Кравченко. Практикум

102	11. РАСЧЕТ ТРЕХФАЗНЫХ ЦЕПЕЙ (соединение звездой)

Расчет симметричного режима ( za zb zc z )

В симметричном режиме

U010 0 .

Расчет проводится на одну фазу:

IA

EA

,

za zл

Линейные величины в

раз боль-

I

B a

2

IA , IC aIA

,

3

ше фазных.

I0 IA IB IC

0

U AB

3EA 30 ,

UBC a2

U

AB , UCA aU AB

			Измерение активной мощности
В четырехпроводной цепи (при на-				А				*		н
						*		WA
личии нулевого провода) измерение ак-				EA						а
										г
тивной мощности	трехфазного режима
				0						р
осуществляется тремя ваттметрами. При										у
				EC	EB					з
этом			С				В	WС
							*			к
P PW	PW		PW					*		а
									*	WВ
A		B	C							*
В трехпроводной цепи (при отсут-				А		*	W
								*		н
ствии нулевого провода) полная мощ-								A
				EA						а
ность трехфазной	системы измеряется			0						г
двумя ваттметрами.		В этом случае		EC						р
										у
			С		EB		В	*	*	з
P PW		PW							WС	к
								*
										а
	A		C

Библиографический список к разделу 11

1.Зевеке Г.В. Основы теории цепей / Г.В. Зевеке, П.А. Ионкин, Л.В. Не-

тушил, С.В. Страхов. – М.: Энергия, 1989. – § 10.1–10.9.

2.Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники / Л.А. Бессонов. –

М.: Гардарики, 2002. – § 6.1, 6.3–6.5, 6.7, 6.8, 6.10, 6.11, 6.14.

103

ПРИМЕРЫ

Задача 11.1

Система фазных ЭДС генератора (рис. 11.1) симметрична.

Еф 220(В) ,

za zb zс zн 30 j40(Ом), zпр j10(Ом).

Определить токи I A, IB, IC . По-

строить векторную диаграмму.

Решение

	А		zï ð	I	A		а
	EA					Ua	za
			U0 0
EÑ	0		1	z			01	zb
		EB			c
С		В	zï ð с			Uc Ub		в
	IC		zï ð		IB

Рис. 11.1

1. Определение комплексов фазных ЭДС. Принимаем начальную фазу ЭДС ЕА равной нулю. Тогда

EA 220 0 (В), EB a2EA 220 120 (В),

EC aEA 220 120 (В),

где a 1 120 – фазовый оператор.

2. Определение токов по методу узловых потенциалов. В соответствии с обобщенным законом Ома

EA

U

0 0

EB

U

0 0

EC

U

0 0

I A

1

,

IB

1

,

IC

1

,

zï p za

zï p zb

zï p zñ

EA y EB y

EC y

где U0 0

A

B

C

– напряжение смещение нейтрали.

1

y

A

y

B

y

C

1

Но так как y

y

y

y , где zн = za = zd = zc – сопротивле-

A

В

C

zпp zн

ние симметричной нагрузки, то смещение нейтрали

U010 (ЕА Е3Вy ЕС )y ЕА(1 3a2 а) 0.

104 11. РАСЧЕТ ТРЕХФАЗНЫХ ЦЕПЕЙ (соединение звездой)

Следовательно,

I

А

ЕА

,

I

В

ЕВ

а2ЕА

а2IА,

zпр zн

zпр zн

zпр zн

I

ЕС

аЕА

аI

.

С

zпр zн

zпр zн

А

Полученные формулы для определения токов дают возможность вести расчет на одну фазу (например, на фазу А) по схеме рис. 11.2:

I

А

ЕА

220

3,77 59 (А),

zпр zн

j10 30 j40

IB a2I A 3,77 ( 59 120 ) 3,77 179 (А),

Рис. 11.2

IC aI A 3,77 ( 59 120 ) 3,77 61 (А).

3. Построение векторной диаграммы:

а) определение комплексных потенциалов точек цепи (рис. 11.1). Принимаем 0 01 0(В). Тогда

A 0 EA 220 0 (В), B 0 EB 220 120 (В),

C 0 EC 220 120 (В),

a 01 I A za 0 (30 j40) 3,77 59 189 5,87 (В),b 01 IВ zb 0 (30 j40) 3,77 179 189 125,87 (В),с 01 IС zс 0 (30 j40) 3,77 61 189 114,13 (В);

б) выбор масштабов: mU = mE = 50 В/см, mI = 1 A/см;

в) векторная диаграмма напряжений и токов представлена на рис. 11.3. Векторная диаграмма наглядно иллюстрирует симметричность режима.

