польоту точки не залежить від її маси.
Відповідь.
Необхідна швидкість стрічки транспортера .
Дальність польоту шматків обрізі не залежить від їх маси.
Швидкість кусня в момент відриву від лотка .