Кравченко. Практикум

182	17. ДЛИННЫЕ ЛИНИИ ВУСТАНОВИВШЕМСЯ РЕЖИМЕ

Задача 17.6

Воздушная линия без потерь (zc = 300 Ом) нагружена на индуктивность

L2 = 0,02 мГн. Длина волны 60м.

Определить u(y, t), i(y, t); найти координаты ближайших от конца линии точек, в которых имеют место максимумы напряжения и тока.

Решение

Уравнения линии без потерь, с учетом того что U2						j L2I2 jx2I2:
						zc		;
U(y)	U	2 cos y jI2 zc sin y	U	2 cos y j			sin y
						jx2

		U	2		jx
	I(y) I2 cos y j			sin y I2 j	2	sin y cos y ,
		zc			zc

где y – расстояние от конца линии. Если обозначить

zс tg sin ,

x2

cos

то уравнения (1) и (2) могут быть преобразованы в выражения

U y U2

sin

U

2

cos y ;

cos y

sin y

cos

cos

cos

I

2

I y I2

sin y cos y

sin y .

sin

sin

Если принять начальную фазу выходного напряжения равной нулю,

U2 U2 , то (с учетом индуктивного характера нагрузки) I2 jI2 I2e

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

т.е.

j90 .

При принятых выше допущениях выражения для мгновенных значений напряжения и тока принимают следующий вид:

	2U	2	ej t
u(y,t) Im				cos( y ) Um cos( y )sin t ;	(6)
cos

183

I

e j90

2

2

i(y,t) Im

ej t sin( y ) Im sin( y )cos t ,

(7)

sin

где

Um

U2

cos ;

Im

I2 sin .

2

2

Соотношения (6) и (7) являются уравнениями стоячих волн.

Для точек линии, в которых имеются пучности напряжения, справедливо тождество

Um cos( y ) Um ,

откуда

cos( y ) 1; y 2 n, где n = 0, 1, 2… .

Координата ближайшей от конца линии пучности напряжения (при n = 0)

y1 (2 ).

Для точек линии, в которых наблюдаются пучности тока,

Im sin( y ) Im .

Следовательно,

sin( y ) 1, и, как результат, y (4n 1) . 2

Координата ближайшей от конца линии пучности тока (при n = 0)

				y	2							y			.
											2
												1	4
	Как следует из соотношения (3),
	arctg	zс	arctg	zс				arctg					300			0,446,
		x2		L2								3,14 107 0,02 10 3

где (см. задачу 17.3)

фаз c0 c0 2 3 108 2 =3,14 107 1 c 1 .

60

184	17. ДЛИННЫЕ ЛИНИИ ВУСТАНОВИВШЕМСЯ РЕЖИМЕ

В результате координаты ближайших от конца линии пучностей напряжения и тока будут иметь следующие значения:

y1 (2 ) 0,446 4,26 м; 2 60

y2 y1 4 4,26 604 19,26 м.

Ответ: y1 4,26 м, y2 19,26 м.

Задача 17.7

Входное сопротивление кабельной линии:

–в режиме холостого хода zхх 950e j51,6 Ом,

–в режиме короткого замыкания zкз 1250ej31,6 Ом.

Линия работает при частоте f = 800 Гц, длина линии l =10 км. Определить постоянные A, B, C, D эквивалентного линии четырехполюсника и параметры его Т-образной схемы замещения.

Решение

1. Определение коэффициентов четырехполюсника, эквивалентного рас-

сматриваемой линии. Напряжение U1 и ток I1 в начале линии при заданных U2

и I2 в конце линии определяются уравнениями

U1

U2 ch l I2 zc sh l;

I1

U

2

sh l I2 ch l.

(1)

zc

Основные уравнения четырехполюсника:

U1

A

U2

B

I2; I1

C

U2

D

I2.

(2)

Из сопоставления систем уравнений (1) и (2) получим

A D ch l ;

(3)

B zcsh l;

(4)

C

sh l

zc .

(5)

185

Для линии в режимах холостого хода и короткого замыкания из уравне-

ний (1) и (2)

zхх

U

1х

U2 ch l

z

c

;

(6)

I1х

U2 sh l

zc th l

zкз

U1к

I2 zc sh

l

zc th l .

(7)

I1к

I2 ch l

Из соотношений (6) и (7) следует:

zc

900e j51,6

1250ej31,6

1090e j10 Ом;

(8)

zxx zкз

th l

zкз

1250ej31,6

1,147ej41,6 .

(9)

zc

1090e j10

Выражение (9) предопределяет соотношения:

sh l

th l

1,147e

j41,6

0,92ej70,2 ,

1 th2 l

1 (1,147ej41,6 )2

(10)

ch l

1

1

0,802ej28,6 .

1 th2 l

1 (1,147ej41,6 )2

Из (3)–(5), с учетом (8)–(10), вытекает:

A D 0,802ej28,6 ; B 1002ej60, 2 Ом;

C0,844 10 3ej80,2 См.

