Кравченко. Практикум

22220. РАСЧЕТ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ ПРИ ВКЛЮЧЕНИИ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ

2.Переходная функция по напряжению kuC (t) uC (t)|u(t) 1B ;

k

u

(t) u

(t)|

u

u

1

r

Aept

0,6 Aept ,

C

u 1B

Cï ð

Cñâ

2

C

r1 r2

где p

1

r1 r2

3

1

8,3 10 c

.

rэквC

r1r2C

Так как

uC (0) uC ( 0) 0 ,

то

ku (0) uC(0) 0,6 A 0 . Отсюда

А = –0,6 В

и

C

k

(t) 0,6 0,6e 8,3103t

0,6(1 e 8,3103t );

u

C

k

(t ) 0,6

8,3103(t )

;

1 e

uC

k

8,310

3(t 510 6)

.

(t t ) 0,6 1 e

uC

1

3.

Расчет напряжений и их производных:

U

u1(0) U0 100B;

u1( ) u1

(t)

t

0

=2 107 В/с;

t

1

u2(t1) u1(t1) U0 2U0= U0= 100 В;

u2( ) u2(t)t U0 sin ( t1)= 105 sin103( 5 10 6) В/с.

4. Переходное напряжение на емкости:

а) на временном интервале 0 t 5 10 6c:

uC (t) 100 0,6					8,3103t			t	2 10		7	0,6				8,3103(t )
		1 e												1 e						d
								0
		3			t										3	t	3	d
60 60e 8,310			t 12 106 d 12 106e 8,310													t e8,310
					0											0
	8,3103t					6		t		12 106					8,3103t		8,3103			t
60 60e				12 10									e				e
								0		8,3 103
																				0

1386 12 106t 1386e 8,3103t B.

Проверка расчета: uC (0) 0;

223

б) на временном интервале														5 10 6c t 1,575 10 3c:
									8,3103t								510 6								7	0,6									8,3103(t )
	uC (t) 100 0,6 1 e																					2 10								1 e												d
																			0
																		8,3103(t 510 6)
							100 0,6 1 e
				t		5				3		5 10							6		0,6								8,3103						(t )
					10		sin10																		1 e											d
		510			6
							3	t 12 106									510 6															3			3			510 6
		60 60e 8,310															0					1446e 8,310											te8,310					0
		60 60e 8,3103te0,042													t
																			0,6 105 sin103( 5 10 6)d
														510 6
			0,6 105e 8,310								3		t	t							3		sin103( 5 10 6)d
																	e8,310
													510 6
		60 60e 8,3103t											60 1446 e0,042													1 e 8,3103t 60
		60e 8,3103te0,042 60cos103 τ 5 10 6																										t			6			0,6e 8,3103t
																												510
				8,3 10																															698,9							t
		8,3103				3	sin10			3		( 5 10						6		) 10				3	cos10					3		( 5 10					6		)
	e
																																										510		6

57,84e 8,3103t 7,13sin103 t 5 10 6 59,14cos103(t 5 10 6)B.

Проверка расчета: uC(t1 0) = uC(t1 + 0);

uC (t1 0) 1386 12 106t 1386e 8,3103t|t t1 510 6c 3,658B; uC (t1 0) 57,84e 8,3103t 7,13sin103 t 5 10 6

59,14cos103 t 5 10 6 t t1 510 6c 3,653B;

224

20. РАСЧЕТ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ ПРИ ВКЛЮЧЕНИИ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ

в) на временном интервале 1,575 10 3c t :

uC (t) 60 60e 8,3103t 60 1446 e0,042 1 e 8,3103t

60

60e0,042e 8,3103t

60cos103 5 10 6

1,57510 3

0,6

e 8,3103t

510

6

698,9

8,3103

8,3 10

3

3

5 10

6

10

3

3

6

1,57510

3

e

sin10

cos10

5 10

510 6

= 3,391 106e 8,3103t B.

Проверка расчета: uC t2 0 uC t2 0 ;

uC t2 0 3,391 106e 8,3103t|

1,57510

3

c

7,13B;

t t2

uC t2 0 57,84e 8,3103t 7,13sin103 t 5 10 6

59,14cos103 t 5 10 6

3

c

7,17 B.

t t2 1,57510

Задача 20.3

L

В цепи (рис. 20.4) известно:

uêë (–t)

r1

E1 = 100 B; е2 = 50e5t B;

r1 = 5 Ом; r2 = 15 Ом;

L = 0,5 Гн.

r2

e2

E

Определить i1(t).

1

i1(t)

Решение

Рис. 20.4

Рассматриваемая задача решается двумя спосо-

бами.

Первый способ расчета: приведение задачи к нулевым начальным усло-

виям.

Искомый переходный ток в цепи с ненулевыми начальными условиями

находится как совокупность тока до

коммутации i1 t и

переходного тока

i1 t

в цепи с нулевыми начальными условиями:

i1 t i1 t i1 t .