Диаграмма токов представляет собой симметричную систему векторов, повернутую (в отстающем направлении) относительно системы векторов ЭДС на фазный угол 59 . Системы фазных напряжений на приемниках и на соединительных проводах также образуют соответствующие симметричные системы

105

векторов. Векторная диаграмма фактически да-					A		UпрА
ет графическое решение уравнений:							а
EA Uа UпрA ,EВ Ub	U	прВ ,		IC	EA		Uа	IA
EС Uс UпрС ,					Uс			EB
I A IB IC 0.			с		0 01
			UпрС		EC		Ub	B
Ответ: I A 3,77 59 (А);			C		IB			bUпрВ
IB 3,77 179 (А); IC 3,77 61 (А).					Рис. 11.3

Задача 11.2

В цепи, представленной на рис. 11.4, система фазных ЭДС генератора симметрична:

Eф 100 (В).

Сопротивления нагрузки

za 6 j8 (Ом) , zb 6 j8 (Ом), zс 10 (Ом).

Определить токи, найти показания ваттметров, построить векторную диаграмму.

		А	*	*	IA		а
				WA
	UCА				U010	Uа	zа
	EA		UАВ
	0				Uc		01	Ub
С	EC	EB		В	с	zс	zb	b
		UВC			IB

*

IC

* WC

Рис. 11.4

106	11. РАСЧЕТ ТРЕХФАЗНЫХ ЦЕПЕЙ (соединение звездой)

Решение

1.Комплексы фазных ЭДС генератора:

ЕА 100 (В) , ЕВ 100 120 (В), ЕС 100 120 (В).

2.Определение токов в цепи (с использованием метода узловых потенциалов).

Смещение нейтрали:

y

y

y

Е

1

Е

1

Е

1

U

ЕА

а ЕВ

b ЕС

с

А zа

В zb

С zс

0 0

1

yа yb yс

1 1 1

zа

zb

zс

100

100 120

100 120

6 j8

6 j8

10

44,8 60 (В).

1

1

1

6 j8

6 j8

10

3. Токи в фазах (на основании обобщенного закона Ома):

ЕA U

0 0

100 44,8 60

I

A

1

8,68 26,6 (А);

zа

6 j8

ЕВ

U

0 0

100 120 44,8 60

I

В

1

8,68 93,4 (А);

zb

6 j8

ЕС U

0 0

100 120 44,8 60

I

1

14,48 120 (А).

С

zc

10

4. Векторная диаграмма в масштабе mU =mE = 20 В/см, mI = 4 A/см представлена на рис. 11.5.

Порядок построения. На комплексной плоскости строятся векторы ЭДС

ЕА , ЕВ , ЕС .

Вслед за этим строится вектор смещения нейтрали U010 и конец этого век-

тора соединяется с концами векторов ЭДС ЕА , ЕВ , ЕС . В результате получа-

107

ется система векторов Ua , Ub , Uc фазных напряжений приемника, опреде-

ляемых соотношениями:

Ua EA U010; Ub EВ U010; Uс EС U010.

Из точки 01 строятся векторы токов I A , IB , IC .

+

A, a

	UАВ
	Ua
	EA	IA
UCА	01	IB
	U0 0
J	1
	0
EC	IC	Ub
Uc	EB
	UВC
C, c		B, b

Рис. 11.5

Векторы линейных напряжений U AB , UBC , UCA приемника (и одновремен-

но источника) получены как разность соответствующих фазныхЭДС (рис. 11.5):

UAB EA EB , UBC EB EC , UCA EC EA.

5.Определение показаний ваттметров.

**

ÐWA Re[UÀÂ IÀ ] Re[(EÀ EÂ)IÀ ]

Re[(100 100 120 ) 8,68 26,6 ] 828 (Вт);

**

ÐWÑ Re[UÑÂ IÑ ] Re[(EÑ EÂ)IÑ ]

Re[(100 120 100 120 ) 14,48 120 ] 2172 (Âò).

108	11. РАСЧЕТ ТРЕХФАЗНЫХ ЦЕПЕЙ (соединение звездой)

Схема включения ваттметров (схема Арона) позволяет найти полную активную мощность рассматриваемой цепи как сумму показаний ваттметров:

P РWA РWC 828 2172 3000 (Вт).

Проверка

P IA2ra IB2rb IС2rс 8,682 6 8,682 6 14,482 10 3000 (Вт).

