Кравченко. Практикум

342 27. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В НЕЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЯХ

Задача 27.6

В цепи (рис. 27.18) E 100 В, r4 100 Ом, r1 r3 50Ом . Кулонвольтная характеристика нелинейного конденсатора задана в табл. 27.7. Вебер-амперная характеристика нелинейной индуктивности представлена в табл. 27.8.

	r1	i1		r
				3
	E		uC(q)		iL( )
			iC	r	iL
				4

Рис. 27.18

Используя метод переменных состояния, рассчитать и построить напря-

жение на конденсаторе uC (t) в переходном режиме.

																Таблица 27.7
		q	мкКл			0			10		20		30		40			44		46		47
		uС	В			0			13		27		43		63			80		100		120
																			Таблица 27.8
iL		А	0		0,1			0,2		0,3			0,4		0,5		0,6		0,8			1,0		1,2
		мВб	0		10			13,5		16,5			18		19		20		21			21,8		22

Решение

В рассматриваемой схеме функциями, не допускающими скачков, явля-

ются (t) и q(t). Поэтому уравнения состояния должны содержать d и dq в dt dt

левой части тождеств. Уравнения на основе законов Кирхгофа, характеризующие переходный режим в рассматриваемой цепи, имеют вид

343

i1(t) iC (t) iL(t) 0,

(1)

ri11(t) uC (q) E,

r i

(t) u

L

(t) u (q).

3 L

C

Разрешив систему уравнений (1)

относительно i (t)

dq

и u

L

(t)

d

,

C

dt

dt

получим уравнения состояния цепи:

d

u (q) i

L

(t)r ,

dt

C

3

(2)

uC (t)

dq

E

i

(t)

.

L

dt

r

r

1

1

Уравнения (2) в конечно-разностной форме с учетом параметров элемен-

тов цепи имеют следующий вид:

k 1 k t(uC

k

50iL

),

k

(3)

q

q

t

uCk

,

k

2 iL

k 1

k

50

где t – произвольно выбранный малый промежуток времени (чем меньше отрезок, тем точнее расчет). Уравнения (3) позволяют определять значения функций в конце временно´го интервала (индекс «k + 1») по значениям функций в начале временного отрезка (индекс «k»).

Суть расчета состоит в многократном решении одной и той же системы уравнений (3) при все новых значениях функций в начале очередного временно´го отрезка, определяемых по результатам расчета предшествующего временно´го отрезка.

Порядок расчета:

задаются достаточно малым приращением t,

в начале первого интервала (k = 0), как следует из законов коммутации,

iL	iL(0 )		E		100	0,5 A ,
		r1	r3 r4
0					50 50 100

uC0 uC (0 ) iL(0 )(r3 r4) 0,5 150 75 Â.

344	27. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В НЕЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЯХ

Из характеристик (iL) и q(uC) вытекает, что

0 = 19 мВб, q0 = 43,17 мкКл;

значения 1 и q1 в конце первого интервала (k = 0) определяются соотношениями (3):

1 0 t(uC0 50iL0 ),

q	q	t				uC		.
				2 i		0
1	0
				L		50
				0

По характеристикам (iL) и q(uC) определяются значения тока iL1 и uC1,

соответствующие найденным значениям потокосцепления 1 и заряда q1;

значения 1, q1, iL1, uC1, являющиеся начальными значениями функций на втором временнóм интервале (k = 1), позволяют определить с помощью урав-

нений (3) значения потокосцепления 2 и заряда q2в конце этого интервала:

2 1 t uC1 50iL1 ,

21 2 iL1 C1 ,

50

ивслед за этим по характеристикам (iL) и q(uC) найти ток iL2 и напряжениеu

uC2 в конце рассматриваемого интервала;

далее расчет повторяется до тех пор, пока потокосцепление и заряд в конце очередного временнóго интервала не совпадут с требуемой точностью со значениями этих функций в начале этого интервала (фактически расчет заканчивается тогда, когда очередные найденные значения индуктивного тока и емкостного напряжения совпадут с заданной погрешностью с установившимися значениями

E E

iLуст r1 r3 1 А, uCóñò r1 r3 r3 50 Â).

Результаты расчета методом конечных элементов при выбранном значении t = 20 мкс сведены в табл. 27.9.

345

Таблица 27.9

k	t	iLk	k	qk	uCk	k+1	qk+1
–	мкс	А	мВб	мкКл	В	мВб	мкКл
0	20	0,5	0,019	43,17	75	0,02	43,17
1	40	0,6	0,02	43,17	75,15	0,0209	41,1
2	60	0,789	0,0209	41,1	66,44	0,0214	38,7
3	80	0,84	0,0214	38,7	59,6	0,0218	38,1
4	100	0,995	0,0218	38,1	57,98	0,02196	35
5	120	1,15	0,02196	35	51,38	0,02184	31,45
6	140	1,029	0,02184	31,45	45,31	0,0217	32,7
7	160	0,942	0,0217	32,7	47,42	0,0217	34,93
8	180	0,946	0,0217	34,93	51,28	0,0218	35,51
9	200	1	0,0218	35,51	52,38	0,0218	34,56
10	220	1,039	0,0218	34,56	50,59	0,02182	33,5
11	240	1,016	0,02182	33,5	48,8	0,02178	33,7
12	260	0,985	0,02178	33,7	49,07	0,02177	34,7
13	280	0,982	0,02177	34,7	50,24	0,0218	34,6
14	300	0,999	0,0218	34,6	50,7	0,0218	34,3
15	320	1,01	0,0218	34,3	50,227

Искомая переходная функция uC(t), найденная методом переменных состояния, представлена на рис. 27.19.

	В	uC
	80
	60
	40				t
		10	20	30	мкс
	0
			Рис. 27.19

346	27. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В НЕЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЯХ

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

Задача 27.7

В цепи (см. рис. 27.11) ключ работает на замыкание. Кулонвольтная ха-

рактеристика q(uC) приведена в табл. 27.3.

Е =100 В; r1 = r2 = 20 Ом.

Определить и построить uC(t), приняв в качестве переменной состояния заряд q.

Ответ: пределы изменения q и uC: q [33,5; 46]·10–6 К, uC [50; 100] В.

Задача 27.8

В цепи (рис. 27.14) ключ работает на размыкание. Характеристика (i)

задана в табл. 27.5. Величины ЭДС и всех резисторов приведены в условии за-

дачи 27.5.

Ответ: пределы изменения и i: [20; 10] мВб; i [0,6; 0,1] А.

УЧЕБНОЕ ИЗДАНИЕ

Литвинов Борис Викторович Давыденко Ольга Борисовна Заякин Игорь Иванович Мандрусова Валентина Тимофеевна Юрьева Наталья Алексеевна

ОСНОВЫ ТЕОРИИ ЦЕПЕЙ

Учебное пособие

Редактор Л.Н. Ветчакова

Выпускающий редактор И.П. Брованова Художественный редактор А.В. Ладыжская

Корректор И.Е. Семенова

Компьютерная верстка Н.В. Гаврилова

Подписано в печать 25.07.2011 Формат 70 × 100 1/16. Бумага офсетная Уч.-изд. л. 28,05. Печ. л. 21,75. Тираж 100 экз. Изд. № 57. Заказ № 1170

Издательство Новосибирского государственного технического университета

630092, г. Новосибирск, пр. К. Маркса, 20 Тел. [phone]

E-mail: [e-mail]

Отпечатано в типографии Новосибирского государственного технического университета

630092, г. Новосибирск, пр. К. Маркса, 20