225

а) Ток i1 t определяется по докоммутационной схеме, представленной на рис. 20.5:

i1 t E1 r1 r2 5A ;

б) переходный ток i1 t рассчитывается по схеме с нулевыми начальными условиями, изображенной на рис. 20.6.

L L

uкл( t)	r1
r	uкл	r	r1
2	E	2
e2
i (t)	1
1		i1	(t)
Рис. 20.5		Рис. 20.6

В данной схеме напряжение на зажимах источника:

uкл uкл t e2 i2 t r2 50e5t 75B.

Расчет цепи при нулевых начальных условиях при помощи интеграла Дюамеля:

i1 t uкл 0 g1 t

t

	uкл g1 t d ;
	0
переходная проводимость:
	t i1 t |			1		r1	t
g1					Ae L .
	uкл 1B			r1
Так как i1 0 0, то A 1 r1 и		g1 t 0,2 0,2e 10t Ом–1.

Переходная проводимость в запаздывающей форме:

g1 t 0,2 0,2e 10 t Ом 1;

226	20. РАСЧЕТ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ ПРИ ВКЛЮЧЕНИИ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ

расчет uкл(0) и uкл( ):

uкл 0 50e	5t	75	125B;		5	B c	1	;
				uкл( ) 250e
			t 0

переходный ток при нулевых начальных условиях

t

i1 t 125 0,2 0,2e 10t 250e5 0,2 0,2e 10 t d

0

15 6,67e5t 21,67e 10t A;

в) искомый переходный ток

i1 t 20 6,67e5t 21,67e 10t A.

Проверка: i1 0 i1 0 5A.

Второй способ расчета: метод наложения

i1 t i1 t |E1 i1 t |e2 .

а) Расчет переходного тока i1 t |E1 , обусловленного источником ЭДС Е1

(схема рис. 20.7), классическим методом:

	i1|E		E1		r1	t
		i1пр i1св		Ae L .
			r1
	1

Так как i1 0 i1 0 E1 r1 r2 , то

AE1 r1 r2 E1r1 15 A,

иискомая составляющая переходного тока:

i1|E1 20 15e 10t A;

б) расчет составляющей переходного тока i1 t |e2 , обусловленной источ-

ником ЭДС е2 (схема рис. 20.8), с помощью интеграла Дюамеля:

t

i1 t |e2 e2 0 g1 t e2 g1 t d ;

0

227

g1 t 0,2 0,2e 10tОм 1; g1 t 0,2 0,2e 10 t Ом 1

(переходная и запаздывающая проводимости рассчитаны при решении задачи первым способом);

L L

r1

r2

e2

r2

r1

i1

(t)

E1

E1

i (t)

1

e

2

			Рис. 20.7				Рис. 20.8
			e2 0 50e5t			50B; e2 250e5 Bc 1;
					t 0
	t |					t	250e5 0,2 0,2e 10 t d
i1			50 0,2 0,2e 10t
	e
		2				0
10 10e 10t 10e5 |t0 3,33e 10te15 |t0 10 10e 10t								10e5t
			10 3,33e5t 3,33e 10t				6,67e5t 6,67e 10t	A .
Искомый переходный ток:						i t 20 6,67e5t 21,67e 10t A.
						1

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

Задача 20.4

В цепи (рис. 20.9) известно: r1 = r2 = 10 Ом; r3 = 5 Ом; С = 100 мкФ, входное напряжение (рис. 20.10)

		500t	при 0 t t1		3		1
40e				, где t 4 10		c		.
u t	0		при t1 t
				1
Определить величину переходного тока i1 при t = 3∙10–3 с.
Ответ: 0 t t1;	i1 t 2e 1000t e 500t			A; i1(3∙10–3) = 0,323 A.

228

20. РАСЧЕТ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ ПРИ ВКЛЮЧЕНИИ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ

i1(t)

r1

u

u(t)

r2

r3

C

t

0

t1

Рис. 20.9

Рис. 20.10

Задача 20.5

В цепи (рис. 20.11) дано: r1 = 5 Ом; r2 = 10 Ом; L = 0,1 Гн.

График входного напряжения представлен на рис. 20.12. U0 = 200 B; t1 = 0,02 c. Определить i1(t).

i1(t)		r1				u
						U0
u(t)			r2		L
								t
							0	t1
	Рис. 20.11							Рис. 20.12
Ответ: 0 t t ;			i	t 80 2000t 66,7e 33,3t			A;
		1	1
t	t ;		i		t 11,2e 33,3t	A.
1				1

21. РАСЧЕТ НЕЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ ПОСТОЯННОГО ТОКА

Основные сведения

Электрическая цепь, содержащая хотя бы один нелинейный элемент (НЭ), является нелинейной. Нелинейные сопротивления обладают нелинейной вольт-амперной характеристикой (ВАХ)