2.Параметры Т-образной схемы замещения

четырехполюсника (рис. 17.2), эквивалентного

z

z

рассматриваемой линии:

zт

A 1

0,802ej28,6 1

573,7ej47,5 Ом;

C

0,844 10 3ej80,2

	y	т C 0,844 10 3ej80,2					См.	Рис. 17.2
Ответ: z			т	573,7ej47,5	Ом, y		8,44 10 4ej80,2	См.
							ò

186 17. ДЛИННЫЕ ЛИНИИ ВУСТАНОВИВШЕМСЯ РЕЖИМЕ

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

Задача 17.8

Воздушная линия без потерь при частоте =105 с–1 имеет волновое со-

противление zc = 600 Ом.

Определить первичные параметры линии.

Ответ: C0= 5,5·10–9 Ф/км; L0= 2·10–3 Гн/км.

Задача 17.9

Линия без потерь длиной l = λ/8 (λ – длина волны) имеет волновое сопро-

тивление zc.

Определить входное сопротивление линии в режимах холостого хода и короткого замыкания.

Ответ: zxx = –j zc; zкз = jzc.

18. КЛАССИЧЕСКИЙ МЕТОД РАСЧЕТА ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ

ВЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ

ССОСРЕДОТОЧЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ

Основные сведения

Переходный процесс – промежуточный нестационарный режим между двумя установившимися. Переходный режим возникает в цепи, содержащей накопители энергии (индуктивности и емкости) при любом ее возмущении (коммутации). В линейных электрических цепях нестационарный переходный режим описывается линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами. Их решение находится как совокупность частного решения неоднородного уравнения (так называемая принужденная компонента) и общего решения однородного уравнения (свободная компонента). Принужденная составляющая переходной величины определяется по схеме, образованной после коммутации, любым методом анализа стационарного режима.

Характер свободной составляющей в зависимости от вида корней характеристического уравнения

Вид корней

Выражение для свободной составляющей

Корни действительные неравные (всегда отрицатель-

i

A e at

A e bt

A e ct

......

ные): p1 a,

p2 b,

p3 c, ....

св

1

2

3

Корни действительные равные

i (A A t A t2)e at

(всегда отрицательные): p1 p2 p3 a

св

1

2

3

Корни комплексные сопряженные

(действительные части всегда отрицательные):

iсв Ae

at

sin(ωt )

p1,2

a jω

Порядок определения корней характеристического уравнения

1. Приравнивают

нулю главный определитель

z11 z12 z13...

системы уравнений по методу контурных токов для

рассматриваемой цепи с предварительной заменой L

(p)

z21z22 z23...

0

на pL и С на 1/pC . Полученное алгебраическое урав-

z31 z32 z33...

нение, являющееся характеристическим для иссле-

L pL

дуемой цепи, разрешают относительно р, определяя

... ...

... ...

его корни

C 1

pC

2. Входное комплексное сопротивление после-

коммутационной схемы приравнивают нулю. Алгеб-

z(p) z( j )j p 0

раизация полученного соотношения посредством за-

мены j на р позволяет получить характеристическое

уравнение для отыскания корней

	188	18. КЛАССИЧЕСКИЙ МЕТОД РАСЧЕТА ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ
	3. Для цепи, содержащей лишь один		p	rэкв		;	z	1	,
	накопитель энергии (L или С), корень ха-
	рактеристического уравнения определяется			L				rэквС
	непосредственно без составления характе-		где rэкв – входное		сопротивление					пассивной
	ристического уравнения		(источники ЭДС замкнуты накоротко, источ-
			ники тока разомкнуты) резистивной части
			схемы относительно накопителя
	Постоянные	интегрирования в решении для свободной			составляющей					переходной

функции определяются из начальных условий (значений искомых функций и их производных в начальный момент переходного режима)

Независимые начальные условия

Первый закон коммутации

Следствие первого закона коммутации

(ток в индуктивности скачком

измениться не может)

iL(0 ) iL(0 )

iL (0 ) 0

iL (0 ) 0

iL(0 ) 0

iL(0 ) 0

Второй закон коммутации

Следствие второго закона коммутации

(напряжение на конденсаторе

скачком измениться не может)

uC (0 ) 0

u

C

(0

) u (0

)

uC (0 ) 0

uC (0 ) 0

u

C (0 )

0

C

Зависимые начальные условия

К ним относятся значения всех переходных величин (кроме iL и uC) и их производных в начальный момент переходного режима (t = 0+). Зависимые начальные условия определяются по схеме, образованной после коммутации. Послекоммутационная цепь описывается уравне-

ниями Кирхгофа, записанными для t = 0+ . Полученная система уравнений разрешается (с учетом законов коммутации) относительно искомых начальных условий. При необходимости определения значений производных искомых функций в начальный момент переходного процесса уравнения Кирхгофа дифференцируются и записываются для момента времени t = 0+

Алгоритм расчета переходных процессов классическим методом

1.В послекоммутационной схеме известными методами определяют принужденные составляющие искомых переходных величин.

2.Составляют характеристическое уравнение и определяют его корни. По виду корней формируют решение в виде совокупности принужденного и свободного режимов.