Ответ: IA 8,68 26,6 (А) , IВ 8,68 93,4 (А),

IС 14,48 120 (А), РWA 828 (Вт), РWС 2172 (Вт).

Задача 11.3

В цепи (рис. 11.6) система фазных ЭДС генератора симметрична:

Еф 208 (В), ωL0 10	(Ом) , L 100 (Ом),
М 50 (Ом),	1	60 (Ом).
	С

	Определить показания вольтметров.
	EА	L0	а		L		Решение
	A			*
							1. Комплексы фазных ЭДС генератора:
	EВ				M
		L0					ЕА 208 0 (В); ЕВ 208 120 (В);
0	B		b	*	L	01
	EС	L0			V1		ЕС 208 120 (В).
			с
	C
		V2			C		2. Преобразование схемы (рис. 11.6)	в схему
							(рис. 11.7) без индуктивных связей («развязка» ин-
	Рис. 11.6						дуктивных связей):
		za j L0				j L j M j10 j100 j50 j60 (Ом);
		zb j L0				j L j M j10 j100 j50 j60 (Ом);

z		= j L j	1	j M= j10 j60 j50 0 (Î ì ).
	ñ
		0	Ñ

3. Определение токов I A , IB , IC . Полагаем 0 0 (В) . Поскольку zc 0 (Ом) , то 02 EC 208 120 (В).

109

	EА	A	L0
0	EВ	B	L0
	EС	C	L0
			V2

a	L			EА	zа	IА
			-M	EВ	zb
b	L		02 = 0			IВ	02
	V1		-M	EС
с						IС
		01
	C		+M

Рис. 11.7

В результате (с использованием обобщенного закона Ома):

		I	A		ЕA ЕC				208 208 120	6 120 (A);
					za				j60
I	B			ЕB ЕC			208 120 208 120				6 180 (А);
					zb				j60

IС (IА IВ) (6 120 6 180 ) 10,4 30 (А) .

4. Определение показаний вольтметров.

Вольтметром V1 измеряют величину напряжения Ub01 , вольтметром V2 –

величину смещения нейтрали U010 (рис. 11.6). Удобно определять искомые напряжения по схеме, изображенной на рис. 11.7:

Ub01 IВ( j L j М) IС j М

6 180 ( j100 j50) 10,4 30 j50 794 71 (B) ;

1

U010 ЕС IС ( j L0 j С)

208 120 10,4 30 (j10 j60) 728 120 (В).

Ответ: UV1 794 (B) , UV2 728 (B).

110				11. РАСЧЕТ ТРЕХФАЗНЫХ ЦЕПЕЙ (соединение звездой)
Задача 11.4
В цепи (рис. 11.8): IA IB IC 1 (A),						ra rb rc r .
При помощи векторных диаграмм определить токи в следующих
режимах:
a) холостой ход фазы А ra .
б) короткое замыкание фазы А ra 0.
		А				IA			а
							Ua
	Е								r
	A				U0 0				а
	0				1		r		01	r
							с			b
С	Е	C	Е	В	I	с	U		U		b
					C			c		b
			B
					IB
					Рис. 11.8
Решение
а) холостой ход фазы А (рис. 11.9):

IB

IC UBC ,

2r

C

)1

Eфyф

E

A

0 (E

B

E

C

EA

U0 0

A

r

,

C

2

2

1

0

yф

r

A

I A 0.

А

IA

а

ЕA

U0 0

Ua

0

1

rс

01

r

b

С

Е

C

Е

В

I

с

U

U

b

C

c

b

B

IB

Рис. 11.9

111

Строим векторную диаграмму (рис. 11.10):

A

IB IC

UBC Eф

3 1

3 0,866(A),

EА

Uа

2r

r

2

2

0

U

Eф

3

EC

E

л

U010

В

Uс

Ub

В

Ua 1,5Eф , Ub Uс

2

;

C

IC

01

2

IB

б) короткое замыкание фазы А (рис. 11.11):

Рис. 11.10

ra 0,

Ua IAra 0,

U0 0 EA .

1

А

IA

а

ЕA

U0 0

Ua

0

1

r

01

r

с

b

С

Е

Е

В

I

с

U

U

b

C

C

c

b

B

IB

Рис. 11.11

A 01

Строим векторную диаграмму (рис. 11.12):

Ub

UBA

Eф

IC

IB

IB

3

1

3 1,73 (A),

U010

r

r

r

U

-IА EА

U

U

Eф

0

U

IC

c

CA

3

1

3 1,73 (A);

с

b

r

EC

EВ

r

r

C

В

IA

IB2cos(30 )

3IB 3 (A).

Рис. 11.12