Расчет нелинейных цепей постоянного тока

Нелинейные цепи постоянного тока описываются алгебраическими нелинейными уравнениями (на основе законов Кирхгофа), не имеющими общих методов решения. Поэтому анализ нелинейных цепей постоянного тока осуществляется приближенно: графически, аналитически (с использованием тех или иных аппроксимаций нелинейных характеристик), а также, например, с помощью вычислительного комплекса MathСad

Графический метод расчета

Суть метода состоит в эквивалентной замене нескольких нелинейных и линейных элементов одним с результирующей вольт-амперной характеристикой

Последовательное соединение элементов

Первый способ:

Cтроится эквивалентная ВАХ согласно второму закону Кирхгофа: Ur(I) Uн(I) U(I) ,

т. е. производится графическое суммирование напряжений (ординат ВАХ) при одинаковых значениях тока. Далее по заданной ЭДС на результирующей ВАХ U(I) находится рабочая точка режима и определяются входной ток и напряжения на элементах:

E I Ur и Uн

			U (Ur Uí )= f (I)		E Ur(Ir) Uн(Iн),
		I	E	Uí (Ií )
E	Ur				Ir Iн I ,
			Uí
	Uí	Uí (Ií )		`	E Ur(I) Uн(I),
			Ur	Ur (Ir )	Ur(Ir) Ir – линейная
				I	характеристика

0 I

230

21. РАСЧЕТ НЕЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ ПОСТОЯННОГО ТОКА

Второй способ (метод пересечения характеристик)

Рабочая точка находится в результате графического решения уравнения

E Ur(I) Uн(I).

Прямая

E Ur(I) f1(I) получается путем переноса ВАХ Ur(I) Ir в точку U E и

зеркального ее отражения относительно прямой U E , отсюда второе название – метод оп-

рокинутой характеристики

U

Ur (Ir )

U

Uí (Ií )

Ur Ir

E

E Ur

(I) Uí

(I)

I

Ur

Ur (Ir )

f (I)

f

2

(I)

0

I

Uí

1

E Ur (Ir )

I

Ur(I) Ir

0

I

Параллельное соединение нелинейных элементов

При параллельном соединении НЭ строится эквивалентная ВАХ согласно первому зако-

ну Кирхгофа I(U) I1(U) I2(U) I3(U). При этом графически суммируются токи (абсцис-

сы ВАХ) при одинаковых значениях напряжения

r

r

I (U ) I2(U2)

a

Uab

a

U

I(Uab)

E

I1

I2

I3

E

1 1

I3(U3)

I (U )

I2

(U2) I

(U

)

Uab (I)

1

1

3

3

b

I

b

I

I(Uàb) I1(U1) I2(U2) I3(U3)

I

I1

I2

I3

I

U1 U2 U3 Uab

I(Uab) I1(Uab) I2(Uab) I3(Uab)

Расчет полученной одноконтурной схемы может быть осуществлен, например, методом

пересечения характеристик

r

U

I1

(U1)

I2(U2)

E

a

E

Uab(I)

Uab(I)

I3(U3)

I

b

Uab

E Ur (I)

E Ur(I) Uab(I)

I

I1

I2

I3

I

f1(I)

f2(I)

231

Метод эквивалентного генератора

Целесообразен при расчете цепи любой сложности с одним НЭ. Линейную часть схемы

относительно выделенной ветви с НЭ приводят к виду активного двухполюсника с парамет-

рами Eэкв, rэкв . Цепь сводится к неразветвленной нелинейной цепи, расчет которой уже рас-

смотрен (метод пересечения характеристик, например). Определение токов и напряжений в

линейной части цепи выполняется любым из методов расчета линейных цепей

rýêâ

I

U

Eýêâ

Uнэ(I)

rэкв

I

Eэкв

Uí ý(Ií ý)

Eэкв

A

Uнэ

Uнэ(Iнэ)

E

Ir

U

нэ

(I)

Eэкв Irэкв

экв

экв

Iнэ I

I

I

Метод двух узлов в применении к нелинейным цепям (графический расчет)

В основе метода лежит первый закон Кирхгофа.

Получают эквивалентные ВАХ каждой ветви в функции одного переменного (напряже-

ния между двумя узлами)

I1(Uab),

I2(Uab), I3(Uab), складывают их графически в соответ-

ствии с первым законом Кирхгофа

I1 I2 I3 0,

a

E1

I1

I2

I3

I1(Uab) I2(Uab) I3(Uab) 0,

E

E

или

I1(Uab) I2(Uab) I3(Uab).

2

3

Uab

1) Uab E1 U1(I1) I1(Uab) ,

U1(I1)

U2(I2)

U3(I3)

2) U

ab

U

2

(I

2

) E I

2

(U

ab

),

2

b

3) Uab E3 U3(I3) I3(Uab)

Uab E1 U1(I1)

Uab U2(I2) E2

Uab E3 U3(I3)

U

U U2(I2)

U

U

(I

)

E1

Uab(I2)

ab

3

I

U

(I )

Uab(I1)

0

E3

1

1

U3(I3)

I

0

I

E2

0