3.В докоммутационной цепи рассчитывают токи iL(0–) в индуктивных элементах и на-

пряжения uC(0–) на емкостных элементах, а затем в соответствии с законами коммутации находят независимые начальные условия: iL(0 ) iL(0 ) , uC(0 ) uC (0 ).

4.Зависимые начальные условия находят по уравнениям Кирхгофа в послекоммутационной схеме с учетом независимых начальных условий.

5.По найденным начальным условиям определяют постоянные интегрирования для искомых переходных функций

189

Библиографический список к разделу 18

1.Зевеке Г.В. Основы теории цепей / Г.В. Зевеке, П.А. Ионкин, Л.В. Не-

тушил, С.В. Страхов. – М.: Энергия, 1989. – §14.1, 14.2, 14.14.

2.Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники / Л.А. Бессонов. –

М.: Гардарики, 2002. – § 8.1, 8.3, 8.5, 8.6, 8.8–8.22, 8.26, 8.27.

ПРИМЕРЫ

Задача 18.1

В схеме (рис. 18.1) r

= r = 10 Ом; L = 0,2 Гн; Е = K1

r1

r2

1

2

80 В. Ключ К2 замыкается через 12 мс после замыкания

ключа К1 .

E

K2

L

i(t)

Определить переходный ток i(t).

Решение

Рис. 18.1

Так как в цепи поочередно замыкаются два ключа, возникает два переходных процесса, следующих один за другим. Поэтому задача имеет два самостоятельных решения (для временных интервалов 0 t 12 мс и 12 мс t ). Расчет переходного процесса основан на решении дифференциального урав- нения, описывающего режим цепи после коммута-

ции.

1. Переходный процесс после замыкания ключа К1 (рис. 18.2) для временного интервала

Рис. 18.2	(0 t 12 мс).

Дифференциальное уравнение, характеризующее режим в цепи после коммутации (на основании второго закона Кирхгофа):

i(t)(r r ) L		di(t)	E.	(1)
1	2	dt
Общее решение уравнения (1):
i(t) i(t)пр i(t)св.				(2)

Принужденная составляющая тока:

i (t)		E		80	4A.	(3)
пр	r1	r2		10 10

190	18. КЛАССИЧЕСКИЙ МЕТОД РАСЧЕТА ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ
Характеристическое уравнение дифференциального уравнения (1):
		r1 r2 pL 0,				(4)
откуда		r1 r2		10 10
	p				100 с–1,
		L
			0,2
тогда свободная составляющая искомого тока
		iсв(t) = Ae–100t .				(5)
	С учетом (2) переходный ток в рассматриваемом временном диапазоне
определится соотношением:
		i(t) = 4 + Ae–100t.				(6)

Расчет постоянной интегрирования А. В начальный момент переходного режима (t = 0) выражение (6) принимает вид

i(0) 4 Ae 100t		4 A.	(7)
	t 0

По первому закону коммутации (ток в индуктивности ни при каких условиях не изменяется скачком)

iL(0+) = iL(0 ).

(8)

До коммутации iL(0 ) = i(0 ) = 0, следовательно, i(0+) = 0. Тогда соотношение

(7) примет вид 0 = 4 + A, откуда А = 4 .

Окончательно, для интервала 0 t 0,012с

							i(t) 4 4e 100t 4(1 e 100t ) А.				(9)
		2. Переходный процесс после замыкания ключа К2 (рис. 18.3) для вре-
менного интервала (12 мс t								).
				r1		r2		Дифференциальное		уравнение для	цепи
				R1			после коммутации (на основании второго закона
	E						Кирхгофа)
				К2
						i(t)	L		di*(t)
								r i*(t) L		E .	(10)
								2

Рис. 18.3	dt

191

Общее решение уравнения (10):

i*(t) i*пр i*св(t).

(11)

Принужденная составляющая тока:

i*

E

80

8 А.

пр

r

10

2

Характеристическое уравнение соотношения (10) имеет вид

r2 + Lp* = 0,

(12)

откуда

r2

10

*

–1

p

50

с ,

L

0,2

и, как результат, свободная составляющая тока

i*

(t) Ae 50(t 0,012).

(13)

св

1

С учетом (11) переходный ток в рассматриваемом временном диапазоне

определится соотношением

i*(t) 8 Ae 50(t 0,012) .

(14)

1

Расчет постоянной интегрирования А1.

По закону

коммутации для

t = 0,012 с

i*(0,012 0) i*(0,012 0).

К моменту коммутации К2 искомый ток имел значение (см. (9)):

i*(0,012 0) i(0,012) [4(1 e 100t)]

=

t = 0,012

= 4(1 e 1000,012) = 4(1 e 1,2) = 2,8 A.

Следовательно, в начальный момент после коммутации см. (14)):

i*(0,012 + 0) = [8 + A1e–50(t – 0,012)]t = 0,012 = 8 + A1,

т. е. 2,8 = 8 + А1, откуда А1 = 5,2.
Окончательно для временного диапазона 0,012	t
i*(t) = 8 5,2e–50(t – 0,012) А.	(15)